Rozwiązanie
Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny o boku długości \(a=24\). Korzystając ze wzoru na wysokość takiego trójkąta, wyjdzie nam, że:
$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h=\frac{24\sqrt{3}}{2} \\
h=12\sqrt{3}$$
Tym samym możemy zapisać, że \(|CD|=12\sqrt{3}\).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(DS\) oraz \(AD\).
Środek wysokości \(S\) dzieli wysokość \(CD\) na dwie równe części, zatem długość odcinka \(DS\) będzie równa:
$$|DS|=12\sqrt{3}:2 \\
|DS|=6\sqrt{3}$$
Dodatkowo możemy od razu policzyć długość odcinka \(AD\). W trójkątach równobocznych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem:
$$|AD|=24:2 \\
|AD|=12$$
Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ułożenie odpowiedniego równania.
Skoro odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\), to trójkąty \(ADC\) oraz \(EDS\) są trójkątami podobnymi. Możemy więc zapisać, że:
$$\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{|DS|}{|ED|} \\
\frac{12\sqrt{3}}{12}=\frac{6\sqrt{3}}{|ED|}$$
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$12\sqrt{3}\cdot|ED|=12\cdot6\sqrt{3} \\
|ED|=6$$
Ewentualnie można do tematu podejść jeszcze inaczej, korzystając ze skali podobieństwa. Spójrzmy na trójkąty prostokątne \(ADC\) oraz \(EDS\). Są to trójkąty podobne w skali podobieństwa \(k=\frac{1}{2}\) (bo wysokość \(SD\) jest dwa razy mniejsza od wysokości \(CD\)). Skoro tak, to dolna przyprostokątna \(ED\) jest dwa razy krótsza od przyprostokątnej \(AD\), więc:
$$|ED|=k\cdot|AD| \\
|ED|=\frac{1}{2}\cdot12=6$$
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(EF\).
Spójrzmy na trójkąt \(EBF\). Jest on trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\), a więc też jest on równoboczny. Z dotychczasowych obliczeń wynika, że \(|ED|=6\) oraz \(|DB|=12\), a więc \(|EB|=6+12=18\). To oznacza, że długość wszystkich boków tego trójkąta ma długość \(18\), czyli tym samym \(|EF|=18\).
