Matura – Matematyka – Maj 2024 (stara matura) – Odpowiedzi

C

Z treści zadania wynika, że:
\(x\) - początkowa cena sandałów
\(1,2x\) - cena sandałów po podwyżce
\(0,9\cdot1,2x=1,08x\) - cena sandałów po obniżce

Jeśli po tych wszystkich zmianach sandały kosztowały \(81zł\), to otrzymamy równanie:
$$1,08x=81 \\
x=75$$

B

Aby uprościć ten zapis, musimy sprowadzić potęgi do jednakowej podstawy lub jednakowego wykładnika. W tym konkretnym przypadku mamy wybór, bo i jedna i druga opcja jest możliwa, ale spróbujmy może sprowadzić te liczby do jednakowej podstawy. W tym celu trzeba zauważyć, że \(\frac{1}{16}=2^{-4}\) natomiast \(8=2^3\). W takim razie, korzystając z działań na potęgach, otrzymamy:
$$\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot8^{16}=\left(2^{-4}\right)^8\cdot\left(2^3\right)^{16}= \\
=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{-32+48}=2^{16}$$

C

Korzystając z działań na logarytmach, możemy zapisać, że:

$$log_{\sqrt{3}}9=x \quad\Leftrightarrow\quad (\sqrt{3})^x=9$$

Wiedząc, że \(\sqrt{3}=3^\frac{1}{2}\) oraz \(9=3^2\), otrzymamy:
$$\left(3^\frac{1}{2}\right)^x=3^2 \\
3^{\frac{1}{2}x}=3^2 \\
\frac{1}{2}x=2 \\
x=4$$

B

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2a+b)^2-(2a-b)^2=4a^2+4ab+b^2-(4a^2-4ab+b^2)= \\
=4a^2+4ab+b^2-4a^2+4ab-b^2=8ab$$

D

Celem zadania jest po prostu rozwiązanie podanej nierówności. Rozwiązać to możemy na różne sposoby, ale najprościej będzie zacząć od pozbycia się ułamków. Dobrym pomysłem byłoby wymnożenie obydwu stron przez \(6\) (bo taka jest najmniejsza wspólna wielokrotność liczb znajdujących się w mianownikach), otrzymując taką oto sytuację:
$$1-\frac{3}{2}x\lt\frac{2}{3}-x \quad\bigg/\cdot6 \\
6-9x\lt4-6x \\
-3x\lt-2 \quad\bigg/:(-3) \\
x\gt\frac{2}{3}$$

Zwróć uwagę, że przy dzieleniu obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. Wyszło nam więc, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(\left(\frac{2}{3};+\infty\right)\).

B

Chcąc rozwiązać to równanie musimy postępować tak, jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wyrażenia do zera, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad x+2=0 \quad\lor\quad x^2+9=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x^2=-9 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad \text{brak rozw.}$$

Nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu dałaby wynik ujemny, stąd równanie \(x^2=-9\) nie ma rozwiązań. Tym samym całe równanie ma dwa rozwiązania: \(x=0\) oraz \(x=-2\), a większym z nich jest oczywiście \(x=0\).

B

Krok 1. Zapisanie założeń.
Zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia do naszego równania. Na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), dlatego też wartość mianownika musi być różna od zera. To oznacza, że:
$$(x+2)(x-3)\neq0 \\
x+2\neq0 \quad\land\quad x-3\neq0 \\
x\neq-2 \quad\land\quad x\neq3$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Teraz przystępujemy do rozwiązania naszego równania, a zaczynamy od wymnożenia obydwu stron przez zawartość z mianownika. Sprawi to, że po lewej stronie zostanie nam tylko licznik, a po prawej cały czas będziemy mieć \(0\). W związku z tym:
$$\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0 \quad\bigg/\cdot(x+2)(x-3) \\
x+1=0 \\
x=-1$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązanie nie wyklucza się z założeniami, czyli to równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie i jest nim liczba \(-1\).

A

Pierwsze równanie jest dość oczywiste i powtarza się w każdej proponowanej odpowiedzi, a będzie to \(x+y=1960\). Trudność tego zadania opiera się zatem na poprawnym zapisaniu drugiego równania.

Jeśli uschło \(5\%\) drzew w pierwszym sadzie, to zostało tam \(0,95x\) drzew. W drugim sadzie uschło \(10\%\), zatem zostało tam \(0,9y\). Z treści zadania wynika także, że liczba drzew z drugiego sadu stanowi \(60\%\) tych z sadu pierwszego, czyli możemy zapisać, że \(0,6\cdot0,95x=0,9y\). To oznacza, że poprawny jest pierwszy układ równań.

A

To zadanie powinniśmy rozwiązać niemalże w pamięci - od razu widać, że średnia arytmetyczna się nie zmieni. Spróbujmy to sobie jednak pokazać w nieco bardziej matematyczny sposób.

Wiemy, że średnia liczb \(a\), \(b\) oraz \(c\) jest równa \(9\), czyli:
$$\frac{a+b+c}{3}=9 \quad\bigg/\cdot3 \\
a+b+c=27$$

Chcemy policzyć średnią sześciu liczb: \(a, a, b, b, c, c\), zatem:
$$śr=\frac{a+a+b+b+c+c}{6} \\
śr=\frac{a+b+c+a+b+c}{6}$$

Wiemy, że \(a+b+c=27\), więc:
$$śr=\frac{27+27}{6} \\
sr=\frac{54}{6} \\
śr=9$$

A

Z rysunku wynika, że obydwie proste są malejące, a więc muszą mieć ujemny współczynnik kierunkowy \(a\). Już sama ta obserwacja pozwala nam stwierdzić, że pasuje nam tylko układ równań z pierwszej odpowiedzi. Warto też zauważyć, że te dwie proste są równoległe, czyli ten współczynnik \(a\) muszą mieć taki sam.

C

Zadanie zawiera klasyczną pułapkę - początkowo mogłoby się wydawać, że funkcja nie przyjmuje wartości \(y=4\), bo po lewej stronie wykresu mamy niezamalowaną kropkę. I owszem, dla \(x=-6\) funkcja nie przyjmuje tej wartości, ale przecież dla np. \(x=-3\) ta wartość jest już przyjmowana. Z tego też względu zbiorem wartości tej funkcji będzie przedział \(\langle1,4\rangle\).

D

Funkcja jest malejąca, gdy jej współczynnik \(a\) jest ujemny. W związku z tym musimy sprawdzić, kiedy \(-2k+3\) jest mniejsze od zera, zatem:
$$-2k+3\lt0 \\
-2k\lt-3 \quad\bigg/:(-2) \\
k\gt\frac{3}{2}$$

Zwróć uwagę, że podczas dzielenia obydwu stron nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak na przeciwny. To oznacza, że funkcja jest malejąca dla \(k\) z przedziału \((\frac{3}{2},+\infty)\).

D

Krok 1. Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji \(f\).
Miejsce zerowe to argument \(x\) dla którego funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Musimy więc sprawdzić, kiedy \(3x+6\) jest równe \(0\), zatem:
$$3x+6=0 \\
3x=-6 \\
x=-2$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika \(a\) funkcji \(g\).
Skoro funkcja \(g\) ma to samo miejsce zerowe co funkcja \(f\), to możemy stwierdzić, że dla argumentu \(x=-2\) funkcja \(g\) przyjmie wartość równą \(0\), zatem:
$$a\cdot(-2)+7=0 \\
-2a=-7 \\
a=\frac{7}{2}$$

B

Z odpowiedzi wynika, że poszukujemy wzoru funkcji w postaci kanonicznej typu \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Widzimy, że nasza parabola ma wierzchołek w punkcie \(W=(1;9)\), zatem naszą funkcję możemy zapisać jako \(f(x)=a(x-1)^2+9\).

Teoretycznie do policzenia zostałby nam jeszcze współczynnik \(a\) (na pewno będzie ujemny, bo parabola ma ramiona skierowane do dołu), ale zerkając na odpowiedzi widzimy, że nie ma takiej potrzeby, bo wszędzie \(a=-1\). W związku z tym poszukiwanym wzorem jest \(f(x)=-(x-1)^2+9\).

A

Zadanie polega tak naprawdę na ustaleniu, dla jakiego argumentu nasza funkcja przyjmuje tą samą wartość co dla \(x=-4\). Z rysunku wynika, że stanie się tak dla argumentu \(x=6\), stąd też \(f(-4)=f(6)\).

C

W tym zadaniu wystarczy skorzystać z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Wynika z niej, że:
$$a_{5}=\frac{a_{4}+a_{6}}{2} \\
a_{5}=\frac{-2+16}{2} \\
a_{5}=\frac{14}{2} \\
a_{5}=7$$

C

W zasadzie iloraz tego ciągu można odczytać wprost ze wzoru - to będzie podstawa naszej potęgi, czyli \(q=2\). Jeśli jednak tego nie dostrzegamy, to zawsze możemy obliczyć dwa przykładowe wyrazy tego ciągu, a następnie obliczyć iloraz. Obliczmy zatem najpierw \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\):
$$a_{1}=2^{1-1}=2^0=1 \\
a_{2}=2^{2-1}=2^1=2$$

Tym samym:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{2}{1} \\
q=2$$

A

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych.
Chcemy się dowiedzieć ile jest wyrazów dodatnich, czyli chcemy sprawdzić, kiedy \((n+2)(7-n)\) będzie większe od zera. Powstaje nam więc do rozwiązania prosta nierówność:
$$(n+2)(7-n)\gt0$$

Rozwiązywanie tej nierówności rozpoczynamy od wyznaczenia miejsc zerowych. Tu sprawa jest o tyle prosta, że mamy postać iloczynową, czyli wystarczy przyrównać nawiasy do zera, zatem:
$$n+2=0 \quad\lor\quad 7-n=0 \\
n=-2 \quad\lor\quad n=7$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a ta w naszym przypadku będzie miała ramiona skierowane do dołu. Dlaczego do dołu? Gdybyśmy wymnożyli przez siebie te nawiasy, to mielibyśmy na początku zapisu \(-n^2\), więc współczynnik kierunkowy \(a=-1\). W takim razie wykres będzie wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Teraz musimy odczytać rozwiązania tej nierówności. Interesują nas wartości większe od zera, czyli zerkamy na to co jest nad osią. Stąd też możemy zapisać, że rozwiązaniem tej nierówności będzie \(n\in(-2;7)\).

Krok 4. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, większą od zera (co zresztą jest zapisane w treści zadania). Z tego też względu, musimy jeszcze sprawdzić jakie liczby naturalne mieszczą się w tym naszym wyznaczonym przedziale. Tymi liczbami będą oczywiście \(1, 2, 3, 4, 5\) oraz \(6\), zatem mamy \(6\) wyrazów, które będą dodatnie.

B

Powinniśmy dostrzec, że zarówno z \(sin^3 20°\) jak i \(cos^2 20°\cdot sin20°\) możemy wyłączyć przed nawias \(sin20°\), otrzymując następującą sytuację:
$$sin^3 20°+cos^2 20°\cdot sin20°=sin20°\cdot(sin^2 20°+cos^2 20°)=sin20°\cdot1=sin20°$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\) w związku z tym podstawiając wartość sinusa otrzymamy:
$$sin^2α+cos^2α=1 \\
sin^2α+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{25}{169}=1 \\
sin^2α=\frac{144}{169} \\
sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Zostaje nam zatem \(sinα=\frac{12}{13}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
Znając wartość sinusa oraz cosinusa, możemy bez problemu obliczyć wartość tangensa:
$$tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \\
tg\alpha=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} \\
tg\alpha=\frac{12}{13}:\frac{5}{13} \\
tg\alpha=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5} \\
tg\alpha=\frac{12}{5}$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin120°\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, czyli:
$$P=a\cdot b\cdot sin\alpha$$

W związku z tym za chwilę będziemy musieli podstawić do wzoru wartość \(sin120°\). W tablicach trygonometrycznych mamy kąty tylko i wyłącznie do \(90°\). Aby wyznaczyć wartość kąta rozwartego musimy posłużyć się wzorami redukcyjnymi. Pasującym wzorem byłby np.:
$$sin(90°+\alpha)=cos\alpha$$

Jeśli podstawimy \(\alpha=30°\), to otrzymamy:
$$sin(90°+30°)=cos30° \\
sin120°=cos30°$$

Z tablic możemy teraz odczytać, że \(cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\), czyli tym samym taka też jest wartość naszego \(sin120°\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni.
Podstawiając dane z treści zadania do wzoru na pole równoległoboku z wykorzystaniem funkcji sinus, otrzymamy:
$$P=3\cdot4\cdot sin120° \\
P=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \\
P=6\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(MKC\) jest trójkątem podobny do trójkąta \(ABC\) (wynika to z tego, że prosta \(AB\) jest równoległa do podstawy \(MK\)).


Musimy obliczyć teraz skalę podobieństwa tych figur. Widzimy, że trójkąt \(MKC\) ma podstawę o długości \(24\), natomiast trójkąt \(ABC\) ma podstawę równą \(6\), zatem:
$$k=\frac{24}{6} \\
k=4$$

Krok 2. Obliczenie długości boku \(MC\).
Zgodnie ze skalą podobieństwa, bok \(MC\) powinien być \(4\) razy większy od boku \(AC\), zatem:
$$|MC|=4\cdot3 \\
|MC|=12$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(MA\).
Odcinek \(MA\) jest różnicą między bokiem \(MC\) a bokiem \(AC\), zatem:
$$|MA|=12-3 \\
|MA|=9$$

C

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu będzie zaznaczenie drugiego punktu przecięcia się średnicy z okręgiem (niech to będzie punkt \(D\)), a następnie dorysowanie odcinka od punktu \(B\) do tego nowego punktu \(D\). Powstanie nam w ten sposób trójkąt \(ABD\), który na pewno jest prostokątny (ponieważ jeden z jego boków będzie średnicą okręgu). Dodatkowo kąt \(BDA\) będzie kątem wpisanym, opartym na tym samym łuku co kąt o znanej nam mierze \(42°\).


Krok 2. Obliczenie miary kąta \(BAS\).
Znamy miary dwóch kątów w trójkącie \(ABD\), a miara trzeciego kąta jest poszukiwaną przez nas miarą kąta \(BAS\), zatem:
$$|\sphericalangle BAS|=180°-90°-42°=48°$$

A

Proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Współczynnik kierunkowy pierwszej prostej jest równy \(m+1\), natomiast drugiej jest równy \(-2\), zatem:
$$(m+1)\cdot(-2)=-1 \\
-2m-2=-1 \\
-2m=1 \\
m=-\frac{1}{2}$$

A

Prostą w postaci kierunkowej zapisujemy jako \(y=ax+b\) i my już wiemy, że współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), czyli nasza prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Chcąc obliczyć wartość współczynnika \(b\) tej prostej, musimy podstawić współrzędne punktu \(A\) do tego równania, zatem:
$$-4=\frac{1}{2}\cdot2+b \\
-4=1+b \\
b=-5$$

I teraz trzeba być dość ostrożnym. Obliczyliśmy, że współczynnik kierunkowy naszej prostej jest równy \(-5\), ale to niekoniecznie musiałoby być to samo \(b\), które pojawia się we współrzędnych punktu \(B=(0,b)\). W tym przypadku to będzie to samo \(b\), bo punkt \(B\) leży na osi \(OY\), więc jego druga współrzędna jest równa właśnie współczynnikowi \(b\) (stąd też prawdopodobnie tak to zostało zapisane w treści zadania). Nie mniej jednak warto mieć świadomość, że w innych przypadkach można byłoby tutaj bardzo łatwo wpaść w pułapkę.

C

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Pole sześciokąta obliczamy ze wzoru \(P=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) (czyli jest to po prostu sześć trójkątów równobocznych). Skoro więc to pole jest równe \(15\sqrt{3}\), to:
$$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=15\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot4 \\
6\cdot(a^2\sqrt{3})=60\sqrt{3} \quad\bigg/:6 \\
a^2\sqrt{3}=10\sqrt{3} \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10} \quad\lor\quad a=-\sqrt{10}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{10}\).

Krok 2. Obliczenie pola jednej ściany bocznej.
Interesująca nas ściana boczna jest prostokątem o bokach \(a=\sqrt{10}\) oraz \(h=6\), zatem:
$$P=\sqrt{10}\cdot6 \\
P=6\sqrt{10}$$

D

Poszukiwany kąt znajduje się na rysunku z czwartej odpowiedzi.

B

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa, czyli:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania, otrzymamy:
$$64=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot12 \\
64=4\cdot P_{p} \\
P_{p}=16$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to będzie miał on w swojej podstawie kwadrat. Wiemy już, że pole tej podstawy jest równe \(16\), czyli:
$$P_{p}=a^2 \\
16=a^2 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ krawędź ma dodatnią długość, zatem \(a=4\).

C

Rozpiszmy sobie jakie cyfry mogą pojawić się na poszczególnych miejscach naszego kodu:
· Na pierwszym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, zatem mamy \(4\) możliwości uzupełnienia pierwszej cyfry.
· Na drugim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tej, która była już wcześniej wykorzystana, zatem mamy \(3\) możliwości uzupełnienia drugiej cyfry.
· Na trzecim miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych dwóch, które były już wcześniej wykorzystane, zatem mamy \(2\) możliwości uzupełnienia trzeciej cyfry.
· Na czwartym miejscu naszego kodu może znaleźć się każda z czterech cyfr, oprócz tych trzech, które były już wcześniej wykorzystane, zatem mamy \(1\) możliwość uzupełnienia czwartej cyfry.

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich kodów będziemy mieć:
$$4\cdot3\cdot2\cdot1=24$$

\(x\in\langle-1;4\rangle\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, doprowadzając nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2-4\le3x \\
x^2-3x-4\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-3,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9-(-16)=9+16=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot1}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot1}=\frac{8}{2}=4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy teraz na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=4\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki mniejsze lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się pod osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in\langle-1;4\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci ogólnej i obliczysz miejsca zerowe trójmianu, czyli \(x_{1}=-1\) oraz \(x_{2}=4\) (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Udowodniono upraszczając zapis i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Wymnażając nawiasy i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy następującą sytuację:
$$(3x+y)(x+3y)\gt16xy \\
3x^2+9xy+xy+3y^2\gt16xy \\
3x^2+10xy+3y^2\gt16xy \\
3x^2-6xy+3y^2\gt0 \\
3\cdot(x^2-2xy+y^2)\gt0 \\
3\cdot(x-y)^2\gt0 \quad\bigg/\:3 \\
(x-y)^2\gt0$$

Skoro \(x\neq y\), to \(x-y\) jest liczbą różną od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista, różna od zera, podniesiona do kwadratu, da wynik większy od zera, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy sprawdzisz nierówność jedynie dla wybranych liczb, zamiast ją udowodnić.
1 pkt
• Gdy wymnożysz nawiasy i doprowadzisz nierówność do postaci \(3(x-y)^2\gt0\), ale nie powołasz się na założenie \(x\neq y\).
ALBO
• Gdy obliczysz wyróżnik trójmianu kwadratowego \(3x^2-6xy+3y^2\), ale nie wyciągniesz z niego wniosku.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie, czyli dodatkowo uzasadnisz, że kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni.

\(b=4\) oraz \(c=-5\)

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Miejsca zerowe to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość równą \(0\). Z własności parabol wiemy, że miejsca zerowe są oddalone w jednakowej odległości od osi symetrii. Mówiąc bardziej obrazowo, od prostej o równaniu \(x=-2\) do miejsca zerowego \(x_{1}=1\) mamy \(3\) jednostki, więc od drugiego miejsca do osi symetrii też musimy mieć \(3\) jednostki. To prowadzi nas do wniosku, że drugim miejscem zerowym będzie \(x_{2}=-5\), bo \(-5+3=-2\).


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając dwa miejsca zerowe, możemy przystąpić do zapisania wzoru w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Dodatkowo musimy zauważyć, że ze wzoru w postaci ogólnej (zapisanego w treści zadania) wynika, że \(a=1\), zatem:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\
f(x)=1(x-1)(x-(-5)) \\
f(x)=(x-1)(x+5)$$

Krok 3. Obliczenie współczynników \(b\) oraz \(c\).
Znając wzór w postaci iloczynowej, możemy w prosty sposób przekształcić go do postaci ogólnej, co pozwoli nam odczytać współczynniki \(b\) oraz \(c\). Wymnażając przez siebie dwa nawiasy, otrzymamy:
$$f(x)=(x-1)(x+5) \\
f(x)=x^2+5x-x-5 \\
f(x)=x^2+4x-5$$

To oznacza, że współczynnik \(b=4\) oraz \(c=-5\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz drugie miejsce zerowe funkcji, czyli \(x_{2}=-5\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz sam współczynnik \(b=4\), korzystając ze wzoru na oś symetrii.
ALBO
• Gdy obliczysz drugą współrzędną wierzchołka paraboli, czyli \(q=-9\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli oba współczynniki (patrz: Krok 3.).

\(r=-2\)

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$

Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15 \\
-11=\frac{2a_{1}+14r}{2} \\
-22=2a_{1}+14r \\
-11=a_{1}+7r$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$

Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$

Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases}
-1=a_{1}+2r \\
-11=a_{1}+7r
\end{cases}

Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r \\
r=-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań pozwalający obliczyć różnicę ciągu (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą \(r\), korzystając ze wzoru na sumę piętnastu wyrazów.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(|BC|=2\sqrt{13}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, więc punkt \(P\) jest tym samym środkiem przekątnej \(AC\). To pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(C\).


Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(C\).
Środek odcinka \(AC\) możemy opisać wzorem:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
6=\frac{-2+x_{C}}{2} \\
12=-2+x_{C} \\
x_{C}=14 \\
\quad \\
y_{P}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
7=\frac{6+y_{C}}{2} \\
14=6+y_{C} \\
y_{C}=8$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Długość boku \(BC\) obliczymy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2} \\
|BC|=\sqrt{4^2+6^2} \\
|BC|=\sqrt{16+36} \\
|BC|=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C=(14,8)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy skorzystasz z tego, że punkt \(P\) jest środkiem przekątnej, i zapiszesz zależność pozwalającą wyznaczyć punkt \(C\).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(p=\frac{13}{25}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Nasz zbiór ma \(5\) liczb, a losowanie odbywa się ze zwracaniem (czyli możemy wylosować dwa razy ten sam wynik). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot5=25\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której wylosowana para liczb da parzystą sumę. Musimy najpierw ustalić, kiedy taka parzysta suma jest możliwa. Aby otrzymać parzystą sumę dwóch liczb, to te dwie liczby muszą być parzyste (np. \(6+8=14\)) lub też obydwie muszą być nieparzyste (np. \(5+7=12\)). Ustalmy zatem ile możemy stworzyć takich parzystych i nieparzystych par.

· Pary z parzystymi liczbami:
W zbiorze mamy dwie parzyste liczby, czyli \(6\) oraz \(8\). W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować \(2\cdot2=4\).

· Pary z nieparzystymi liczbami:
W zbiorze mamy trzy nieparzyste liczby, czyli \(5\), \(7\) oraz \(9\). W związku z tym, zgodnie z regułą mnożenia, takich parzystych par możemy wylosować \(3\cdot3=9\).

Korzystając teraz z reguły dodawania, możemy stwierdzić, że wszystkich interesujących nas możliwości mamy \(|A|=4+9=13\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{13}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli \(|\Omega|=5\cdot5=25\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz wszystkie zdarzenia sprzyjające i nie dopiszesz żadnego niewłaściwego, czyli \(|A|=13\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy sporządzisz pełną tabelę albo drzewo, z których da się odczytać obie te liczby.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

\(cos\alpha=\frac{1}{3}\) oraz \(P_{p}=162\)

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa.
Jeżeli stosunek krawędzi podstawy do wysokości wynosi \(\frac{1}{4}\), to możemy przyjąć, że krawędź podstawy ma długość \(a\), natomiast \(H=4a\). Wiedząc, że objętość tej bryły wynosi \(108\), możemy zapisać, że:
$$V=a\cdot b\cdot c \\
108=a\cdot a\cdot4a \\
108=4a^3 \\
a^3=27 \\
a=3$$

Tym samym krawędź podstawy ma długość \(a=3\), natomiast wysokość to \(H=4\cdot3=12\).

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Znając wszystkie wymiary, możemy od razu obliczyć pole powierzchni całkowitej graniastosłupa. Mamy dwie podstawy, które są kwadratami o boku \(3\) oraz cztery ściany boczne, które są prostokątami o wymiarach \(3\times12\), zatem:
$$P_{c}=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12 \\
P_{c}=2\cdot9+144 \\
P_{c}=18+144 \\
P_{c}=162$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Do obliczenia cosinusa podanego kąta, potrzebujemy poznać długość przekątnej graniastosłupa. Kluczowy będzie tutaj trójkąt prostokątny, który tworzą przekątna podstawy, wysokość bryły oraz właśnie przekątna graniastosłupa.


Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(3\), to jego przekątna ma długość \(3\sqrt{2}\). Wysokość to jak już ustaliśmy \(H=12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$(3\sqrt{2})^2+12^2=s^2 \\
9\cdot2+144=s^2 \\
s^2=162 \\
s=\sqrt{162} \quad\lor\quad s=-\sqrt{162}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo przekątna bryły musi być dodatnia, stąd też zostaje nam \(s=\sqrt{162}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{81\cdot2}=9\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta \(\alpha\).
Cosinus opisuje stosunek długości przyprostokątnej przy kącie względem przeciwprostokątnej, zatem w naszym przypadku będzie to:
$$cos\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}} \\
cos\alpha=\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz związek między krawędzią podstawy a wysokością graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długości krawędzi podstawy oraz wysokości graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy dodatkowo obliczysz pole powierzchni całkowitej, czyli \(P_{c}=162\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni całkowitej oraz długość przekątnej graniastosłupa (patrz: Krok 2. oraz Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik, czyli cosinus kąta \(\alpha\) oraz pole powierzchni całkowitej (patrz: Krok 4.).