Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2023 – Odpowiedzi

C

Chcąc wykonać działania na potęgach najprościej będzie zamienić ułamek dziesiętny \(-2,4\) na ułamek zwykły \(-\frac{24}{10}\), co po skróceniu da postać \(-\frac{12}{5}\). Teraz całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$${(3^{-2,4}\cdot3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{2}}={(3^{-\frac{12}{5}}\cdot3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{2}}= \\
={(3^{-\frac{12}{5}+\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{2}}={(3^{-\frac{10}{5}})}^{\frac{1}{2}}= \\
={(3^{-2})}^{\frac{1}{2}}=3^{-2\cdot\frac{1}{2}}=3^{-1}=\frac{1}{3}$$

D

Nasze logarytmy mają jednakową podstawę, zatem korzystając z działań na logarytmach, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$log_{2}96-log_{2}3=log_{2}\frac{96}{3}=log_{2}32=5$$

Jeśli nie dostrzegasz, że \(log_{2}32=5\), to zawsze można to rozpisać w klasyczny sposób:
$$log_{2}32=x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=32$$

Wiedząc, że \(32=2^5\), otrzymamy:
$$2^x=32 \\
2^x=2^5 \\
x=5$$

B

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K_{n}=4851\)
\(p=0,05\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,05\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(5\%\), czyli \(0,05\).

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są co rok. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\cdot1=2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$4851=K\cdot(1+0,05)^{2} \\
4851=K\cdot1,1025 \\
K=4400$$

A

Kiedy widzimy, że rozwiązaniem nierówności z wartością bezwzględną jest jeden przedział (a nie suma przedziałów) to nasz wzrok powinien kierować się przede wszystkim w stronę odpowiedzi ze znakiem \(\lt\). W takim razie rozpatrywać powinniśmy przede wszystkim odpowiedzi A oraz C.

Najbezpieczniej byłoby rozwiązać podane nierówności, zaczynając właśnie od odpowiedzi A oraz C, bo to właśnie tam powinniśmy otrzymać pożądany wynik. W związku z tym:

Odp. A.
$$|x-2|\lt5 \\
x-2\lt5 \quad\land\quad x-2\gt-5 \\
x\lt7 \quad\land\quad x\gt-3$$

Zapisalibyśmy więc, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(-3,7)\) i jest to dokładnie ten sam przedział, który został zaznaczony na rysunku, stąd też na pewno będzie to poprawna odpowiedź.

Dla pewności możemy jeszcze sprawdzić odpowiedź C:
$$|x-5|\lt2 \\
x-5\lt2 \quad\land\quad x-5\gt-2 \\
x\lt7 \quad\land\quad x\gt3$$

Zapisalibyśmy więc, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(3,7)\), czyli to nie jest poprawna odpowiedź.

Udowodniono podstawiając pod \(n\) wyrażenie \(2x+1\) i wyłączając czwórkę przed nawias.

Jeżeli \(n\) ma być liczbą nieparzystą, to moglibyśmy zapisać ją w postaci \(n=2x+1\), gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą (jest to standardowy sposób zapisu liczb nieparzystych). W takiej sytuacji nasza liczba przyjęłaby postać:
$$3\cdot(2x+1)^2+4\cdot(2x+1)+1= \\
=3\cdot(4x^2+4x+1)+8x+4+1= \\
=12x^2+12x+3+8x+4+1= \\
=12x^2+20x+8= \\
=4(3x^2+5x+2)$$

Wyłączając czwórkę przed nawias pokazaliśmy, że nasza liczba jest podzielna przez \(4\), a wynikiem tego dzielenia jest po prostu \(3x^2+5x+2\), które jest liczbą całkowitą. Dowodzenie możemy zatem uznać za skończone.

C

Układ równań możemy rozwiązać na różne sposoby, ale w tym przypadku chyba najprościej będzie skorzystać z metody przeciwnych współczynników, wymnażając pierwsze równanie przez \(-2\), zatem:
\begin{cases}
x-3y+5=0 \quad\bigg/\cdot(-2)\\
2x+y+3=0
\end{cases}

\begin{cases}
-2x+6y-10=0 \\
2x+y+3=0
\end{cases}

Dodając teraz te równania stronami, otrzymamy:
$$7y-7=0 \\
7y=7 \\
y=1$$

I tak prawdę mówiąc na tym moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie zadania, ponieważ tylko w jednej odpowiedzi mamy \(y=1\). Nie mniej jednak dla pewności wyznaczmy jeszcze wartość \(x\). W tym celu wystarczy do dowolnego równania z układu (np. pierwszego) podstawić obliczone przed chwilą \(y=1\), zatem:
$$x-3\cdot1+5=0 \\
x-3+5=0 \\
x+2=0 \\
x=-2$$

C

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie dostrzeżenie, że \(x^2+4x+4\) możemy rozpisać jako \((x+2)^2\), wyrażenie \(x^2+2x\) po wyłączeniu \(x\) przed nawias to będzie \(x\cdot(x+2)\), natomiast \(2x+6\) będzie równe \(2\cdot(x+3)\). Dzięki temu będziemy w stanie za chwilę dość mocno skrócić liczniki z mianownikami:
$$\frac{x+3}{(x+2)^2}\cdot\frac{x\cdot(x+2)}{2\cdot(x+3)}$$

Widzimy teraz, że "po skosie" skrócą nam się \(x+3\) oraz \(x+2\), co da nam postać:
$$\frac{1}{x+2}\cdot\frac{x}{2}$$

I teraz mnożąc te dwa ułamki, otrzymamy postać:
$$\frac{x}{2x+4}$$

D

Z informacji \(W(x)=(x+1)\cdot Q(x)\) wynika, że wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x+1\), a wynikiem takiego dzielenia byłby właśnie wielomian \(Q(x)\). Z twierdzenia Bezouta wiemy, że wielomian jest podzielny przez dwumian \(x-a\) tylko wtedy, gdy \(a\) jest pierwiastkiem tego wielomianu. W naszym przypadku wielomian jest podzielny przez \(x+1\), czyli przez \(x-(-1)\), zatem \(a=-1\). Te wszystkie informacje koniec końców oznaczają, że dla zmiennej \(x=-1\) nasz wielomian musi przyjać wartość równą \(0\), co daje nam następujące równanie do rozwiązania:
$$-3\cdot(-1)^3-(-1)^2+k\cdot(-1)+1=0 \\
-3\cdot(-1)-1-k+1=0 \\
3-1-k+1=0 \\
3-k=0 \\
k=3$$

\(x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\frac{3}{2}\)

Na początek musiimy uporządkować nasze równanie w taki sposób, aby po prawej stronie otrzymać \(0\), zatem:
$$2x^3+3x^2=10x+15 \\
2x^3+3x^2-10x-15=0$$

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$2x^3+3x^2-10x-15=0 \\
x^2(2x+3)-5(2x+3)=0 \\
(x^2-5)\cdot(2x+3)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-5=0 \quad\lor\quad 2x+3=0 \\
x^2=5 \quad\lor\quad 2x=-3 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\frac{3}{2}$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Miejscem zerowym nazywamy taki argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero. Mówiąc bardziej obrazowo - chcąc poznać miejsce zerowe tej funkcji, wystarczy sprawdzić kiedy \(-\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\) będzie równe \(0\), zatem:
$$-\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}=0 \\
-\frac{1}{6}x=-\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot(-6) \\
x=4$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Punkt przecięcia się wykresu funkcji liniowej z osią \(Oy\) możemy odczytać wprost ze współczynnika \(b\) naszej funkcji. Wszystkie funkcje liniowe przecinają się z osią \(Oy\) w punkcie \(P=(0,b)\), więc w naszym przypadku ta funkcja przecięłaby się w punkcie o współrzędnych \(\left(0,\frac{2}{3}\right)\). Zdanie jest więc fałszem.

Jeśli nie pamiętasz o tej własności, to do prawidłowej odpowiedzi można dojść też w inny sposób. Wystarczy sprawdzić jaką wartość przyjmuje ta funkcja dla \(x=0\) (tam właśnie nastąpi przecięcie się z osią \(Oy\)). Otrzymalibyśmy wtedy informację, że:
$$f(0)=-\frac{1}{6}\cdot0+\frac{2}{3} \\
f(0)=\frac{2}{3}$$

I to by oznaczało, że wykres przetnie oś \(Oy\) w punkcie o współrzędnych \(\left(0,\frac{2}{3}\right)\).

D

Chcąc poznać temperaturę po \(20\) minutach, wystarczy podstawić do wzoru \(x=20\), dzięki czemu otrzymamy:
$$T(20)=78\cdot2^{-0,05\cdot20}+22 \\
T(20)=78\cdot2^{-1}+22 \\
T(20)=78\cdot\frac{1}{2}+22 \\
T(20)=39+22 \\
T(20)=61$$

A

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Znamy wartości dwóch sąsiednich wyrazów ciągu arytmetycznego, więc wyliczenie różnicy będzie bardzo proste:
$$r=a_{3}-a_{2} \\
r=9-4 \\
r=5$$

Krok 2. Obliczenie wartości szóstego wyrazu ciągu.
Z własności ciągów arytmetycznych wynika, że wartość szóstego wyrazu będzie równa wartości wyrazu trzeciego, do którego dodamy trzy różnice (ewentualnie wartości drugiego wyrazu do którego dodamy cztery różnice). Możemy więc zapisać, że:
$$a_{6}=a_{3}+3r \\
a_{6}=9+3\cdot5 \\
a_{6}=9+15 \\
a_{6}=24$$

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Wartość pierwszego wyrazu będzie równa tak naprawdę \(S_{1}\) (czyli "sumie pierwszego wyrazu"), stąd też dość nietypowo możemy obliczyć wartość \(a_{1}\) podstawiając \(n=1\) do wzoru podanego w treści zadania:
$$S_{1}=4\cdot(2^{1}-1) \\
S_{1}=4\cdot(2-1) \\
S_{1}=4\cdot1 \\
S_{1}=4$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Obliczmy teraz ile jest równe \(S_{2}\), podstawiając \(n=2\) do wzoru z treści zadania:
$$S_{2}=4\cdot(2^{2}-1) \\
S_{2}=4\cdot(4-1) \\
S_{2}=4\cdot3 \\
S_{2}=12$$

\(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, a więc \(a_{1}+a_{2}\). Wiemy już, że \(a_{1}\) jest równe \(4\), czyli tym samym \(a_{2}\) będzie równe \(8\), bo \(4+8=12\). To oznacza, że zdanie jest fałszem.

A

Jedną z kluczowych własności ciągów geometrycznych jest następująca zależność występująca między trzema kolejnymi wyrazami:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tego równania dane z treści zadania, otrzymamy:
$$12^2=(1-2a)\cdot48 \\
144=48-96a \\
96=-96a \\
a=-1$$

B oraz D

Krok 1. Omówienie kąta \(\alpha\).
Opisana w treści zadania sytuacja związana jest z następującymi wzorami, które możemy znaleźć w tablicach matematycznych:
\(sin\alpha=\frac{y}{r} \\
cos\alpha=\frac{x}{r} \\
tg\alpha=\frac{y}{x}\)

W powyższych wzorach \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, który znajduje się na jednym z ramion zaznaczonego kąta, natomiast \(r\) to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.

Zacznijmy zatem kąta \(\alpha\). Wiemy, że \(tg\alpha=-\frac{2}{3}\). Z wypisanych wcześniej wzorów wynika więc, że \(x=3\) oraz \(y=-2\), albo też \(x=-3\) oraz \(y=2\) (nie są to co prawda jedyne możliwości, bo równie dobrze mogłoby to być np. \(x=6\) oraz \(y=-4\), ale właśnie te dwie pary współrzędnych należałoby przeanalizować w pierwszej kolejności). Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy na rysunkach sytuacji, w której punkt leżący na ramieniu kąta przyjmuje współrzędne \((3;-2)\) lub \((-3;2)\) i widzimy, że właśnie ten drugi przypadek znalazł się na rysunku z odpowiedzi B.

Krok 2. Omówienie kąta \(\beta\).
Z zapisu \(cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}\) wynika, że pasowałaby nam taka odpowiedź, w której \(x=1\), a odległość punktu od początku układu współrzędnych to \(r=\sqrt{10}\). Tylko rysunek z odpowiedzi D ma zaznaczony punkt o współrzędnej \(x=1\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź. Odległość \(r=\sqrt{10}\) też się tutaj zgadza, co bardzo dobrze widać na poniższym rysunku:

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Do zadania możemy podejść na różne sposoby. Możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej i obliczyć w ten sposób wartość cosinusa, a potem dzieląc sinus przez cosinus obliczymy wartość tangensa. Można też zastosować drugi sposób, który sprawdzi się tutaj znacznie lepiej - wykorzystamy trójkąt prostokątny. Wiedząc, że \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\) możemy przyjąć, że przyprostokątna naprzeciwko kąta \(\alpha\) ma długość \(\sqrt{5}x\), natomiast przeciwprostokątna będzie równa \(3x\):


Uwaga: Nie możemy pisać, że przyprostokątna ma długość \(\sqrt{5}\), a przeciwprostokątna \(3\), bo równie dobrze te boki mogłyby miec odpowiednio miary \(2\sqrt{5}\) oraz \(6\) i wtedy też sinus byłby równy \(\frac{\sqrt{5}}{3}\). Dlatego też precyzyjniej jest stosować zapisy z niewiadomą \(x\).

Krok 2. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Do poznania wartości tangensa potrzebujemy jeszcze długości drugiej przyprostokątnej, a poznamy ją korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
$$(\sqrt{5}x)^2+b^2=(3x)^2 \\
5x^2+b^2=9x^2 \\
b^2=4x^2 \\
b=2x \quad\lor\quad b=-2x$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(b=2x\).

Krok 3. Obliczenie tangensa.
Znając długości obydwu przyprostokątnych, możemy zapisać, że:
$$tg\alpha=\frac{\sqrt{5}x}{2x} \\
tg\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

D

Krok 1. Ustalenie współczynnika kierunkowego \(a\).
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) jest równy \(-1\). Prosta \(l\) ma ten współczynnik równy \(\frac{3}{2}\), zatem prosta \(k\) musi mieć współczynnik \(a=-\frac{2}{3}\), ponieważ \(\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=-1\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(k\).
Po powyższej analizie możemy stwierdzić, że prosta \(k\) będzie wyrażać się równaniem:
$$y=-\frac{2}{3}x+b$$

Do pełnego wzoru brakuje nam już tylko znajomości współczynnika \(b\). Aby go poznać, musimy podstawić współrzędne punktu \(P\) do powyższego równania, zatem:
$$0=-\frac{2}{3}\cdot6+b \\
0=-4+b \\
b=4$$

To oznacza, że nasza prosta będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{2}{3}x+4\).

B

Dwie proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\), natomiast druga ma ten współczynnik opisany jako \(a=2m-1\). Skoro mają one być sobie równe, to otrzymamy do rozwiązania takie oto równanie:
$$-\frac{1}{2}=2m-1 \\
\frac{1}{2}=2m \\
m=\frac{1}{4}$$

A

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i obliczenie długości promienia okręgu.
Największą trudnością w tym zadaniu jest poprawne określenie długości promienia okręgu, bo bardzo łatwo tutaj o pomyłkę. Jeśli nasz okrąg ma być styczny do osi \(Ox\), to całość musi wyglądać w następujący sposób:


Widzimy więc wyraźnie, że \(r=2\).

Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a,b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. W takim razie równaniem naszego okręgu będzie:
$$(x-4)^2+(y-(-2))^2=2^2 \\
(x-4)^2+(y+2)^2=4$$

D

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(KL\).
Odcinek \(KL\) jest jednym z boków trójkąta równobocznego, więc jeśli poznamy jego miarę, to będziemy bardzo blisko wyznaczenia pola trójkąta. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych wyjdzie nam, że:
$$|KL|=\sqrt{(x_{L}-x_{K})^2+(y_{L}-y_{K})^2} \\
|KL|=\sqrt{(-1-(-7))^2+(4-(-2))^2} \\
|KL|=\sqrt{6^2+6^2} \\
|KL|=\sqrt{36+36} \\
|KL|=\sqrt{72}$$

Możemy oczywiście jeszcze wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, rozpisując ten pierwiastek jako \(\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}\), ale prawdę mówiąc nie ma tutaj takiej potrzeby, wręcz postać \(\sqrt{72}\) będzie dla nas za chwilę wygodniejsza.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Wiemy już, że nasz trójkąt równoboczny ma wszystkie boki o długości \(a=6\sqrt{2}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(\sqrt{72})^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{72\sqrt{3}}{4} \\
P=18\sqrt{3}$$

B

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(OAB\).
Z własności stycznych do okręgu wynika, że prosta \(k\) musi być prostopadła do promienia. To pozwala nam stwierdzić, że suma kątów \(OAB\) oraz oznaczonego kąta o mierze \(32°\) musi być łącznie równa \(90°\). Skoro tak, to:
$$|\sphericalangle OAB|=90°-32°=58°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BOC\).
Poszukiwany kąt \(BOC\) jest kątem środkowym, który jest oparty na tym samym łuku co kąt wpisany \(OAB\). Z własności kątów środkowych i wpisanych wynika, że miara kąta środkowego będzie dwa razy większa od wpisanego, zatem:
$$|\sphericalangle BOC|=58°\cdot2=116°$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Widząc, że przekątne rombu przecinają się w połowie swojej długości, powstanie nam taka oto sytuacja:


Przy okazji, możemy od razu zapisać sobie jakie relacje zachodzą między bokami w trójkącie \(30°, 60°, 90°\) (na rysunku zapisane są na zielono).

Krok 2. Obliczenie długości drugiej przekątnej.
Na początek obliczmy długość odcinka \(x\), czyli połowę naszej drugiej przekątnej. Najprościej będzie po prostu skorzystać z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).
$$x\sqrt{3}=6 \\
x=\frac{6}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
x=\frac{6\sqrt{3}}{3} \\
x=2\sqrt{3}$$

Tym samym możemy zapisać, że cała przekątna będzie mieć długość \(4\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie pola rombu.
Znając długości dwóch przekątnych, możemy skorzystać ze standardowego wzoru na pole rombu:
$$P=\frac{1}{2}\cdot e\cdot f \\
P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot4\sqrt{3} \\
P=24\sqrt{3}$$

\(r=7\)

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ACP\) oraz \(BPD\).
Spójrzmy na kąty \(ABD\) i \(ACD\). Są to dwa kąty wpisane, które oparte są na tym samym łuku, co z kolei prowadzi nas do wniosku, że miary tych kątów będą jednakowe.

Analogicznie jest w przypadku kątów \(BAC\) oraz \(BDC\) - tutaj także mamy kąty oparte na tym samym łuku, więc miara tych dwóch kątów będzie taka sama.

Dodatkowo trzeba zauwayć, że kąty \(APC\) oraz \(BPD\) są kątami wierzchołkowymi, czyli w tej parze miara kątów również będzie jednakowa.

To wszystko sprawia, że trójkąty \(ACP\) oraz \(BPD\) będą na pewno trójkątami podobnymi (cecha: kąt-kąt-kąt).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(PA\).
Z podobieństwa trójkątów wynika, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}$$

Podstawiając znane długości boków, otrzymamy:
$$\frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4}$$

Mnożąc teraz na krzyż wyjdzie nam, że:
$$|PA|\cdot4=5\cdot8 \\
4|PA|=40 \\
|PA|=10$$

Krok 3. Obliczenie długości średnicy okręgu.
Z rysunku wynika, że średnica \(AB\) jest równa sumie odcinków \(PA\) oraz \(PB\), zatem:
$$|AB|=10+4 \\
|AB|=14$$

Krok 4. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień jest zawsze równy połowie średnicy, zatem:
$$r=14:2 \\
r=7$$

A

Zadanie sprawdza naszą wyobraźnię. Nie ma znaczenia, czy punkt \(P\) jest trochę bardziej po lewej stronie, czy po prawej, ani czy jest wyżej lub niżej. Tu trzeba zauważyć, że pomiędzy równoległymi ścianami odległość zawsze wyniesie \(5\), a skoro mamy trzy pary równoległych ścian, to suma odległości punkt \(P\) od ścian będzie równa \(3\cdot5=15\). Dobrze to będzie widać na poniższym rysunku:

\(h_{b}=10\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został zaznaczony na rysunku. Mamy informację, że \(tg\alpha=\frac{4}{3}\) i to będzie nasz punkt wyjścia do zapisania pewnych oznaczeń. Moglibyśmy zapisać, że w takiej sytuacji przyprostokątna będąca jednocześnie wysokością ostrosłupa ma długość \(4x\), a przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) (która jest połową długości krawędzi podstawy) będzie miała długość \(3x\). Od razu też możemy dodać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa), że przeciwprostokątna tego trójkąta (która jest jednocześnie poszukiwaną wysokością ściany bocznej) będzie miała długość \(5x\).


I tu dość ważna uwaga. Nie możemy zapisać, że nasze przyprostokątne mają długość \(4\) oraz \(3\), bo równie dobrze mogłyby to być miary \(40\) oraz \(30\) i dla nich też mielibyśmy tangens równy \(\frac{4}{3}\). Dlatego właśnie tak ważne (zwłaszcza w tego typu zadaniach) jest zapisywanie tych miar jako \(4x\) oraz \(3x\).

Krok 2. Zapisanie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.
Krawędź podstawy będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej analizowanego przed chwilą trójkąta prostokątnego, zatem zapisalibyśmy, że:
$$a=2\cdot3x \\
a=6x$$

W podstawie naszego ostrosłupa znajduje się kwadrat (ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), zatem od razu możemy zapisać, że jego pole jest równe:
$$P_{p}=(6x)^2 \\
P_{p}=36x^2$$

Krok 3. Wyznaczenie długości \(x\).
Z treści zadania wynika, że objętość naszej bryły jest równa \(384\). Wiemy już, że \(P_{p}=36x^2\) oraz \(H=4x\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
384=\frac{1}{3}\cdot36x^2\cdot4x \\
384=12x^2\cdot4x \\
384=48x^3 \\
x^3=8 \\
x=2$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Na koniec została już tylko formalność. Celem zadania jest poznanie wysokości ściany bocznej, a skoro ta ma długość \(5x\), to możemy zapisać, że:
$$h_{b}=5\cdot2 \\
h_{b}=10$$

\(840\)

Krok 1. Ustalenie jakie trzy cyfry mogą się pojawić na początku numeru CAN.
Trzy pierwsze cyfry muszą tworzyć ciąg arytmetyczny o różnicy \(-3\). Mówiąc bardziej obrazowo, druga cyfra musi być o \(3\) mniejsza od pierwszej, a trzecia cyfra o \(3\) mniejsza od drugiej. Najwyższą cyfrą na matematyce jest oczywiście \(9\), więc trzema pierwszymi cyframi mogłyby być zestawy:
$$9, 6, 3 \\
8, 5, 2 \\
7, 4, 1 \\
6, 3, 0$$

To oznacza, że mamy \(4\) różne zestawy liczb, które mogą znaleźć się na pierwszych trzech miejscach.

Krok 2. Obliczenie ilości liczb spełniających warunki zadania.
Rozpiszmy sobie dokładnie jakie liczby mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach naszego numeru CAN.
· Na pierwszych trzech miejscach musi znaleźć się jeden z \(4\) zestawów liczb. Mamy zatem \(4\) możliwości.
· Czwartą cyfrą może być dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale przez to że cyfry nie mogą się powtarzać, muszą to być wartości inne niż na pierwszych trzech miejscach naszej liczby. Mamy zatem \(10-3=7\) możliwości.
· Piątą cyfrą może być dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale muszą to być wartości inne niż na pierwszych czterech miejscach naszej liczby. Mamy zatem \(10-4=6\) możliwości.
· Szóstą cyfrą może być dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale muszą to być wartości inne niż na pierwszych pięciu miejscach naszej liczby.. Mamy zatem \(10-5=5\) możliwości.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$4\cdot7\cdot6\cdot5=840$$

C

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Rzucamy kostką dwukrotnie, zatem zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Iloczyn będzie liczbą nieparzystą tylko wtedy, gdy obydwie wylosowane liczby będą nieparzyste np. \(3\cdot5=15\). Możemy oczywiście wypisać takie pary liczb, albo też ponownie posłużyć się regułą mnożenia. Na kostce mamy trzy cyfry nieparzyste: \(1\), \(3\) oraz \(5\), zatem zgodnie z regułą mnożenia par nieparzystych wyników będziemy mieć \(|A|=3\cdot3=9\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$$

\(b=3dm\) oraz \(P=112,5dm^2\)

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że krótsza podstawa (oznaczmy ją jako \(b\)) oraz wysokość \(h\) mają mieć łączną długość równą \(18dm\). Zapiszmy zatem, że:
$$b+h=18 \\
b=18-h$$

Przy okazji możemy zapisać założenie, że \(b\) musi być mniejsze od \(12\) (bo w przeciwnym wypadku nie będzie to krótsza podstawa), no i oczywiście musi być większe od \(0\), zatem \(b\in(0,12)\).

Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$

Wiemy, że \(a=12\) oraz \(b=18-h\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(12+18-h)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(30-h)\cdot h \\
P=(15-\frac{1}{2}h)\cdot h \\
P=15h-\frac{1}{2}h^2 \\
P=-\frac{1}{2}h^2+15h$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(h)\).
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(h\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(h)=-\frac{1}{2}h^2+15h\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(h\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(h\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-15}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
x_{W}=\frac{-15}{-1} \\
x_{W}=15$$

Wyliczyliśmy zatem, że pole powierzchni będzie największe gdy \(h=15\).

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej podstawy.
Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość krótszej podstawy, którą oznaczyliśmy jako \(b\). Zapisaliśmy sobie wcześniej, że \(b=18-h\), zatem:
$$b=18-15 \\
b=3[dm]$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Na koniec musimy obliczyć pole trapezu. Możemy w tym celu skorzystać ze wzoru, który zapisaliśmy wcześniej, czyli \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\) i podstawić do niego \(h=15\). Możemy też po prostu skorzystać ze standardowego wzoru na pole trapezu, bo znamy wszystkie miary naszego trapezu, czyli \(a=12\), \(b=3\) oraz \(h=15\). Skorzystamy może z tego standardowego wzoru, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(12+3)\cdot15 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot15 \\
P=112,5[dm^2]$$