Matura – Matematyka – Maj 2024 – Odpowiedzi

B

Stosując standardowy mechanizm rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną, otrzymamy następującą sytuację:
$$x-1\ge3 \quad\lor\quad x-1\le-3 \\
x\ge4 \quad\lor\quad x\le-2$$

Wyszło nam, że ta nierówność jest spełniana dla \(x\) mniejszego lub równego \(-2\), a także dla \(x\) większego lub równego \(4\), co matematycznie zapisalibyśmy jako \(x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle4;+\infty)\). Taka suma przedziałów znalazła się na drugim rysunku.

B

Aby uprościć ten zapis, musimy sprowadzić potęgi do jednakowej podstawy lub jednakowego wykładnika. W tym konkretnym przypadku mamy wybór, bo i jedna i druga opcja jest możliwa, ale spróbujmy może sprowadzić te liczby do jednakowej podstawy. W tym celu trzeba zauważyć, że \(\frac{1}{16}=2^{-4}\) natomiast \(8=2^3\). W takim razie, korzystając z działań na potęgach, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(2^{-4}\right)^8\cdot\left(2^3\right)^{16}= \\
=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}$$

Udowodniono, rozpisując podaną liczbę z użyciem wzoru skróconego mnożenia.

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5$$

Teraz kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że liczbę \(5\) można rozbić na sumę \(3+2\), otrzymując:
$$3n^2+6n+3+2= \\
=3\cdot(n+2n+1)+2= \\
=3\cdot(n+1)^2+2$$

\((n+1)^2\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą. Otrzymany wynik oznacza więc, że liczba jest podzielna przez \(3\), a stojące na końcu \(+2\) pokazuje nam, że reszta z tego dzielenia będzie równa właśnie \(2\), co należało udowodnić.

C

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:

$$log_{\sqrt{3}}9=x \quad\Longleftrightarrow\quad (\sqrt{3})^x=9$$

Wiedząc, że \(\sqrt{3}=3^\frac{1}{2}\) oraz \(9=3^2\), otrzymamy:
$$\left(3^\frac{1}{2}\right)^x=3^2 \\
3^{\frac{1}{2}x}=3^2 \\
\frac{1}{2}x=2 \\
x=4$$

B

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)= \\
=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$

D

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanej nierówności. Rozwiązać to możemy na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. Dobrym pomysłem byłoby wymnożenie obydwu stron przez \(6\) (bo taka jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach), otrzymując taką oto sytuację:
$$1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x \quad\bigg/\cdot6 \\
6-9x\lt4-6x \\
-3x\lt-2 \quad\bigg/:(-3) \\
x\gt\frac{2}{3}$$

Zwróć uwagę, że przy dzieleniu obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. Wyszło nam więc, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\).

B

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), dlatego też wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$(x+2)(x-3)\neq0 \\
x+2\neq0 \quad\land\quad x-3\neq0 \\
x\neq-2 \quad\land\quad x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz przystępujemy do rozwiązania naszego równania, a zaczynamy od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). W związku z tym:
$$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0 \quad\bigg/\cdot(x+2)(x-3) \\
x+1=0 \\
x=-1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim liczba \(-1\).

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Mnożąc przez siebie wielomiany \(F(x)\) oraz \(G(x)\), otrzymamy:
$$3x\cdot(x^2+2x+3)=3x^3+6x^2+9x$$

Otrzymaliśmy więc w ten sposób wielomian \(W(x)\), zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Aby się dowiedzieć, czy \(-1\) jest rozwiązaniem tego równania, trzeba sprawdzić, czy po podstawieniu \(x=-1\) do wyrażenia \(3x^3+6x^2+9x\), otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$3\cdot(-1)^3+6\cdot(-1)^2+9\cdot(-1)= \\
=3\cdot(-1)+6\cdot1+(-9)= \\
=-3+6-9=-6$$

To oznacza, że zdanie jest fałszem.

\(x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3} \quad\lor\quad x=2\)

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$x^3-2x^2-3x+6=0 \\
x^2(x-2)-3(x-2)=0 \\
(x^2-3)(x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-3=0 \quad\lor\quad x-2=0 \\
x^2=3 \quad\lor\quad x=2 \\
x=\sqrt{3} \quad\lor\quad x=-\sqrt{3} \quad\lor\quad x=2$$

A

Pierwsze równanie jest dość oczywiste i powtarza się w każdej proponowanej odpowiedzi, a będzie to \(x+y=1960\). Trudność tego zadania opiera się zatem na poprawnym zapisaniu drugiego równania.

Jeśli uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie, to zostało tam \(0,95x\) drzew. W drugim sadzie uschło \(10\%\), zatem zostało tam \(0,9y\). Z treści zadania wynika także, że liczba drzew z drugiego sadu stanowi \(60\%\) tych z sadu pierwszego, czyli możemy zapisać, że \(0,6\cdot0,95x=0,9y\). To oznacza, że poprawny jest pierwszy układ równań.

A

Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, a więc muszą mieć ujemny współczynnik kierunkowy \(a\). Już sama ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że pasuje nam tylko układ równań z pierwszej odpowiedzi. Warto też zauważyć, że te dwie proste są równoległe, czyli ten współczynnik \(a\) muszą mieć taki sam.

D

Funkcja jest malejąca, gdy jej współczynnik \(a\) jest ujemny. W związku z tym musimy sprawdzić, kiedy \(-2k+3\) jest mniejsze od zera, zatem:
$$-2k+3\lt0 \\
-2k\lt-3 \quad\bigg/:(-2) \\
k\gt\frac{3}{2}$$

Zwróć uwagę, że podczas dzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. To oznacza, że funkcja jest malejąca dla \(k\) z przedziału \((\frac{3}{2},+\infty)\).

D

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(f\).
Miejsce zerowe to argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Musimy więc sprawdzić, kiedy \(3x+6\) jest równe \(0\), zatem:
$$3x+6=0 \\
3x=-6 \\
x=-2$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) funkcji \(g\).
Skoro funkcja \(g\) ma to samo miejsce zerowe co funkcja \(f\), to możemy stwierdzić, że dla argumentu \(x=-2\) funkcja \(g\) przyjmie wartość równą \(0\), zatem:
$$a\cdot(-2)+7=0 \\
-2a=-7 \\
a=\frac{7}{2}$$

14.1 \(x\in\langle-2;4\rangle\)
14.2. \(f(x)=-(x-1)^2+9\)
14.3. \(f(-4)=f(6)\)
14.4. A oraz E

Rozwiązanie 1.
Zapis \(f(x)\ge0\) oznacza, że szukamy takich argumentów \(x\), dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe \(0\). Z rysunku wynika, że w takim razie zbiorem rozwiązań tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle-2;4\rangle\).

Rozwiązanie 2.
Z odpowiedzi wynika, że poszukujemy wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Widzimy, że nasza parabola ma wierzchołek w punkcie \(W=(1;9)\), zatem naszą funkcję możemy zapisać jako \(f(x)=a(x-1)^2+9\).

Teoretycznie do policzenia zostałby nam jeszcze współczynnik \(a\) (na pewno będzie ujemny, bo parabola ma ramiona skierowane do dołu), ale zerkając na odpowiedzi widzimy, że nie ma takiej potrzeby, bo wszędzie \(a=-1\). W związku z tym poszukiwanym wzorem jest \(f(x)=-(x-1)^2+9\).

Rozwiązanie 3.
Zadanie polega tak naprawdę na ustaleniu, dla jakiego argumentu nasza funkcja przyjmuje tą samą wartość co dla \(x=-4\). Z rysunku wynika, że stanie się tak dla argumentu \(x=6\), stąd też \(f(-4)=f(6)\).

Rozwiązanie 4.
Krok 1. Rozwiązanie pierwszej części zadania.
Zapis \(g(x)=f(x+3)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przesunięcia funkcji \(f(x)\) o \(3\) jednostki w lewo. Taka sytuacja jest na rysunku A.

Krok 2. Rozwiązanie drugiej części zadania.
Zapis \(h(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(h(x)\) powstała w wyniku przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\) (takie odbicie lustrzane). Taka sytuacja jest na rysunku E.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Obliczmy wartość pierwszego i trzeciego wyrazu, podstawiając do wzoru ciągu odpowiednio \(n=1\) oraz \(n=3\):
$$a_{1}=(-1)^1\cdot(1-5)=(-1)\cdot(-4)=4 \\
a_{3}=(-1)^3\cdot(3-5)=(-1)\cdot(-2)=2$$

Pierwszy wyraz jest więc dwa razy większy od wyrazu trzeciego, zatem zdanie jest prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Tu prosta obserwacja pozwala stwierdzić, że na pewno nie wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Przykładowo drugi wyraz tego ciągu będzie ujemny, ponieważ:
$$a_{2}=(-1)^2\cdot(2-5)=1\cdot(-3)=-3$$

Zdanie jest więc fałszem.

B. 2.,

Krok 1. Obliczenie ilorazu \(q\) tego ciągu.
Już na pierwszy rzut oka widać, że ciąg musi być malejący, bo drugi wyraz jest mniejszy od pierwszego. Jednak najpierw ustalmy iloraz \(q\) tego ciągu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{6}{12} \\
q=\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(m\).
Trzeci wyraz ciągu musi być równy \(a_{2}\cdot q\), czyli w naszym przypadku:
$$a_{3}=6\cdot\frac{1}{2} \\
a_{3}=3$$

Trzeci wyraz jest opisany wyrażeniem \(2m-1\), a skoro tak, to:
$$2m-1=3 \\
2m=4 \\
m=2$$

To oznacza, że ciąg jest malejący oraz \(m=2\).

\(r=-2\)

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$

Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15 \\
-11=\frac{2a_{1}+14r}{2} \\
-22=2a_{1}+14r \\
-11=a_{1}+7r$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$

Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$

Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases}
-1=a_{1}+2r \\
-11=a_{1}+7r
\end{cases}

Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r \\
r=-2$$

B oraz F

Pamiętając o tym, że dla kątów rozwartych sinus przyjmuje wartości dodatnie, a cosinus ujemne, możemy od razu odrzucić odpowiedzi A oraz D, a nawet możemy odrzucić odpowiedź C, ponieważ iloczyn liczby dodatniej i ujemnej da wynik ujemny. To prowadzi nas wprost do wniosku, że pierwszą poprawną zależnością będzie ta z odpowiedzi B.

Teraz trzeba ustalić, która z dwóch pozostałych zależności - E czy F, jest tą poszukiwaną. Tu z pomocą przyjdą nam wzory z tablic, które można zastosować w omawianej na rysunku sytuacji, czyli:
$$sin\alpha=\frac{y}{r} \\
cos\alpha=\frac{x}{r}$$

W powyższych wzorach \(x\) oraz \(y\) to współrzędne jakiegoś punktu na lewym ramieniu kąta. W naszym przypadku możemy wziąć punkt \(P=(-1;3)\), zatem \(x=-1\) oraz \(y=3\). Długość \(r\) obliczamy z kolei ze wzoru \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), zatem w naszym przypadku \(r=\sqrt{(-1)^2+3^2}=\sqrt{10}\). Tym samym \(sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}\) oraz \(cos\alpha=\frac{-1}{\sqrt{10}}\), czyli \(sin\alpha=-3cos\alpha\).

B

Powinniśmy dostrzec, że zarówno z \(sin^3 20°\) jak i \(cos^2 20°\cdot sin20°\) możemy wyłączyć przed nawias \(sin20°\), otrzymując następującą sytuację:
$$sin^3 20°+cos^2 20°\cdot sin20°=sin20°\cdot(sin^2 20°+cos^2 20°)=sin20°\cdot1=sin20°$$

B

Z twierdzenia o dwusiecznej kąta wynika, że prawidłowa byłaby równość:
$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

Wykonując teraz mnożenie na krzyż, otrzymamy:
$$a\cdot d=b\cdot c$$

D

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$

W związku z tym za chwilę będziemy musieli podstawić do wzoru wartość \(sin120°\). W tablicach trygonometrycznych mamy kąty tylko i wyłącznie do \(90°\). Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Pasującym wzorem byłby np.:
$$sin(90°+\alpha)=cos\alpha$$

Jeśli podstawimy \(\alpha=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \\
sin120°=cos30°$$

Z tablic możemy teraz odczytać, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), czyli tym samym taka też jest wartość naszego \(sin120°\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Podstawiając dane z treści zadania do wzoru na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, otrzymamy:
$$P=3\cdot4\cdot sin120° \\
P=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=6\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie zaznaczenie drugiego punktu przecięcia się średnicy z okręgiem (niech to będzie punkt \(D\)), a następnie dorysowanie odcinka od punktu \(B\) do tego nowego punktu \(D\). Powstanie nam w ten sposób trójkąt \(ABD\), który na pewno jest prostokątny (ponieważ jeden z jego boków będzie średnicą okręgu). Dodatkowo kąt \(BDA\) będzie kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt o znanej nam mierze \(42°\).


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BAS\).
Znamy miary dwóch kątów w trójkącie \(ABD\), a miara trzeciego kąta jest poszukiwaną przez nas miarą kąta \(BAS\), zatem:
$$|\sphericalangle BAS|=180°-90°-42°=48°$$

A

Proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(m+1\), natomiast drugiej jest równy \(-2\), zatem:
$$(m+1)\cdot(-2)=-1 \\
-2m-2=-1 \\
-2m=1 \\
m=-\frac{1}{2}$$

\(|BC|=2\sqrt{13}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(P\) jest tym samym środkiem przekątnej \(AC\). To pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(C\).


Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Środek odcinka \(AC\) możemy opisać wzorem:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
6=\frac{-2+x_{C}}{2} \\
12=-2+x_{C} \\
x_{C}=14 \\
\quad \\
y_{P}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
7=\frac{6+y_{C}}{2} \\
14=6+y_{C} \\
y_{C}=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Długość boku \(BC\) obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2} \\
|BC|=\sqrt{4^2+6^2} \\
|BC|=\sqrt{16+36} \\
|BC|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

25.1. C. \(6\sqrt{10}\)
25.2. D.

Rozwiązanie 1.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4 \\
6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6 \\
a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3} \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).

Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6 \\
P=6\sqrt{10}$$

Rozwiązanie 2.
Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.

\(4:1\)

Krok 1. Wyznaczenie skali podobieństwa.
Z własności podobieństwa wiemy, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to objętość ostrosłupa podobnego będzie \(k^3\) razy większa. Bazując na informacjach z treści zadania, możemy stwierdzić, że:
$$k^3=\frac{512}{64} \\
k^3=8 \\
k=2$$

Krok 2. Ustalenie stosunku pól powierzchni ostrosłupów.
Z własności podobieństwa wiemy, że jeśli skala podobieństwa jest równa \(k\), to pole figury podobnej (czyli także pole powierzchni całkowitej bryły) będzie \(k^2\) razy większe.

Skoro tak, to ostrosłup \(F2\) będzie miał to pole \(4\) razy większe, bo \(2^2=4\).

Celem zadania jest zapisanie stosunku pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F2\) względem \(F1\) (czyli tego większego względem mniejszego), zatem moglibyśmy zapisać, że ten stosunek wynosi \(4:1\).

C

Rozpiszmy sobie jakie cyfry mogą pojawić się na poszczególnych miejscach naszego kodu:
· Na pierwszym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, zatem mamy \(4\) możliwości uzupełnienia pierwszej cyfry.
· Na drugim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tej, która była już wcześniej wykorzystana, zatem mamy \(3\) możliwości uzupełnienia drugiej cyfry.
· Na trzecim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych dwóch, które były już wcześniej wykorzystane, zatem mamy \(2\) możliwości uzupełnienia trzeciej cyfry.
· Na czwartym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych trzech, które były już wcześniej wykorzystane, zatem mamy \(1\) możliwość uzupełnienia czwartej cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich kodów będziemy mieć:
$$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

A

To zadanie powinniśmy rozwiązać niemalże w pamięci - od razu widać, że średnia arytmetyczna się nie zmieni. Spróbujmy to sobie jednak pokazać w nieco bardziej matematyczny sposób.

Wiemy, że średnia liczb \(a\), \(b\) oraz \(c\) jest równa \(9\), czyli:
$$\frac{a+b+c}{3}=9 \quad\bigg/\cdot3 \\
a+b+c=27$$

Chcemy policzyć średnią sześciu liczb: \(a, a, b, b, c, c\), zatem:
$$śr=\frac{a+a+b+b+c+c}{6} \\
śr=\frac{a+b+c+a+b+c}{6}$$

Wiemy, że \(a+b+c=27\), więc:
$$śr=\frac{27+27}{6} \\
sr=\frac{54}{6} \\
śr=9$$

C

Wszystkich uczniów mamy łącznie:
$$2+7+4+3+6+4=26$$

Jest to parzysta liczba uczniów, zatem mediana będzie średnią arytmetyczną środkowych wartości. Jeśli uporządkujemy oceny uczniów w porządku niemalejącym (czyli od najgorszych do najlepszych), to otrzymamy następujący zestaw:
$$1,1,2,2,2,...,6,6,6,6$$

Mediana będzie równa średniej arytmetycznej trzynastego i czternastego wyniku. Widzimy, że trzynasty uczeń dostał ocenę \(3\), natomiast czternasty dostał ocenę \(4\), zatem mediana będzie równa:
$$m=\frac{3+4}{2} \\
m=3,5$$

\(p=\frac{13}{25}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór ma \(5\) liczb, a losowanie odbywa się ze zwracaniem (czyli możemy wylosować dwa razy ten sam wynik). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana para liczb da parzystą sumę. Musimy najpierw ustalić, kiedy taka parzysta suma jest możliwa. Aby otrzymać parzystą sumę dwóch liczb, to te dwie liczby muszą być parzyste (np. \(6+8=14\)) lub też obydwie muszą być nieparzyste (np. \(5+7=12\)). Ustalmy zatem ile możemy stworzyć takich parzystych i nieparzystych par.

· Pary z parzystymi liczbami:
W zbiorze mamy dwie parzyste liczby, czyli \(6\) oraz \(8\). W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować \(2\cdot2=4\).

· Pary z nieparzystymi liczbami:
W zbiorze mamy trzy nieparzyste liczby, czyli \(5\), \(7\) oraz \(9\). W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować \(3\cdot3=9\).

Korzystając teraz z reguły dodawania, możemy stwierdzić, że wszystkich interesujących nas możliwości mamy \(|A|=4+9=13\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

\(x=4,5\) oraz \(y=3\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Wiemy, że możemy zużyć \(36m\) siatki i z niej musimy zrobić wybieg, na który składają się cztery długości \(x\) (wliczając te wewnętrzne ściany) oraz sześć długości \(y\). Pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie zatem \(4x+6y=36\).

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni obliczamy ze wzoru \(P=a\cdot b\), co po podstawianiu danych z rysunku możemy zapisać jako:
$$P=x\cdot3y$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Aby tego dokonać, wyznaczmy wartość \(y\) z równania \(4x+6y=36\).
$$4x+6y=36 \\
6y=-4x+36 \\
y=-\frac{2}{3}x+6$$

Podstawiając teraz \(y=-\frac{2}{3}x+6\) do równania \(P=x\cdot3y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot3\cdot\left(-\frac{2}{3}x+6\right) \\
P=x\cdot(-2x+18) \\
P=-2x^2+18x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni działki można opisać wzorem \(-2x^2+18x\). Całość możemy potraktować tak jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(x\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)).

Od razu możemy też zapisać, że \(x\gt0\) oraz \(y\gt0\). Tym samym skoro \(y=-\frac{2}{3}x+6\), to otrzymamy założenie, że \(-\frac{2}{3}x+6\gt0\), co po rozwiązaniu tej nierówności da \(x\lt9\). Dzięki temu możemy stwierdzić, że dziedziną tej funkcji będzie \(x\in(0;9)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a tutaj ta parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-18}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-18}{-4} \\
x_{W}=4,5$$

Wiemy już, że największa wartość jest przyjmowana, gdy \(x=4,5\), a otrzymany wynik mieści się w naszej dziedzinie. Gdybyśmy chcieli obliczyć ile wynosi ta największa wartość, to moglibyśmy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\), ale nas to nie interesuje. My musimy poznać wartość \(y\). Skoro tak, to wracamy do równania \(4x+6y=36\) i podstawiając teraz \(x=4,5\), otrzymamy:
$$4\cdot4,5+6y=36 \\
18+6y=36 \\
6y=18 \\
y=3$$

Tym samym powierzchnia naszych wybiegów będzie największa, gdy \(x=4,5\) metra oraz \(y=3\) metry.