Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 20n^2+30n+7 przy dzieleniu przez 5

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $20n^2+30n+7$ przy dzieleniu przez $5$ daje resztę $2$.

Rozwiązanie

Kluczem do rozwiązania tego typu zadań jest umiejętne wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias. Haczyk polega na tym, że aby tego dokonać, musimy liczbę $7$ rozbić na sumę $5+2$. Otrzymamy wtedy następującą sytuację:
$$20n^2+30n+7=20n^2+30n+5+2=5\cdot(4n^2+6n+1)+2$$

Mówiąc wprost - otrzymany zapis mówi nam, że nasza liczba dzieli się przez $5$, dając wynik równy $4n^2+6n+1$ i resztę równą $2$. Warto też dodać, że wartość $4n^2+6n+1$ jest na pewno liczbą naturalną, ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, a suma liczb naturalnych daje na pewno liczbę naturalną.

Odpowiedź

Udowodniono wyłączając wspólny czynnik przed nawias.

Zadania

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 20n^2+30n+7 przy dzieleniu przez 5

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).