Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku w punkcie P i promieniu 3

Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).



matura z matematyki



Wtedy:

Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(OAK\) oraz \(BPK\). Są to trójkąty podobne i jesteśmy w stanie stwierdzić to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. W jaki sposób?
Styczna tworzy z promieniem kąt prosty, zatem jeden i drugi trójkąt są prostokątne. Dodatkowo kąty \(AKO\) oraz \(BKP\) są kątami wierzchołkowymi, a zgodnie z własnościami takich kątów będą one miały jednakową miarę. Skoro więc dwa kąty w tych trójkątach mają jednakowe miary, to i trzeci kąt ma tą samą miarę. To oznacza, że na pewno będą to trójkąty podobne.

matura z matematyki

Krok 2. Zapisanie równania.
Skoro są to trójkąty podobne, to muszą mieć one jednakowe stosunki długości boków. Skoro interesuje nas poznanie odcinka \(OK\) (czyli tak naprawdę przeciwprostokątnej trójkąta \(OAK\)) i znamy długości boków \(OA\) oraz \(BP\), to możemy ułożyć następującą proporcję:
$$\frac{|OA|}{|OK|}=\frac{|BP|}{|KP|} \\
\frac{5}{|OK|}=\frac{3}{|KP|}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(OK\).
Mnożąc na krzyż równanie otrzymane w drugim kroku otrzymamy informację, że:
$$5\cdot|KP|=3\cdot|OK| \\
|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|$$

Z rysunku oraz z treści zadania wynika, że:
$$|OK|+|KP|=16$$

Podstawiając informację o tym, że \(|KP|=\frac{3}{5}\cdot|OK|\) otrzymamy:
$$|OK|+\frac{3}{5}\cdot|OK|=16 \\
1,6\cdot|OK|=16 \\
|OK|=10$$

Odpowiedź

C

Dodaj komentarz