Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 26cm, a jedna z przyprostokątnych jest o 14cm dłuższa

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość \(26cm\), a jedna z przyprostokątnych jest o \(14cm\) dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie:
Krok 1. Wypisanie danych i wykorzystanie ich w Twierdzeniu Pitagorasa.

Zgodnie z treścią zadania:
\(x\) – długość pierwszej przyprostokątnej (w cm)
\(x+14\) – długość drugiej przyprostokątnej (w cm)
\(26\) – długość przeciwprostokątnej (w cm)

Możemy zatem ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$x^2+(x+14)^2=26^2 \\
x^2+x^2+28x+196=676 \\
2x^2+28x+196=676 \\
2x^2+28x-480=0 \quad\bigg/:2 \\
x^2+14x-240=0$$

Ostatni krok z podzieleniem obu stron przez \(2\) nie jest konieczny, ale dzięki temu będziemy bazować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=1,\;b=14,\;c=-240\)
$$Δ=b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot(-240)=196-(-960)=1156 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1156}=34$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14-34}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14+34}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, dlatego zostaje nam jedynie \(x=10\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.

Zgodnie z naszymi oznaczeniami z kroku pierwszego, boki trójkąta mają długość \(10\), \(24\) oraz \(26\), zatem obwód tej figury jest równy:
$$Obw=10+24+26=60[cm]$$

Odpowiedź:

\(Obw=60cm\)

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany.