Liczba ścian, krawędzi oraz wierzchołków graniastosłupa

Każdy graniastosłup ma określoną liczbę ścian, krawędzi oraz wierzchołków. Ich liczba uzależniona jest od figury, która znajduje się w podstawie. Ilość poszczególnych elementów można nawet wyrazić odpowiednimi wzorami:

Jeżeli \(n\) to liczba boków figury znajdującej się w podstawie, to graniastosłup będzie miał:
\(n+2\) ścian
\(3n\) krawędzi
\(2n\) wierzchołków
Przykład 1. Ile ścian, krawędzi oraz wierzchołków ma graniastosłup prosty czworokątny?

Rozwiązanie:
Nasz graniastosłup jest czworokątny, czyli w podstawie mamy czworokąt (nie jest nawet ważne jaki to jest czworokąt). Możemy więc zapisać, że \(n=4\), a w związku z tym:
Liczba ścian jest równa \(n+2\), czyli \(4+2=6\)
Liczba krawędzi jest równa \(3n\), czyli \(3\cdot4=12\)
Liczba wierzchołków jest równa \(2n\), czyli \(2\cdot4=8\)

Przykład 2. Ile ścian ma graniastosłup, który posiada \(9\) krawędzi.

Rozwiązanie:
Krok 1. Wyznaczenie figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Zgodnie z naszymi wzorami liczbę krawędzi graniastosłupa opisujemy wzorem \(3n\). Skoro nasz graniastosłup ma \(9\) krawędzi, to:
$$3n=9 \\
n=3$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby ścian graniastosłupa.
Wiemy już, że w podstawie naszej bryły znajduje się trójkąt (bo \(n=3\), czyli figura ma trzy boki). Liczbę ścian obliczymy ze wzoru \(n+2\), zatem podstawiając \(n=3\) otrzymamy:
$$n+2=3+2=5$$

To oznacza, że taki graniastosłup będzie miał \(5\) ścian.

Przykład 3. Czy istnieje graniastosłup, który ma \(11\) wierzchołków?

Rozwiązanie:
Nie, taki graniastosłup nie istnieje. Skąd to wiemy? Liczbę wierzchołków graniastosłupa opisujemy wzorem \(2n\). Skoro nasz graniastosłup ma mieć \(11\) wierzchołków, to wyszłoby nam, że:
$$2n=11 \\
n=5,5$$

Nie istnieje coś takiego jak „pięcioipółkąt”. Wartość \(n\) musi być zawsze liczbą naturalną (i to równą przynajmniej \(3\)), stąd też na pewno wskazany graniastosłup nie istnieje.

Zobacz też: Graniastosłupy

Dodaj komentarz