Egzamin ósmoklasisty – Matematyka – 2021 – Odpowiedzi

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Na początek zsumujmy liczbę wszystkich zdobytych medali:
$$3+2+5+4+5+2+3+1+7+2+3+6=43$$

Złotych medali było:
$$3+4+3+2=12$$

To oznacza, że złote medale stanowią \(\frac{12}{43}\) wszystkich medali, a to nieco mniej niż \(\frac{1}{3}\). Zdanie jest więc fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Przed chwilą obliczyliśmy, że na \(4\) igrzyskach, nasi olimpijczycy zdobyli łącznie \(12\) złotych medali. Średnia zdobytych złotych medali jest więc równa:
$$śr=\frac{12}{4}=3$$

Zdanie jest więc prawdą.

B

Sprawdźmy wartość każdej z liczb:
$$x=-62,5+30=-32,5 \\
y=-14,4-12,6=-27 \\
t=-12:0,3=-120:3=-40 \\
u=-8,02\cdot6=-48,12$$

Wszystkie liczby są ujemne, zatem największą z nich będzie \(y=-27\).

B, C

Krok 1. Ustalenie odpowiedzi do pierwszej części zadania.
Chcąc wykonać dodawanie ułamków zwykłych, musimy doprowadzić je do wspólnego mianownika, zatem:
$$\frac{3}{7}+\frac{3}{5}=\frac{15}{35}+\frac{21}{35}=\frac{36}{35}=1\frac{1}{35}$$

Liczba jest więc większa od \(1\).

Krok 2. Ustalenie odpowiedzi do drugiej części zadania.
Aby wykonać odejmowanie ułamków, także musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika:
$$\frac{3}{7}-\frac{3}{5}=\frac{15}{35}-\frac{21}{35}=-\frac{6}{35}$$

Otrzymana liczba jest więc ujemna.

A

Rozpisując całość tak jak w treści zadania, otrzymamy:
$$(60\;000\;000)^3=(6\cdot10\;000\;000)=(6\cdot10^7)^3=6^3\cdot10^{21}$$

Tak C,

Zadanie wymaga od nas przeanalizowania całej sytuacji. Powinniśmy zauważyć, iż pomnożenie liczby podzielnej \(5\), przez dowolną liczbę parzystą, da liczbę podzielną przez \(10\) (np. \(5\cdot4=20\) lub \(15\cdot8=120\)).

Mając zestaw pięciu kolejnych liczb całkowitych, możemy być pewni, iż wśród tych liczb będzie właśnie przynajmniej jedna liczba podzielna przez \(5\) i co najmniej jedna liczba parzysta, a to sprawi, że iloczyn tych liczb będzie podzielny przez \(10\), niezależnie od pozostałych liczb tego zestawu.

Przykładowo:
$$12\cdot13\cdot14\cdot15\cdot16=12\cdot15\cdot13\cdot14\cdot16=180\cdot13\cdot14\cdot16$$
\(180\) jest podzielne przez \(10\), więc i cały iloczyn będzie podzielny przez \(10\).

A, D

Krok 1. Ustalenie odpowiedzi do pierwszej części zadania.
Zgodnie z informacją zawartą w tabelce, jeżeli kwota do obliczenia podatku jest mniejsza od \(85528zł\) (a tak jest w przypadku Pana Jana), to mnożymy tę kwotę przez \(18\%\) (czyli \(0,18\)) i odejmujemy od tego kwotę \(556,02zł\). W związku z tym prawidłowy będzie zapis:
$$0,18\cdot84500-556,02$$

Krok 2. Ustalenie odpowiedzi do pierwszej części zadania.
Zgodnie z informacją zawartą w tabelce, jeżeli kwota do obliczenia podatku jest większa od \(85528zł\) (a tak jest w przypadku Pani Zofii), to nadwyżkę mnożymy przez \(32\%\) (czyli \(0,32\)) i dodajemy do tego kwotę \(14839,02zł\). U Pani Zofii nadwyżka będzie równa \(97300-85528\), zatem prawidłowy będzie zapis:
$$14839,02+0,32\cdot(97300-85528)$$

A

Wiemy, że \(\sqrt{9}=3\) oraz że \(\sqrt{16}=4\), zatem \(\sqrt{10}\) to będzie nieco więcej niż \(3\) i znacznie mniej niż \(4\).

W zadaniu mamy liczbę \(-\sqrt{10}\) (czyli około \(-3\)), do której dodajemy \(5\). Możemy więc wywnioskować, że ta suma będzie równa około \(2\), zatem wynik jest na pewno większy od \(1\).

B, C

Krok 1. Ustalenie odpowiedzi do pierwszej części zadania.
Liczby parzyste zawsze zapisujemy jako \(2n\), a nieparzyste jako \(2n+1\). Liczba \(a\) będzie więc nieparzysta.

Krok 2. Ustalenie odpowiedzi do drugiej części zadania.
Liczba \(b\) jest równa \(2n(n+1)=2n^2+2n\), natomiast liczba \(c\) jest równa \(2n^2+2n+1\). Widzimy więc, że te dwie liczby różnią się o \(1\).

A

Krok 1. Ustalenie, która liczba jest najmniejsza, a która największa.
Rozpiszmy każdą z liczb, tak aby móc ustalić, która z nich jest najmniejsza, a która największa:
\(a=2n+1\)
\(b=2n(n+1)=2n^2+2n\)
\(c=2n^2+2n+1\)

Zwróćmy uwagę, że w każdej liczbie pojawia się suma dodatnich liczb, z których jedna jest równa \(2n\). W pierwszej liczbie do tej wartości \(2n\) dodajemy dodatkowo \(1\), w drugiej \(2n^2\), a w trzeciej \(2n^2+1\). To prowadzi nas do wniosku, że jeżeli \(n\) jest liczbą naturalną, to najmniejszą z podanych liczb będzie \(a\), natomiast największą będzie \(c\).

Krok 2. Obliczenie wartości największej liczby.
Najmniejszą ze wszystkich liczb jest \(a\), która jest opisana jako \(2n+1\). Skoro jest ona równa \(9\), to:
$$2n+1=9 \\
2n=8 \\
n=4$$

Największą liczbą jest \(c\) i jest ona opisana jako \(2n^2+2n+1\). Skoro więc \(n=4\), to:
$$2\cdot4^2+2\cdot4+1=2\cdot16+8+1=32+8+1=41$$

D

Krok 1. Obliczenie łącznej ceny wszystkich artykułów.
Skoro średnia arytmetyczna cen czterech zakupionych artykułów była równa \(6zł\), to całe zakupy kosztowały:
$$4\cdot6zł=24zł$$

Krok 2. Obliczenie ceny bloku rysunkowego.
Całe zakupy kosztowały \(24zł\), a zeszyty kosztowały łącznie \(15zł\). W związku z tym blok rysunkowy kosztował:
$$24zł-15zł=9zł$$

B, C

Krok 1. Ustalenie odpowiedzi do pierwszej części zadania.
Skoro co szósty los jest wygrywający, to losów wygrywających mamy:
$$\frac{1}{6}\cdot150=25$$

Krok 2. Ustalenie odpowiedzi do drugiej części zadania.
Jeżeli wyciągnięto \(30\) pustych losów, to wszystkich losów w puli mamy:
$$150-30=120$$

Wszystkie wyciągnięte losy były puste, więc liczba losów zwycięskich się nie zmieniła. Obliczyliśmy sobie w poprzednim kroku, że losów wygrywających jest łącznie \(25\), zatem prawdopodobieństwo, iż ten kolejny wyciągnięty los jest wygrywający będzie wynosić \(\frac{25}{120}\).

D

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(ASD\).
Aby lepiej opisać to zadanie, przyjmijmy, że miejsce przecięcia się wysokości to punkt \(S\).


Zwróćmy teraz uwagę, że kąt \(ESD\) oraz \(ASD\) to kąty przyległe, czyli takie, których łączna miara jest równa \(180°\). Skoro tak, to kąt \(ASD\) ma miarę:
$$|\sphericalangle ASD|=180°-138°=42°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(\alpha\).
Spójrzmy teraz na trójkąt prostokątny \(ADS\). Skoro kąt \(ASD\) ma miarę \(42°\), to:
$$\alpha=180°-90°-42°=48°$$

B

Zanim przejdziemy do obliczeń, to opiszmy sobie tę sytuację. Zgodnie z propozycją Iwony listewkę trzeba byłoby przyciąć w następujących miejscach:
$$5cm, 10cm, 15cm, 20cm, 25cm, 30cm, 35cm, 40cm, 45cm$$

Cięcie w odległości \(50cm\) jest niepotrzebne, tak samo jak nie tniemy w miejscu \(0cm\).

Agata chce podzielić listewkę co \(2cm\), więc jej linie byłyby w miejscach, gdzie liczba centymetrów jest parzysta:
$$2cm, 4cm, 6cm, ..., 44cm, 46cm, 48cm$$

Z takiej prostej analizy wynika, że cięcia dziewczyn pokryją się w odległościach:
$$10cm, 20cm, 30cm, 40cm$$

Będą więc cztery takie linie.

C

Krok 1. Obliczenie objętości całej skrzyni.
Korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu możemy zapisać, że:
$$V=abc \\
V=1,5m\cdot1,2m\cdot1m \\
V=1,8m^3$$

Krok 2. Obliczenie objętości wsypanego piasku.
Wiemy, że wsypany piasek zajmuje \(\frac{3}{4}\) pojemności skrzyni, zatem zajmuje on:
$$\frac{3}{4}\cdot1,8m^3=1,35m^3$$

B

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy, że pojedynczy ostrosłup ma pole powierzchni równe \(80cm^2\). Taki ostrosłup ma jedno pole podstawy i cztery ściany boczne (łącznie jest to pięć ścian). Z treści zadania wynika, że podstawa oraz ściana boczna mają jednakowe pole powierzchni, zatem każda z tych ścian będzie mieć pole równe:
$$80cm^2:5=16cm^2$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni otrzymanej bryły.
Jak się dobrze przyjrzymy, to otrzymana bryła ma pole powierzchni równe polu ośmiu ścian bocznych. Ustaliliśmy przed chwilą, że każda taka ściana ma \(16cm^2\), zatem:
$$P_{c}=8\cdot16cm^2 \\
P_{c}=128cm^2$$

Nie, ponieważ Paweł rozdzielił łącznie \(1\frac{1}{12}\) czekolady.

Zsumujmy wszystkie ułamki, zgodnie z tym jak Paweł chciał podzielić czekoladę:
$$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}+\frac{1}{6}=\frac{6}{12}+\frac{5}{12}+\frac{2}{12}=\frac{13}{12}=1\frac{1}{12}$$

Okazuje się, że zaproponowany podział jest niemożliwy, ponieważ suma wszystkich udziałów jest większa od \(1\). Można więc powiedzieć, że Paweł rozdzielił więcej czekolady, niż miał do dyspozycji.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

17:56

Krok 1. Obliczenie długości trasy między Stawiskiem i Bajorkiem.
Odległość od Stawiska do Bajorka jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego dolna przyprostokątna ma długość \(3\) kratek, a boczna przyprostokątna ma długość \(4\) kratek:


Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że w takim razie:
$$3^2+4^2=c^2 \\
9+16=c^2 \\
c^2=25 \\
c=5 \quad\lor\quad c=-5$$

Ujemny wynik odrzucamy, zatem zostaje nam \(c=5\). To oznacza, że trasa od Stawiska do Bajorka ma \(5km\).

Krok 2. Obliczenie długości całej trasy.
Licząc po kratkach możemy powiedzieć, że:
od Bociankowa do Stawiska są \(3km\)
od Stawiska do Bajorska jest \(5km\) (to policzyliśmy w pierwszym kroku)
od Bajorka do Żabna jest \(7km\)

Cała trasa ma więc łącznie długość:
$$3km+5km+7km=15km$$

Krok 3. Obliczenie czasu jazdy.
Teraz skorzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\), który musimy jeszcze przekształcić:
$$v=\frac{s}{t} \\
vt=s \\
t=\frac{s}{v}$$

Wiemy, że \(v=25\frac{km}{h}\), a przed chwilą obliczyliśmy także, że \(s=15km\). Skoro tak, to:
$$t=\frac{15km}{25\frac{km}{h}} \\
t=0,6h$$

Musimy jeszcze zamienić ten czas na minuty. Godzina ma \(60\) minut, zatem:
$$t=0,6\cdot60min=36min$$

Krok 4. Obliczenie godziny dotarcia na spotkanie.
Skoro Adam wyjechał o godzinie 17:20 i jechał \(36\) minut, to do Bartka dotarł o godzinie 17:56.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość kawałka trasy wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy przyjmiesz poprawny sposób obliczenia czasu przejazdu co najmniej jednego poprawnie wyznaczonego
odcinka drogi.
2 pkt
• Gdy otrzymany wynik jest błędny w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Jedna puszka kosztuje \(3,60zł\).

Do zadania można podejść na różne sposoby. Najprościej byłoby zauważyć, że jeżeli do zakupu \(10\) puszek zabrakło Ani \(11zł\), a przy zakupie \(6\) puszek zostało jej jeszcze \(3,40\) złotych reszty, to \(4\) puszki kosztują \(11zł+3,40zł=14,40zł\). Skoro tak, to jedna puszka karmy kosztuje:
$$14,40zł:4=3,60zł$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawne równanie z jedną niewiadomą, dzięki któremu można obliczyć np. cenę puszki karmy lub kwoty posiadanej przez Anię.
ALBO
• Gdy metodą "prób i błędów" sprawdzisz warunki zadania dla co najmniej dwóch różnych cen puszek lub kwot posiadanych przez Anię.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|DS|=9,6cm\)

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Skoro boki prostokąta mają długość \(12 cm\) i \(16 cm\), to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że przekątna będzie mieć długość:
$$12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20 \quad\lor\quad |AC|=-20$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AC|=20\).

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ACD\).
Trójkąt \(ACD\) jest połową prostokąta \(ABCD\). Policzmy zatem najpierw pole tego prostokąta:
$$P=12cm\cdot16cm \\
P=192cm^2$$

Skoro trójkąt \(ACD\) jest połową tej figury, to jego pole będzie równe:
$$P_{ACD}=192cm^2:2 \\
P_{ACD}=96cm^2$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DS\).
Odcinek \(DS\) jest wysokością trójkąta \(ACD\), którego podstawa ma długość \(a=20\) i którego pole jest równe \(96cm^2\). Skoro tak, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
96cm^2=\frac{1}{2}\cdot20cm\cdot h \\
96cm^2=10cm\cdot h \\
h=9,6cm$$

To oznacza, że odcinek \(DS\) ma długość \(9,6cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(AC\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ACD\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(DS\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.