Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o \(1cm\) i od drugiej przyprostokątnej o \(32cm\). Oblicz długości boków tego trójkąta.
Jeżeli przyjęlibyśmy, że przeciwprostokątna ma długość \(x\), to przyprostokątne mają długość \(x-1\) oraz \(x-32\). Warto też tutaj przyjąć sobie założenie, że długości boków nie mogą być mniejsze lub równe \(0\), a więc \(x\gt32\) (gdyby był mniejszy niż \(32\), to z równania \(x-32\) otrzymamy liczbę ujemną).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(x-1)^2+(x-32)^2=x^2$$
Korzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia:
$$x^2-2x+1+x^2-64x+1024=x^2$$
Upraszczamy zapis i doprowadzamy go do postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie będziemy mieć zero (to pozwoli nam potem wyliczyć deltę):
$$2x^2-66x+1025=x^2 \quad\bigg/-x^2 \\
x^2-66x+1025=0$$
Współczynniki: \(a=1,\;b=-66,\;c=1025\)
$$Δ=b^2-4ac=(-66)^2-4\cdot1\cdot1025=121-120=4356-4100=256 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)-16}{2\cdot1}=\frac{66-16}{2}=\frac{50}{2}=25 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)+16}{2\cdot1}=\frac{66+16}{2}=\frac{82}{2}=41$$
\(x_{1}\) możemy odrzucić, bo zgodnie z tym co napisaliśmy sobie w pierwszym kroku nasz \(x\) musi być większy niż \(32\). W przeciwnym wypadku długość przyprostokątnej byłaby równa \(25-32=-7\), a to na pewno jest nieprawda.
Przeciwprostokątna: \(41cm\)
Pierwsza przyprostokątna: \(x-1cm=41cm-1cm=40cm\)
Druga przyprostokątna: \(x-32cm=41cm-32cm=9cm\)
Długości boków trójkąta to \(9cm\), \(40cm\) oraz \(41cm\).
