Matura próbna – Matematyka – Operon 2023 – Odpowiedzi

C

Krok 1. Rozpisanie liczby \(x\).
Zadanie będzie znacznie prostsze gdy zauważymy, że można usunąć niewymierność z mianownika w liczbie \(x\). Mnożąc zatem licznik oraz mianownik przez \(\sqrt{3}\), otrzymamy:
$$x=\frac{1}{\sqrt{3}}+3 \\
x=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}+3 \\
x=\frac{\sqrt{3}}{3}+3$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia.
Podstawiając teraz liczby \(x\) oraz \(y\) do wyrażenia z treści zadania, otrzymamy:
$$-2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+3-(\frac{\sqrt{3}}{3}-3)\right)^2= \\
=-2\left(\frac{\sqrt{3}}{3}+3-\frac{\sqrt{3}}{3}+3\right)^2= \\
=-2\cdot6^2=-2\cdot36=-72$$

D

Połowa liczby \(8^{22}\) to nic innego jak ułamek:
$$\frac{8^{22}}{2}$$

Wiedząc, że \(8=2^3\) możemy rozpisać całość w następujący sposób:
$$\frac{(2^3)^{22}}{2}=\frac{2^{66}}{2^1}=2^{66-1}=2^{65}$$

B

Korzystając z działań na logarytmach możemy zapisać, że:
$$log_{3}24-3log_{3}6=log_{3}24-log_{3}6^3= \\
=\log_{3}\frac{24}{6^3}=\log_{3}\frac{24}{216}=log_{3}\frac{1}{9}=-2$$

Jeśli nie dostrzegasz, że \(log_{3}\frac{1}{9}=-2\), to zawsze można to rozpisać w klasyczny sposób:
$$log_{3}\frac{1}{9}=x \quad\Longleftrightarrow\quad 3^x=\frac{1}{9}$$

Wiedząc, że \(\frac{1}{9}=3^{-2}\), otrzymamy:
$$3^x=\frac{1}{9} \\
3^x=3^{-2} \\
x=-2$$

D

Aby dowiedzieć się jaka jest najmniejsza liczba całkowita, która NIE należy do zbioru rozwiązań nierówności, musimy najpierw oczywiście tę nierówność rozwiązać, zatem:
$$3-x\ge\frac{3}{5}x+7 \\
-x\ge\frac{3}{5}x+4 \\
-1\frac{3}{5}x\ge4 \\
-\frac{8}{5}x\ge4 \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{5}{8}\right) \\
x\le-\frac{20}{8} \\
x\le-2,5$$

Zwróć uwagę, że dzieląc obydwie strony nierówności przez liczbę ujemną, trzeba było zmienić znak nierówności na przeciwny. Rozwiązaniem tej nierówności jest zatem \(x\le-2,5\), a to oznacza, że najmniejsza liczbą całkowitą, która NIE należy do zbioru rozwiązań będzie \(-2\).

C

Mając trochę wprawy w rozwiązywaniu nierówności z wartością bezwzględną, nasz wzrok powinien kierować się ku odpowiedziom A oraz C. Dlaczego? Ponieważ wynik w postaci jednego przedziału jest charakterystyczny właśnie dla nierówności ze znakiem \(\lt\). Warto też zwrócić uwagę, że odpowiedź B też teoretycznie mogłaby być poprawna, ale tam znalazł się znak \(\le\), ale na rysunku mamy niezamalowane kropki, więc tę odpowiedź na pewno odrzucamy.

Teraz najbezpieczniej byłoby po prostu rozwiązać nierówności z odpowiedzi A oraz C, a następnie sprawdzić, kiedy otrzymamy pożądany wynik. W związku z tym:

Odp. A.
$$|x-1,5|\lt4,5 \\
x-1,5\lt4,5 \quad\land\quad x-1,5\gt-4,5 \\
x\lt6 \quad\land\quad x\gt-3$$

Zapisalibyśmy więc, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(-3,6)\).

Odp. C.
$$|x+1,5|\lt4,5 \\
x+1,5\lt4,5 \quad\land\quad x+1,5\gt-4,5 \\
x\lt3 \quad\land\quad x\gt-6$$

Zapisalibyśmy więc, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział \(x\in(-6,3)\) i jest to dokładnie ten sam przedział, który został zaznaczony na rysunku, stąd też na pewno będzie to poprawna odpowiedź.

1) PRAWDA

2) FAŁSZ

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Aby poznać miejsca zerowe naszej funkcji, wystarczy sprawdzić kiedy \(x^2+3x\) będzie równe \(0\), zatem powstaje nam do rozwiązania proste równanie kwadratowe:
$$x^2+3x=0$$

Możemy oczywiście próbować rozwiązać to równanie deltą, ale jest to jeden z tych typów równań kwadratowych, które da się rozwiązać znacznie szybciej. W tym przypadku wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias, otrzymując postać iloczynową:
$$x\cdot(x+3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x+3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-3$$

Zdanie jest więc prawdą.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Musimy sprawdzić jakie są rozwiązania nierówności kwadratowej \(x^2+3x\ge0\). Miejsca zerowe już znamy, zatem możemy przystąpić do narysowania paraboli i odczytania rozwiązań. Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc ramiona będą skierowane do góry:


Interesują nas wartości większe lub równe \(0\), zatem rozwiązaniem tej nierówności będzie suma przedziałów \(x\in(-\infty;-3\rangle\cup\langle0;+\infty)\). Zdanie jest więc fałszem.

C

Krok 1. Rozwiązanie równania.
Na początku musimy rozwiązać podane równanie. W tym celu wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera, zatem:
$$x^2-5=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x^2=5 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-2$$

Krok 2. Obliczenie iloczynu wszystkich rozwiązań.
Iloczyn (czyli wynik mnożenia) wszystkich rozwiązań będzie zatem równy:
$$\sqrt{5}\cdot(-\sqrt{5})\cdot(-2)=(-5)\cdot(-2)=10$$

\(x=\frac{5}{2}\)

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$2x^3-5x^2+8x-20=0 \\
x^2(2x-5)+4(2x-5)=0 \\
(x^2+4)\cdot(2x-5)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2+4=0 \quad\lor\quad 2x-5=0 \\
x^2=-4 \quad\lor\quad 2x=5 \\
\text{brak rozw.} \quad\lor\quad x=\frac{5}{2}$$

B

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy równanie, w którym po lewej stronie w mianowniku znalazła się niewiadoma \(x\). To sprawia, że zanim zaczniemy cokolwiek obliczać, musimy zapisać założenia. Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość naszego mianownika musi być różna od zera. W takim razie zapisalibyśmy, że:
$$(4-3x)(5-x)^2\neq0$$

Rozpisując to nieco bardziej, postaną nam takie oto założenia:
$$4-3x\neq0 \quad\land\quad (5-x)^2\neq0 \\
-3x\neq-4 \quad\land\quad x\neq5 \\
x\neq\frac{4}{3} \quad\land\quad x\neq5$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Dopiero teraz możemy przystąpić do właściwych obliczeń. W tego typu sytuacjach wymnażamy obydwie strony równania przez wyrażenie z mianownika, co spowoduje, że otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{5x(x+5)(3x-4)}{(4-3x)(5-x)^2}=0 \quad\bigg/\cdot(4-3x)(5-x)^2 \\
5x(x+5)(3x-4)=0$$

Otrzymaliśmy w ten sposób równanie w postaci iloczynowej, zatem przyrównujemy to co przed nawiasami i to co w nawiasach do zera:
$$5x=0 \quad\lor\quad x+5=0 \quad\lor\quad 3x-4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad 3x=4 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-5 \quad\lor\quad x=\frac{4}{3}$$

Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymane wyniki musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. Okazuje się, że rozwiązanie \(x=\frac{4}{3}\) musimy odrzucić, bo w tym przypadku wartość mianownika byłaby równa \(0\). To sprawia, że całe nasze równanie ma tylko dwa rozwiązania i są nimi \(x=0\) oraz \(x=-5\).

B

Krok 1. Zapisanie dwóch równań.
Jeśli cenę bluzy oznaczymy jako \(x\), a cenę spodni jako \(y\), to pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2x+2y=360$$

Na bluzę otrzymaliśmy \(30\%\) rabatu, czyli teraz jedna bluza kosztuje \(0,7x\). Na spodnie otrzymaliśmy \(40\%\), więc jedna para spodni kosztuje nas \(0,6y\). Możemy więc zapisać, że:
$$0,7x+0,6y=131$$

Krok 2. Dopasowanie się do proponowanych odpowiedzi.
Póki co, żaden układ nie prezentuje dokładnie tych równań, które sobie zapisaliśmy, więc któreś z nich trzeba będzie przekształcić, tak aby dopasować się do proponowanych odpowiedzi. Widzimy wyraźnie, że ze względu na drugie równanie pasują nam już tylko odpowiedzi A oraz B. W odpowiedzi A na pewno pierwsze równanie jest zapisane błędnie, więc tą odpowiedź odrzucamy. W odpowiedzi B mamy po prostu wyłączoną dwójkę przed nawias, ale generalnie jest to to samo równanie co \(2x+2y=360\), zatem to będzie poszukiwana przed nas odpowiedź.

C

W tego typu zadaniach zawsze można próbować wskazać prawidłową odpowiedź po analizie współczynników \(a\) oraz \(b\) funkcji liniowej \(f(x)=ax+b\). Funkcja jest malejąca, więc współczynnik \(a\) jest na pewno ujemny. W dodatku widzimy, że funkcja przecina oś \(OY\) dla \(y=-3\), co oznacza, że współczynnik \(b=-3\). Po tych prostych obserwacjach moglibyśmy stwierdzić, że pasują nam tylko odpowiedzi B oraz C, aczkolwiek niestety w tym przypadku nie jesteśmy jeszcze w stanie podać prawidłowej odpowiedzi.

Chcąc poznać wzór funkcji możemy skorzystać albo z rozbudowanego wzoru z tablic, albo też z metody układu równań. Skorzystajmy z tego drugiego sposobu, bo jest on znacznie szybszy. W tym celu musimy podstawić współrzędne punktów przez które przechodzi wykres do równania \(y=ax+b\), dzięki czemu otrzymamy dwa równania, z których budujemy układ:
\begin{cases}
2=-3a+b \\
-3=0a+b
\end{cases}

Z drugiego równania wprost wynika, że \(b=-3\), zatem musimy już tylko obliczyć wartość współczynnika \(a\). Podstawiając wyznaczoną wartość \(b=-3\) do pierwszego równania, otrzymamy:
$$2=-3a-3 \\
5=-3a \\
a=-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że nasza prosta jest opisana równaniem \(y=-\frac{5}{3}x-3\).

B

Funkcja liniowa jest rosnąca tylko wtedy, gdy współczynnik \(a\) (czyli liczba stojąca przed iksem) jest większa od zera. W naszym przypadku musimy spojrzeć na wyrażenie \(3x-mx\), które da się tak naprawdę zapisać jako \((3-m)x\). Współczynnik \(a\) jest tutaj równy \(3-m\), a skoro ma on być większy od zera, to powstaje nam do rozwiązania taka oto nierówność:
$$3-m\gt0 \\
3\gt m \\
m\lt3$$

\(b=-4\) oraz \(c=-12\)

Krok 1. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Z własności funkcji wynika, że oś symetrii przebiega dokładnie po środku między jednym i drugim miejscem zerowym funkcji kwadratowej. Skoro więc pierwszym miejscem zerowym jest \(x=-2\), to drugim miejscem zerowym musi być \(x=6\), co bardzo dobrze widać na poniższym rysunku:


Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.
Znając obydwa miejsca zerowe możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). W takim razie:
$$f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\
f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\), ale możemy go odczytać z postaci ogólnej zapisanej w treści zadania, czyli zapisu \(f(x)=x^2+bx+c\). Przed \(x^2\) nie mamy żadnej liczby, czyli domyślnie stoi tam jedynka, czyli \(a=1\). To oznacza, że pełnym wzorem funkcji w postaci iloczynowej będzie \(f(x)=1\cdot(x+2)(x-6)\), czyli po prostu \(f(x)=(x+2)(x-6)\).

Krok 3. Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej.
Mając wzór w postaci iloczynowej, wystarczy przemnożyć przez siebie nawiasy i otrzymamy wtedy postać ogólną, zatem:
$$f(x)=(x+2)(x-6) \\
f(x)=x^2-6x+2x-12 \\
f(x)=x^2-4x-12$$

To oznacza, że poszukiwanymi współczynnikami są: \(b=-4\) oraz \(c=-12\).

D

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{12}\).
Chcąc poznać wartość dwunastego wyrazu ciągu, wystarczy podstawić \(n=12\) do wzoru tego ciągu, zatem:
$$a_{12}=\sqrt[3]{5\cdot12-6} \\
a_{12}=\sqrt[3]{60-6} \\
a_{12}=\sqrt[3]{54}$$

Krok 2. Wyłączenie wspólnego czynnika przed znak pierwiastka.
Patrząc się na odpowiedzi widzimy, że otrzymany wynik musimy jeszcze delikatnie przekształcić. Dostrzegając, że \(54=27\cdot2\) i korzystając z działań na potęgach możemy zapisać, że:
$$a_{12}=\sqrt[3]{27\cdot2} \\
a_{12}=\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{2} \\
a_{12}=3\sqrt[3]{2}$$

Wykazano obliczając \(a_{n+1}-a_{n}\).

$$a_{n+1}=\frac{7\cdot(n+1)-5}{5} \\
a_{n+1}=\frac{7\cdot(n+1)-5}{5} \\
a_{n+1}=\frac{7n+7-5}{5} \\
a_{n+1}=\frac{7n+2}{5}$$

$$a_{n+1}-a_{n}=\frac{7n+2}{5}-\frac{7n-5}{5} \\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{7n+2-(7n-5)}{5} \\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{7n+2-7n+5}{5} \\
a_{n+1}-a_{n}=\frac{7}{5}$$

Otrzymany wynik jest niczym innym jak po prostu różnicą ciągu arytmetycznego. Taki rezultat oznacza, że ciąg jest rzeczywiście arytmetyczny, co należało udowodnić.

C

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu.
Znając wartość dwóch dowolnych wyrazów ciągu, możemy bez problemu obliczyć jego różnicę. Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r\) lub też po prostu z własności ciągów wynika wprost, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$

Podstawiając znane wartości tych wyrazów, otrzymamy:
$$27=3+2r \\
24=2r \\
r=12$$

Krok 2. Obliczenie kiedy ciąg przyjmuje wartość równą \(99\).
Celem tego zadania jest tak naprawdę wyznaczenie wyrazu, którego wartość jest równa \(99\). I tu ponownie skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=(n-1)\cdot r$$

Podstawiając \(a_{n}=99\), \(a_{1}=3\) oraz obliczone przed chwilą \(r=12\), otrzymamy:
$$99=a_{1}+(n-1)\cdot12 \\
99=3+12n-12 \\
99=12n-9 \\
108=12n \\
n=9$$

C

W zadaniu musimy skorzystać ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Podstawiając dane z treści zadania oraz \(n=8\) (bo szuky sumy ośmiu pierwszych wyrazów tego ciągu), otrzymamy:
$$S_{8}=-3\cdot\frac{1-(-2)^{8}}{1-(-2)} \\
S_{8}=-3\frac{1-256}{3} \\
S_{8}=-3\frac{-255}{3} \\
S_{8}=255$$

B, F

Krok 1. Obliczenie długości drugiej przyprostokątnej.
Do wyznaczenia wartości poszczególnych funkcji trygonometrycznych będziemy potrzebować długości długości obydwu przyprostokątnych. Póki co znamy tylko jedną i wiemy, że \(|AC|=9\). Znamy też długość przeciwprostokątnej, która ma długość \(|AB|=11\). Długość brakującej przyprostokątnej \(BC\) obliczymy korzystając z twierdzenie Pitagorasa:
$$9^2+|BC|^2=11^2 \\
81+|BC|^2=121 \\
|BC|^2=40 \\
|BC|=\sqrt{40} \quad\lor\quad |BC|=-\sqrt{40}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(|AB|=\sqrt{40}\) co możemy jeszcze rozpisać jako \(\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}\).

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych.
Spójrzmy najpierw na rysunek szkicowy, tak abyśmy za chwilę nie pomylili się podczas obliczania funkcji. Kluczowe jest poprawne umiejscowienie kąta \(\beta\), a całość będzie wyglądać następująco.


I teraz możemy od razu obliczyć wartości sinusa, cosinusa oraz tangensa kąta \(\beta\), zatem:
\(sin\beta=\frac{9}{11} \\
cos\beta=\frac{2\sqrt{10}}{11} \\
tg\beta=\frac{9}{2\sqrt{10}}\)

W przypadku tangensa otrzymaliśmy niewymierność w mianowniku, którą możemy oczywiście usunąć w następujący sposób:
$$tg\beta=\frac{9\cdot\sqrt{10}}{2\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}=\frac{9\sqrt{10}}{20}$$

Widzimy zatem, że poszukiwanymi odpowiedziami będą B oraz F.

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie długości boku \(AC\).
W tym zadaniu możemy skorzystać z twierdzenia o dwusiecznej kąta. Wynika z niego, że:
$$\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{|BC|}{|BD|}$$

Podstawiając znane długości z treści zadania, otrzymamy:
$$\frac{|AC|}{4}=\frac{5}{3,2}$$

To równanie możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba zastosować po prostu mnożenie na krzyż, zatem:
$$|AC|\cdot3,2=4\cdot5 \\
3,2\cdot|AC|=20 \\
|AC|=\frac{20}{3,2} \\
|AC|=6,25$$

A

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(ACB\).
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że trójkąt \(ABD\) jest prostokątny. Skąd to wiemy? Jest to klasyczny przypadek w którym jedno z ramion trójkąta pokrywa się ze średnicą okręgu, a taka sytuacja jest właśnie oznaką, że trójkąt wpisany w okrąg jest trójkątem prostokątnym.

Skoro tak to kąt \(ACB\) będzie miał miarę:
$$|\sphericalangle ACB|=90°-25°=65°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(\alpha\).
Kąt \(\alpha\) jest kątem środkowym, opartym na tym samym łuku co kąt \(ACB\). Zgodnie z własnościami kątów środkowych i wpisanych miara tego kąta \(\alpha\) będzie zatem dwa razy większa od kąta wpisanego \(ACB\), zatem:
$$\alpha=2\cdot65°=130°$$

C

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa.
Skalę podobieństwa obliczymy dzieląc długość najdłuższego boku czworokąta \(KLMN\) przez najdłuższy bok czworokąta \(ABCD\). W związku z tym:
$$k=\frac{24\sqrt{3}}{6\sqrt{6}}$$

Największa trudność polega jednak na odpowiednim skróceniu licznika z mianownikiem. W tym przypadku najprościej będzie rozbić \(\sqrt{6}\) na iloczyn \(\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}\), dzięki czemu otrzymamy:
$$k=\frac{24\sqrt{3}}{6\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}} \\
k=\frac{4}{\sqrt{2}} \\
k=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
k=\frac{4\sqrt{2}}{2} \\
k=2\sqrt{2}$$

Krok 2. Obliczenie obwodu czworokąta \(ABCD\).
Obwód czworokąta \(ABCD\) jest równy:
$$Obw_{ABCD}=3\sqrt{6}+4\sqrt{6}+5\sqrt{6}+6\sqrt{6} \\
Obw_{ABCD}=18\sqrt{6}$$

Krok 3. Obliczenie obwodu czworokąta \(KLMN\).
Skoro skala podobieństwa wynosi \(k=2\sqrt{2}\), to znaczy, że obwód czworokąta \(KLMN\) będzie \(2\sqrt{2}\) razy większy od obwodu czworokąta \(ABCD\). Moglibyśmy zatem zapisać, że:
$$Obw_{KLMN}=2\sqrt{2}\cdot18\sqrt{6} \\
Obw_{KLMN}=36\cdot\sqrt{12}$$

Otrzymany wynik jest oczywiście poprawny, ale możemy jeszcze cały zapis uprościć w następujący sposób:
$$Obw_{KLMN}=36\cdot\sqrt{4\cdot3} \\
Obw_{KLMN}=36\cdot2\sqrt{3} \\
Obw_{KLMN}=72\sqrt{3}$$

1) FAŁSZ

2) PRAWDA

Krok 1. Ocena prawdziwości pierwszego zdania.
Proste są względem siebie równoległe tylko wtedy, gdy mają jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W naszym przypadku jedna prosta ma współczynnik \(a=-4\), a druga ma współczynnik \(a=4\), zatem to nie będą proste równoległe, czyli zdanie jest fałszem.

Krok 2. Ocena prawdziwości drugiego zdania.
Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). W naszym przypadku prosta z treści zadania ma współczynnik \(a=-4\), natomiast prosta podana w odpowiedzi ma współczynnik \(a=\frac{1}{4}\). Iloczyn tych współczynników jest równy \(-4\cdot\frac{1}{4}=-1\), co oznacza, że te dwie proste są prostopadłe, czyli zdanie jest prawdą.

D

Krok 1. Ustalenie parametrów okręgu przekstałconego względem osi \(Oy\).
Przekształcając okręg względem osi \(Oy\) nie zmieni się jego promień, ale zmieni się położenie środka okręgu. A precyzyjniej rzecz ujmując - zmieni się współrzędna \(x\), która teraz nie będzie równa \(2\), tylko \(-2\) (czyli będzie liczbą przeciwną). To oznacza, że nasz nowy okrąg ma środek w punkcie \(S=(-2,-7)\) oraz promień \(r=6\).


Krok 2. Zapisanie równania okręgu.
Równanie okręgu zapisujemy jako:
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$
gdzie \(a\) oraz \(b\) to współrzędne środka okręgu \(S=(a,b)\), natomiast \(r\) to promień tego okręgu. W takim razie równaniem naszego okręgu będzie:
$$(x-(-2))^2+(y-(-7))^2=6^2 \\
(x+2)^2+(y+7)^2=36$$

\(A=(-4,0)\), \(B=(0,12)\) oraz \(C=(4,8)\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania dobrze jest rozpocząć od prostego rysunku pomocniczego, zwłaszcza że opisywana sytuacja nie jest oczywista, bo wbrew pozorom to nie osie układu współrzędnych będą tworzyły nasz kąt prosty, a w dodatku punkt \(D\) będzie poza odcinkiem \(BC\). Całość będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Zacznijmy od najprostszej rzeczy, czyli wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\). Skoro wierzchołek \(B\) leży na osi \(Oy\) to znaczy, że współrzędna \(x=0\). Współrzędna \(y\) będzie równa współczynnikowi \(b\) prostej o równaniu \(y=3x+12\), ale jeśli o tej własności nie pamiętamy, to zawsze do tego równania możemy podstawić \(x=0\), otrzymując:
$$y=3\cdot0+12 \\
y=0+12 \\
y=12$$

To oznacza, że \(B=(0,12)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
W bardzo podobny sposób wyznaczymy współrzędne wierzchołka \(A\). Wiemy, że leży on na osi \(Ox\), czyli że współrzędna \(y=0\). Aby wyznaczyć współrzędną \(x\) wystarczy podstawić \(y=0\) do równania \(y=3x+12\), zatem:
$$0=3x+12 \\
-3x=12 \\
x=-4$$

To oznacza, że \(A=(-4,0)\).

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Wiemy, że do prostej \(BC\) należy punkt \(B=(0,12)\) oraz \(D=(6,6)\). Mamy więc klasyczną sytuację, w której musimy wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty. W tym celu możemy zastosować bardzo rozbudowany wzór z tablic lub też metodę układu równań. Prostsza jest metoda związana z układem, zatem do postaci \(y=ax+b\) podstawiamy najpierw współrzędne punktu \(B\), potem \(D\), otrzymując takie oto dwa równania tworzące układ:
\begin{cases}
12=0a+b \\
6=6a+b
\end{cases}

Ten układ możemy rozwiązać na różne sposoby, ale najprościej będzie chyba zauważyć, że z pierwszego równania wprost wynika, że \(b=12\). Tym samym podstawiając tę wartość do drugiego równania obliczymy współczynnik \(a\), zatem:
$$6=6a+12 \\
-6=6a \\
a=-1$$

Tym samym możemy stwierdzić, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-1x+12\), czyli po prostu \(y=-x+12\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(AC\).
Prosta \(AC\) jest prostopadła do prostej \(BC\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Nasza prosta \(BC\) ma współczynnik \(a=-1\), więc prosta \(AC\) musi mieć współczynnik \(a=1\), ponieważ \((-1)\cdot1=-1\). Skoro tak, to prostą \(AC\) możemy zapisać jako \(y=1x+b\), czyli po prostu \(y=x+b\). Do pełnego wzoru tej prostej brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając współrzędne punktu, który do tej prostej należy, czyli w tym przypadku współrzędne znanego punktu \(A=(-4,0)\). Otrzymamy wtedy:
$$0=-4+b \\
b=4$$

To oznacza, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=x+4\).

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostej \(BC\) z prostą \(AC\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że aby poznać współrzędne takiego punktu wystarczy rozwiązać układ równań, który składa się z dwóch takich prostych, zatem:
\begin{cases}
y=-x+12 \\
y=x+4
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-x+12=x+4 \\
-2x=-8 \\
x=4$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(x=4\) do dowolnego równania z układu (np. pierwszego) obliczymy współrzędną \(y\), zatem:
$$y=-4+12 \\
y=8$$

Tym samym możemy zapisać, że \(C=(4,8)\).

B

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Sześcian ma \(12\) krawędzi, zatem każda krawędź będzie miała długość:
$$a=72cm:12 \\
a=6cm$$

Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
Korzystając ze wzoru na objętość \(V=a^3\) możemy zapisać, że:
$$V=(6cm)^3 \\
V=216cm^3$$

C. 2,

Zastanówmy się na ile różnych sposobów możemy uzupełnić cyfrę tysięcy, setek, dziesiątek oraz jedności naszej liczby, tak aby spełnić warunki zadania.
· Cyfrę tysięcy możemy uzupełnić na \(4\) sposoby (cyfry: \(2, 4, 6, 8\)).
· Cyfrę setek możemy uzupełnić na \(5\) sposobów (cyfry: \(0, 2, 4, 6, 8\)).
· Cyfrę dziesiątek możemy uzupełnić na \(5\) sposobów (cyfry: \(0, 2, 4, 6, 8\)).
· Cyfrę jedności możemy uzupełnić na \(5\) sposobów (cyfry: \(0, 2, 4, 6, 8\)).

To oznacza, że interesujących nas liczb czterocyfrowych będziemy mieć:
$$4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$

Powiedzielibyśmy więc, że liczb czterocyfrowych o parzystych cyfrach jest \(500\), ponieważ liczbę tworzą tylko cyfry parzyste.

C

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej pierwszego zestawu.
Średnia arytmetyczna pierwszego zestawu liczb jest równa:
$$śr=\frac{3+6+9+14}{4} \\
śr=\frac{32}{4}=8$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby \(x\).
Wiemy, że średnia pierwszego zestawu jest o \(3\) mniejsza od średniej drugiego zestawu, czyli tym samym możemy stwierdzić, że ten drugi zestaw musi mieć średnią równą \(11\). Korzystając zatem ze wzoru na średnią arytmetyczną, drugi zestaw możemy rozpisać w następujący sposób:
$$11=\frac{3+6+9+14+x+x+4}{6} \\
11=\frac{36+2x}{6} \quad\bigg/\cdot6 \\
66=36+2x \\
2x=30 \\
x=15$$

Wymiary to \(x=20 m\) oraz \(y=180 m\), natomiast długość płotu wynosi \(386 m\).

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wprowadźmy do zadania oznaczenia wierzchołków dwóch trójkątów (tak aby za chwilę się nie pogubić) i dopiszmy, że wysokość tego mniejszego trójkąta będzie równa \(40-x\):


Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Na początek obliczmy pole trójkąta \(ABC\). Mamy wszystkie potrzebne dane, ponieważ \(a=360\) oraz \(h=40\), zatem:
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot360\cdot40 \\
P_{ABC}=7200$$

Krok 3. Zapisanie równań.
Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że pole trójkąta \(ABC\) jest sumą pól trapezu \(ABED\) oraz trójkąta \(DEC\). Spróbujmy zapisać równania opisujące pola tych dwóch mniejszych figur, korzystając z oznaczeń które pojawiły się w pierwszym kroku.

Trapez \(ABED\) będzie mieć podstawy o długości \(a=360\) oraz \(b=y\), natomiast wysokość to \(h=x\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{ABED}=\frac{1}{2}\cdot(360+y)\cdot x \\
P_{ABED}=(180+\frac{1}{2}y)\cdot x \\
P_{ABED}=180x+\frac{1}{2}xy$$

Trójkąt \(DEC\) będzie mieć podstawę o długości \(a=y\) natomiast wysokość to \(h=40-x\). Jego pole zapisalibyśmy więc jako:
$$P_{DEC}=\frac{1}{2}\cdot y\cdot(40-x) \\
P_{DEC}=20y-\frac{1}{2}xy$$

Wiemy, że pole trójkąta \(ABC\) jest równe \(7200\) i tym samym jest to też suma pól powierzchni figury \(ABED\) oraz \(DEC\). Zapisalibyśmy zatem, że:
$$P_{ABC}=P_{ABED}+P_{DEC} \\
7200=180x+\frac{1}{2}xy+20y-\frac{1}{2}xy \\
7200=180x+20y \\
20y=-180x+7200 \quad\bigg/:20 \\
y=-9x+360$$

Dodatkowo możemy od razu zapisać, że pole prostokąta wyznaczymy ze wzoru:
$$P=x\cdot y$$

Krok 4. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu przy tego typu zadaniach jest poprawne zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(x\). Podstawiając \(y=-9x+360\) do równania \(P=x\cdot y\), otrzymamy:
$$P=x\cdot(-9x+360) \\
P=-9x^2+360x$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-9x^2+360x\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości x otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(x)=-9x^2+360x\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-9\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco (zwróć uwagę, że na pionowej osi nie mamy \(y\), tylko pole \(P\)):


Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(x\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(x\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-360}{2\cdot(-9)} \\
x_{W}=\frac{-360}{-18} \\
x_{W}=20$$

Krok 6. Wyznaczenie długości drugiego boku prostokąta.
Wyliczyliśmy, że pole powierzchni będzie największe gdy jeden z boków prostokąta będzie miał długość \(x=20\). Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość drugiego boku, zatem korzystając z wcześniej zapisanego równania \(y=-9x+360\), otrzymamy:
$$y=-9\cdot20+360 \\
y=-180+360 \\
y=180$$

Krok 7. Obliczenie obwodu ogrodzenia.
Musimy jeszcze obliczyć obwód ogrodzenia. Jest to dość proste, ale musimy pamiętać, by od obwodu całego naszego prostokąta odjąć długości furtek i bram. Mamy jedną bramę o długości \(10m\) oraz dwie furtki po \(2m\) każda, zatem:
$$Obw=2\cdot180+2\cdot20-10-2\cdot2 \\
Obw=360+40-10-4 \\
Obw=386[m]$$