Układ równań – zadania maturalne

\(a=3\)

Aby układ równań miał nieskończenie wiele rozwiązań to pierwsze i drugie równanie musimy doprowadzić do identycznej postaci, dzięki czemu bez problemu wyznaczymy parametr \(a\):
\begin{cases}
4x+2y=10 \quad\bigg/\cdot1,5 \\
6x+ay=15
\end{cases}\begin{cases}
6x+\color{blue}{3y}=15 \\
6x+\color{blue}{ay}=15
\end{cases}

Skoro w pierwszym równaniu pojawiła nam się wartość \(3y\), to parametr \(a\) w drugim równaniu także musi być równy \(3\).

\(\begin{cases}
x=2 \\
y=1
\end{cases}\)

To równanie możemy rozwiązać zarówno metodą podstawiania jak i przeciwnych współczynników. Prościej będzie tutaj chyba użyć tego drugiego sposobu, mnożąc najpierw obie strony drugiego równania przez \(3\).
\begin{cases}
x+3y=5 \\
2x-y=3 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
x+3y=5 \\
6x-3y=9
\end{cases}

Dodajemy to równanie stronami i otrzymujemy:
$$7x=14 \\
x=2$$

Podstawiając wartość \(x=2\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(y\):
$$2+3y=5 \\
3y=3 \\
y=1$$

Rozwiązaniem jest więc para liczb: \(x=2\) oraz \(y=1\).

\(x\gt0\) i \(y\gt0\)

Najprostszym sposobem na poznanie odpowiedzi będzie po prostu rozwiązanie tego układu równań. Tu możemy zastosować dowolną metodę, ale najszybciej będzie chyba wymnożyć to drugie równanie przez \(-5\) i zastosować metodę przeciwnych współczynników:
\begin{cases}
3x-5y=0 \\
2x-y=14 \quad\bigg/\cdot(-5)
\end{cases}\begin{cases}
3x-5y=0 \\
-10x+5y=-70 \quad\bigg/\cdot(-5)
\end{cases}

Teraz dodając równanie stronami otrzymamy:
$$-7x=-70 \\
x=10$$

Znając wartość \(x=10\) możemy podstawić ją do jednego z równań, otrzymując w ten sposób wartość \(y\), zatem:
$$3\cdot10-5y=0 \\
30=5y \\
y=6$$

Zarówno \(x\) jak i \(y\) wyszły nam dodatnie, tak więc prawidłowa jest odpowiedź czwarta.

\(\begin{cases}
y=x+1 \\
y=-2x+4
\end{cases}\)

Wszystkie proste przedstawione są w postaci \(y=ax+b\), a naszym zadaniem jest tak naprawdę odczytanie z rysunku potrzebnych informacji i ustalenie poszczególnych współczynników \(a\) oraz \(b\).

Krok 1. Ustalenie wzoru pierwszej prostej (rosnącej).
Jeśli przyjrzymy się odpowiedziom to pierwsza prosta jest przedstawiona w dwóch wariantach: \(y=x+1\) lub \(y=x-1\). Musimy więc tak naprawdę ustalić współczynnik \(b\) tej prostej i dowiedzieć się, czy jest on równy \(1\), czy \(-1\). Współczynnik \(b\) mówi nam o tym w którym miejscu z osią \(Oy\) przetnie się wykres prostej. W naszym przypadku przeciął się on w punkcie \((0;1)\), a więc \(b=1\). To oznacza, że pierwsza prosta ma na pewno postać \(y=x+1\).

Krok 2. Ustalenie wzoru drugiej prostej (malejącej).
Druga prosta jest opisana w odpowiedziach na dwa sposoby: \(y=2x+4\) lub \(y=-2x+4\). To znaczy, że musimy tym razem zweryfikować wartość współczynnika \(a\) i stwierdzić, czy jest on równy \(2\), czy może \(-2\). Skoro prosta jest malejąca, to bez żadnych zbędnych obliczeń jesteśmy w stanie stwierdzić, że prosta jest malejąca, czyli \(a=-2\).
Przy okazji widzimy też, że współczynnik \(b=4\), bo prosta ta przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0;4)\), więc z całą pewnością wzorem tej prostej jest \(y=-2x+4\).

To oznacza, że poszukiwanym przez nas układem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

dokładnie jeden punkt

Krok 1. Doprowadzenie równań do postaci \(y=ax+b\).
Zadanie brzmi dość skomplikowanie, ale tak naprawdę polega na tym by określić ile punktów wspólnych będą mieć te dwie proste. Aby to określić, potrzebujemy je zapisać w postaci \(y=ax+b\).
\begin{cases}
x-y=3 \quad\bigg/-x \\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
-y=3-x \quad\bigg/\cdot(-1) \\
2x+0,5y=4 \quad\bigg/\cdot2
\end{cases}\begin{cases}
y=-3+x \\
4x+y=8 \quad\bigg/-4x
\end{cases}\begin{cases}
y=x-3 \\
y=-4x+8
\end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Obydwie proste mają różne współczynniki kierunkowe \(a\). Pierwsza ma \(a=1\), druga \(a=-4\). To oznacza, że te dwie proste mają tylko jeden wspólny punkt przecięcia.

\(a=3\)

W tym zadaniu wystarczy tak naprawdę tylko podstawić do pierwszego równania \(x=2\) oraz \(y=1\) i obliczyć w ten sposób parametr \(a\):
$$x+ay=5 \\
2+1a=5 \\
a=3$$

Z interpretacji geometrycznej układu równań wiemy, że rozwiązaniem takiego układu równań jest miejsce się przecięcia dwóch prostych. Zatem wyznaczając wartości \(x\) oraz \(y\) będziemy mogli określić współrzędne punktu przecięcia i tym samym wybrać prawidłową odpowiedź.
\begin{cases}
x+3y=-5 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3x-2y=-4
\end{cases}\begin{cases}
-3x-9y=15 \\
3x-2y=-4
\end{cases}

Dodając to równanie stronami otrzymamy:
$$-9y+(-2y)=15+(-4) \\
-11y=11 \\
y=-1$$

Wartość \(x\) obliczymy podstawiając \(y=-1\) do jednego z równań:
$$x+3\cdot(-1)=-5 \\
x-3=-5 \\
x=-2$$

Szukamy więc rysunku, na którym dwie proste przetną się w punkcie o współrzędnych \((-2;-1)\) i taka sytuacja jest przedstawiona na rysunku pierwszym.

\(P=(-1,-2)\)

Aby poznać miejsce przecięcia się dwóch prostych (czyli współrzędne punktu \(P\)) należy rozwiąząć prosty układ równań:
\begin{cases}
2x-3y=4 \quad\bigg/\cdot(-2) \\
5x-6y=7
\end{cases}\begin{cases}
-4x+6y=-8 \\
5x-6y=7
\end{cases}

Teraz dodajemy to równanie stronami, wszystkie igreki się nam skrócą i otrzymamy dzięki temu wynik: \(x=-1\).

Znając współrzędną \(x=-1\) możemy ją teraz podstawić do któregoś z równań i w ten oto sposób wyznaczymy współrzędną \(y\):
$$2\cdot(-1)-3y=4 \\
-2-3y=4 \\
-3y=6 \\
y=-2$$

To oznacza, że \(P=(-1;-2)\).

ma nieskończenie wiele rozwiązań

Krok 1. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases}
2x-3y=5 \\
-4x+6y=-10 \quad\bigg/:(-2)
\end{cases}\begin{cases}
2x-3y=5 \\
2x-3y=5
\end{cases}

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W układzie równań uzyskaliśmy dwa identyczne równania. To oznacza, że te dwie proste pokrywają się ze sobą, a więc tworzą układ o nieskończonej liczbie rozwiązań.

\(9x+12y-10=0\)

Układ jest sprzeczny, kiedy po rozwiązaniu układu otrzymamy nieprawdziwą równość np. \(1=2\). Równanie z treści zadania stworzy sprzeczny układ jedynie z trzecim równaniem:
\begin{cases}
3x+4y-5=0 \quad\bigg/\cdot3 \\
9x+12y-10=0
\end{cases}\begin{cases}
9x+12y-15=0 \\
9x+12y-10=0
\end{cases}

Odejmując te równania stronami otrzymamy:
$$-15-(-10)=0 \\
-15+10=0 \\
-5=0$$

Otrzymany wynik świadczy o sprzeczności układu.

Warto też dodać, że nasze równanie stworzyłoby z równaniem z pierwszej odpowiedzi układ tożsamościowy, czyli taki w którym rozwiązaniem będzie każda liczba rzeczywista.

Poszukiwany ułamek to \(\frac{14}{23}\).

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej jest to równanie rozwiązać metodą podstawiania. Z pierwszego równania wyznaczymy wartość \(x=2y-32\) i podstawiamy ją do drugiego równania, otrzymując:
$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17} \\
\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$

Mnożymy obie strony na krzyż:
$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6) \\
34y-646=8y-48 \\
26y=598 \\
y=23$$

Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):
$$\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x+32}{23}=2 \\
x+32=46 \\
x=14$$

Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie lub układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.