Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x prawdziwa jest nierówność x+1-x/x≥1

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej \(x\) prawdziwa jest nierówność \(x+\frac{1-x}{x}\ge1\).

Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie nierówności.
Pierwszą rzeczą jaką chcielibyśmy zrobić to pomnożyć obydwie strony tego równania przez \(x\). Musimy się jednak pochylić nad tym działaniem, bowiem kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną to trzeba zmienić znak nierówności. Tutaj akurat tego problemu nie mamy, bo w treści zadania podano, że dowodzenie ma dotyczyć tylko liczb dodatnich. W związku z tym bez obaw możemy obustronnie pomnożyć to wyrażenie przez \(x\):
$$x+\frac{1-x}{x}\ge1 \quad\bigg/\cdot x \\
x^2+1-x\ge x \\
x^2-2x+1\ge0 \\
(x-1)^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Każda liczba podniesiona do kwadratu daje nam wynik dodatni lub równy \(0\). Z tego też względu wartość \((x-1)^2\) jest na pewno większa lub równa zero, co kończy nasze dowodzenie.

Odpowiedź

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Dodaj komentarz