Równanie prostej to jedno z najważniejszych zagadnień w całej geometrii analitycznej. Sprawdźmy zatem jak takie równania zapisujemy i z jakimi zadaniami możemy spotkać się w tym temacie.
Co to jest równanie prostej?
Zanim zaczniemy omawianie, to powiedzmy sobie co oznacza ten zwrot „równanie prostej”, tak abyśmy wiedzieli o czym w ogóle mowa. Mówiąc bardzo obrazowo, równanie prostej to wzór, za pomocą którego jesteśmy w stanie opisać prostą linię w układzie współrzędnych. I coś takiego powinniśmy już kojarzyć z tematu funkcji liniowych, tam też opisywaliśmy wzorem różne funkcje, których wykresem była właśnie linia prosta.
Przykładowo, poniżej została narysowana prosta, która jest określona równaniem \(y=\frac{1}{2}x+2\).
O tym jak wyznaczyć takie równanie opowiemy sobie za chwilę. Pozostając jeszcze na chwilę przy tym rysunku, warto zwrócić uwagę, że gdy do równania prostej podstawimy współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej, to lewa i prawa strona równania będą sobie równe. Przykładowo, widzimy że prosta przechodzi przez punkt o współrzędnych \((6;5)\). Podstawiając \(x=6\) oraz \(y=5\) do równania prostej \(y=\frac{1}{2}x+2\), otrzymamy:
$$5=\frac{1}{2}\cdot6+2 \\
5=3+2 \\
5=5 \\
L=P$$
Postać kierunkowa oraz postać ogólna
Równanie prostej możemy zapisać na dwa główne sposoby:
Postać kierunkową zapisujemy jako \(y=ax+b\), gdzie \(a\) oraz \(b\) to współczynniki liczbowe prostej. Przykładami takich prostych będą:
$$y=3x+2 \\
y=-7x-10 \\
y=-\frac{1}{3}x+5$$
Postać ogólna
Postać ogólną zapisujemy jako \(Ax+By+C=0\), gdzie \(A\), \(B\) oraz \(C\) to współczynniki liczbowe prostej. Przykładami takich prostych będą:
$$4x+2y+5=0 \\
-2x-y+1=0 \\
\frac{1}{3}x-y+5=0$$
Własności współczynnika \(a\) oraz \(b\) (postać kierunkowa)
Ze współczynnikami postaci kierunkowej wiążą się bardzo ważne własności, zwłaszcza jeśli chodzi o współczynnik \(a\).
Współczynnik \(a\) informuje nas o kierunku ułożenia prostej:
· gdy współczynnik \(a\) jest dodatni, to prosta jest rosnąca;
· gdy współczynnik \(a\) jest ujemny, to prosta jest malejąca;
· gdy współczynnik \(a\) jest równy \(0\), to prosta jest równoległa do osi \(OX\).
Z tego też względu, współczynnik \(a\) to tzw. współczynnik kierunkowy.
Współczynnik \(b\) informuje nas o miejscu przecięcia się prostej z osią \(OY\). Prosta przecina się zawsze z osią \(OY\) w punkcie \(P=(0;b)\). Przykładowo, prosta \(y=2x+3\) ma współczynnik \(b=3\), czyli będzie przecinać oś \(OY\) w punkcie \(P=(0;3)\).
Zamiana postaci ogólnej na kierunkową (i postaci kierunkowej na ogólną)
Zazwyczaj dążymy do postaci kierunkowej, bo z niej można wyczytać kilka kluczowych własności (głównie związanych ze współczynnikiem \(a\)), ale obydwie formy są jak najbardziej poprawne. Co więcej, jeśli zajdzie taka potrzeba, możemy płynnie przechodzić z jednej do drugiej postaci. Przykładowo, jeśli mamy równanie w postaci ogólnej typu \(4x+2y+5=0\) i chcemy to zapisać w postaci kierunkowej, to wystarczy przekształcić równanie w taki sposób, aby po lewej stronie został nam „samotny igrek”. Całość wyglądałaby następująco:
$$4x+2y+5=0 \\
2y=-4x-5
y=-2x-\frac{5}{2}$$
Gdybyśmy chcieli przejść z postaci kierunkowej na postać ogólną, to wszystkie wyrazy musielibyśmy przenieść na lewą stronę, tak aby po prawej zostało nam tylko \(0\).
Wyznaczanie równania prostej
Kluczową umiejętnością w tym temacie jest samodzielne zapisywanie równania prostej na podstawie dostępnych informacji. Do wyznaczenia równania prostej potrzebujemy współrzędnych dwóch punktów, przez które ta prosta przechodzi. Znając takie dwa punkty, możemy skorzystać z jednej z dwóch metod:
· wzoru \((y-y_{A})(x_{B}-x_{A})-(y_{B}-y_{A})(x-x_{A})=0\)
· układu równań typu \(\begin{cases}y_{A}=ax_{A}+b \\ y_{B}=ax_{B}+b \end{cases}\)
Sprawdźmy zatem jak będzie to wyglądać w praktyce:
Rozwiązanie:
Zadanie zrobimy na dwa sposoby – najpierw wykorzystując wzór, a potem układ równań.
I sposób – wykorzystując wzór
Podstawiając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) do wzoru na równanie prostej, otrzymamy:
$$(y-(-1))(7-2)-(9-(-1))(x-2)=0 \\
(y+1)\cdot5-10\cdot(x-2)=0 \\
5y+5-(10x-20)=0 \\
5y+5-10x+20=0 \\
-10x+5y+25=0$$
Otrzymane równanie jest jak najbardziej poprawne, choć moglibyśmy się jeszcze pokusić o jego uproszczenie, dzieląc obydwie strony równania przez \(5\). Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
$$-10x+5y+25=0 \quad\bigg/:5 \\
-2x+y+5=0$$
Widzimy więc, że korzystając ze wzoru otrzymujemy równanie w postaci ogólnej. Gdyby zaszła taka potrzeba, to możemy je przekształcić do postaci kierunkowej. W tym celu musimy przenieść iksy oraz liczby na prawą stronę, otrzymując postać:
$$y=2x-5$$
II sposób – wykorzystując układ równań
Jeżeli do postaci kierunkowej \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A=(2;-1)\), to otrzymamy równanie \(-1=2a+b\). Jeżeli podstawimy współrzędne punktu \(B=(7;9)\), to otrzymamy równanie \(9=7a+b\). Z tych dwóch równań możemy teraz zbudować następujący układ:
$$\begin{cases}
-1=2a+b \\
9=7a+b
\end{cases}$$
Jedyne co teraz trzeba zrobić, to rozwiązać ten układ, poznając tym samym wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). Układ można rozwiązać dowolnie wybranym przez siebie sposobem, ale najprościej będzie po prostu odjąć te równania stronami, bo dzięki temu od razu skróci nam się wartość \(b\). W ten sposób otrzymamy:
$$-1-9=2a-7a \\
-10=-5a \\
a=2$$
Wiedząc, że \(a=2\) możemy teraz podstawić tę wartość do wybranego równania z układu, np. \(-1=2a+b\) i w ten sposób obliczymy brakujący współczynnik \(b\), zatem:
$$-1=2\cdot2+b \\
-1=4+b \\
b=-5$$
Otrzymaliśmy więc informację, że współczynniki prostej \(y=ax+b\) są równe \(a=2\) oraz \(b=-5\). To oznacza, że nasza prosta wyraża się równaniem \(y=2x-5\).
Która z tych metod jest lepsza? Generalnie dużo częściej korzysta się jednak z metody układu równań – wbrew pozorom jest to metoda prostsza niż podstawianie danych do wzoru (w przypadku wzoru bardzo łatwo o pomyłkę rachunkową), no i nie trzeba tutaj pamiętać tego bardzo rozbudowanego zapisu wzoru. Tak czy inaczej, oczywiście obydwie metody skutecznie prowadzą nas do celu, czyli za pomocą jednej i drugiej możemy wyznaczyć poszukiwane równanie prostej.
Wyznaczanie współczynnika kierunkowego \(a\)
Podczas rozwiązywania różnych zadań z tego działu może się okazać, że będziemy musieli poznać jedynie wartość współczynnika kierunkowego \(a\). Możemy ją oczywiście poznać wyznaczając równanie prostej, ale istnieje też nieco szybszy sposób, w którym wykorzystamy bardzo prosty wzór:
Jeżeli znamy współrzędne dwóch punktów \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\), które przechodzą przez tą prostą, to współczynnik \(a\) możemy obliczyć ze wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru \(a=\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\), możemy zapisać, że:
$$a=\frac{7-2}{5-(-3)} \\
a=\frac{5}{5+3} \\
a=\frac{5}{8}$$
Tak na marginesie możemy dodać, że skoro współczynnik \(a\) wyszedł dodatni, to prosta będzie rosnąca – tego typu obserwacje mogą nam często szybko zweryfikować poprawność jakichś obliczeń.
Ta umiejętność szybkiego obliczania współczynnika kierunkowego może nam się przydać zwłaszcza w temacie wyznaczania równań prostych prostopadłych i równoległych, które zostały omówione tutaj:
Więcej informacji na temat równania prostej oraz przykładowe zadania: