Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne zewnętrznie w punkcie C

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach \(P\) i \(R\), styczne zewnętrznie w punkcie \(C\). Prosta \(AB\) jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach \(A\) i \(B\) oraz \(|\sphericalangle APC|=α\) i \(|\sphericalangle ABC|=β\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(α=180°-2β\).

dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R styczne zewnętrznie w punkcie C

Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.
Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).
Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.
Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):

dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R styczne zewnętrznie w punkcie C

Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).

Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:
$$β+γ=90° \\
γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:
$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \\
δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:
$$δ+90°-β=180° \\
δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).

Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:
$$90°+β+δ+α=360° \\
90°+β+(90°+β)+α=360° \\
180°+2β+α=360° \\
α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.

Odpowiedź:

Udowodniono wykorzystując własności kątów.

Dodaj komentarz

Bądź pierwszy!