Wykaż, że dla kazdego \(m\) ciąg \(\left(\frac{m+1}{4},\frac{m+3}{6},\frac{m+9}{12}\right)\) jest arytmetyczny.
Zgodnie z własnościami ciągów artmetycznych dla trzech kolejno wypisanych wyrazów ciągu prawdziwa będzie zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
Z racji tego, że dużo w tym zadaniu będzie działań na ułamkach, to może od razu pomnóżmy sobie obie strony tej zależności przez \(2\), tak aby ułatwić sobie obliczenia w dalszej fazie, zatem:
$$2a_{2}=a_{1}+a_{3}$$
Podstawiając do naszego wzoru dane z treści zadania otrzymamy:
$$2\cdot\frac{m+3}{6}=\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12}$$
Możemy to równanie rozwiązać w dowolny sposób, ale chyba najprościej będzie od razu pozbyć się ułamków i wymnożyć obie strony przez \(12\).
$$2\cdot\frac{m+3}{6}=\frac{m+1}{4}+\frac{m+9}{12} \quad\bigg/\cdot12 \\
2\cdot(2m+6)=(3m+3)+(m+9) \\
4m+12=4m+12$$
Po obu stronach równania otrzymaliśmy tą samą wartość. Jest to więc równanie tożsamościowe, czyli takie które spełnia każda liczba. W związku z tym otrzymany wynik kończy nasze dowodzenie, bo w ten sposób udało nam się dowieść, że ciąg jest arytmetyczny dla każdego \(m\).
Udowodniono wykorzystując własności ciągów arytmetycznych.
