Dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych x

Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\).

dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4
dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4
dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4
dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4
Rozwiązanie:
Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).

Zgodnie z treścią zadania nasza funkcja \(h(x)\) jest iloczynem funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\), zatem:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)$$

Powyższy zapis jest już tak naprawdę wzorem naszej funkcji \(h(x)\) w postaci iloczynowej. Możemy też wymnożyć te wyrazy i zapisać wzór w postaci ogólnej, choć nie jest to konieczne:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)=x^2+2x-8$$

Dzięki postaci ogólnej wiemy już, że funkcja \(h(x)\) jest na pewno parabolą, której ramiona są skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) jest dodatni.

Krok 2. Ustalenie miejsc zerowych funkcji.

Choć w pierwszym kroku zapisaliśmy wzór funkcji \(h(x)\) w postaci ogólnej i śmiało moglibyśmy z niej obliczyć miejsca zerowe za pomocą delty, to jednak łatwiej będzie skorzystać z postaci iloczynowej, czyli ze wzoru \(h(x)=(x-2)(x+4)\). Wystarczy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, a więc:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$

Krok 3. Wybór właściwego wykresu.

Wiemy, że nasza parabola ma ramiona skierowane ku górze, że jej miejscami zerowymi są \(x=2\) oraz \(x=-4\), a więc bez żadnych wątpliwości jesteśmy w stanie stwierdzić, że poszukiwanym wykresem jest ten z pierwszej odpowiedzi.

Odpowiedź:
dane są funkcje liniowe f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!