Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2023 (stara matura) – Odpowiedzi

A

Moglibyśmy tutaj skorzystać z działań na logarytmach, ale wydaje się, że jeszcze lepszym pomysłem byłoby obliczenie po prostu wartości każdego z tych logarytmów z osobna. Tak też zróbmy, zatem:
\(log_{25}1=0\), bo \(25^0=1\)
\(log_{25}5=\frac{1}{2}\), bo \(25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5\)

W takim razie moglibyśmy zapisać, że:
$$log_{25}1-\frac{1}{2}log_{25}5=0-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$$

D

Kluczem do sukcesu będzie umiejętne wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka. Podaną liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$3\sqrt{45}-\sqrt{20}=3\cdot\sqrt{9\cdot5}-\sqrt{4\cdot5}= \\
=3\cdot3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=9\sqrt{5}-2\sqrt{5}=7\sqrt{5}$$

Chcąc się dopasować do proponowanych odpowiedzi musimy otrzymany wynik zapisać w postaci potęgi. Korzystając z zamiany pierwiastków na potęgi wiemy, że \(\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}\), zatem poprawną odpowiedzią będzie \(7\cdot5^{\frac{1}{2}}\).

A

Cenę płaszcza obniżono o \(240zł-200zł=40zł\). Ta obniżka jest od ceny \(240zł\), więc stanowi ona \(\frac{40}{240}=\frac{1}{6}=16\frac{2}{3}\%\) początkowej wartości.

A

Korzystając z działań na potęgach, możemy zapisać, że:
$$\frac{3^{-1}}{\left(-\frac{1}{9}\right)^{-2}}\cdot81=\frac{\frac{1}{3}}{(-9)^2}\cdot81= \\
=\frac{\frac{1}{3}}{81}\cdot81=\frac{1}{3}$$

B

Możemy oczywiście rozpisać całe wyrażenie z wykorzystaniem wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), ale do tego konkretnego przykładu da się podejść nieco sprytniej. Moglibyśmy zauważyć, że \(2-\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{3}-2\) to liczby przeciwne. Pokazując sobie to bardziej obrazowo, \(2-\sqrt{3}\approx0,27\), natomiast \(\sqrt{3}-2\approx-0,27\). Kwadraty tych liczb są zatem sobie równe, a to prowadzi nas do wniosku, że \((2-\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}-2)^2\) to różnica dwóch takich samych liczb, czyli będzie ona równa \(0\).

D

Z geometrycznej interpretacji układów równań wiemy, że aby dwie proste przecięły się w punkcie \((-8,6)\), to te dwie proste muszą stworzyć układ równań, którego rozwiązaniem będą \(x=-8\) oraz \(y=6\). Mówiąc wprost - musielibyśmy z każdej pary równań zbudować układ i rozwiązać go. Interesująca nas sytuacja będzie mieć miejsce przy ostatniej parze równań:
\begin{cases}
x-y=-14 \\
-2x+y=22
\end{cases}

Korzystając z metody przeciwnych współczynników możemy teraz dodać te równania stronami, otrzymując:
$$-x=8 \\
x=-8$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(x=-8\) do wybranego równania z układu (np. pierwszego), otrzymamy:
$$-8-y=-14 \\
-y=-6 \\
y=6$$

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb \(x=-8\) oraz \(y=6\), co oznacza, że te dwie proste przetną się w punkcie \((-8,6)\).

C

Rozwiązywanie nierówności najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron przez \(3\), dzięki czemu pozbędziemy się ułamka po prawej stronie.
$$-3(x-1)\le\frac{5-3x}{3} \quad\bigg/\cdot3 \\
-9(x-1)\le5-3x \\
-9x+9\le5-3x \\
-6x+9\le5 \\
-6x\le-4 \quad\bigg/:(-6) \\
x\ge\frac{2}{3}$$

Tu warto zwrócić uwagę, że największą pułapką w tym zadaniu było pamiętanie o tym, by zmienić znak na przeciwny w momencie dzielenia obydwu stron przez liczbę ujemną. Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe lub równe \(\frac{2}{3}\), czyli prawidłową odpowiedzią będzie przedział \(\langle\frac{2}{3},\infty)\).

B

Mamy postać iloczynową, zatem musimy przyrównać wartości w nawiasach do zera, czyli:
$$x^2-3x=0 \quad\lor\quad x^2+1=0 \\
x(x-3)=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x-3=0 \quad\lor\quad x^2=-1 \\
x=0 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x^2=-1$$

Z równania \(x^2=-1\) nie otrzymamy żadnych rozwiązań, bo nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje wynik ujemny. To oznacza, że zostają nam \(x=0\) oraz \(x=3\), czyli równanie ma dwa rozwiązania.

A

Z treści zadania wiemy, że \(f(1)=2\), czyli że dla argumentu \(x=1\) funkcja przyjmuje wartość \(y=2\). Podstawiając te informacje do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$2=\frac{1-k}{1^2+1} \\
2=\frac{1-k}{2} \\
4=1-k \\
3=-k \\
k=-3$$

C

Z informacji o miejscu zerowym wynika, że funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \((1,0)\). Dodatkowo z treści zadania wiemy, że wykres przechodzi przez punkt \((-1,4)\). Mamy więc klasyczną sytuację, w której musimy wyznaczyć wzór funkcji, która przechodzi przez dwa punkty o znanych współrzędnych. W tym celu możemy albo skorzystać z bardzo długiego wzoru z tablic, albo też z metody układu równań. Skorzystajmy z tej szybszej metody, czyli układu równań. W tym celu do postaci \(y=ax+b\) musimy podstawić najpierw współrzędne jednego punktu, a potem drugiego - powstaną nam wtedy dwa równania, z których zbudujemy układ. Całość będzie wyglądać następująco:
\begin{cases}
0=1\cdot a+b \\
4=(-1)\cdot a+b
\end{cases}

\begin{cases}
0=a+b \\
4=-a+b
\end{cases}

Odejmując teraz te równania stronami, otrzymamy:
$$-4=2a \\
a=-2$$

W zasadzie już teraz moglibyśmy zakończyć rozwiązywanie zadania, ponieważ tylko jeden wzór z proponowanych w odpowiedziach ma współczynnik \(a=-2\). Ale dla pewności wyznaczmy jeszcze współczynnik \(b\), podstawiając do dowolnego równania z układu (np. pierwszego) wyznaczone \(a=-2\), zatem:
$$0=-2+b \\
b=2$$

To oznacza, że poszukiwanym wzorem naszej funkcji będzie \(f(x)=-2x+2\).

D

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Podana funkcja zapisana jest w postaci kanonicznej typu \(f(x)=(x-p)^2+q\), czyli postaci, z której możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p,q)\). Przyrównując wzór funkcji do postaci kanonicznej widzimy, że w naszym przypadku \(p=13\) oraz \(q=-256\).

Krok 2. Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wiemy, że jednym z miejsc zerowych jest \(x=-3\), a celem zadania jest poznanie drugiego miejsca zerowego. Jedną z własności parabol jest fakt, iż miejsca zerowe znajdują się w jednakowej odległości od wierzchołka paraboli. Sytuacja z treści zadania będzie więc wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Skoro od \(x=-3\) do \(x=13\) mamy \(16\) jednostek, to drugim miejscem zerowym będzie \(x=13+16=29\).

B

Z rysunku wynika, że wartości funkcji rosną jedynie w tym trzecim fragmencie wykresu, czyli od argumentu \(x=5\) aż do \(x=7\). To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale \(\langle5,7\rangle\).

B

Zapis \(g(x)=f(-x)\) oznacza, że funkcja \(g(x)\) powstała w wyniku przekształcenia funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\). Mówiąc obrazowo, szukamy odbicia lustrzanego funkcji \(f(x)\) względem osi \(OY\). Taką funkcję znajdziemy na rysunku B.

D

Krok 1. Wyznaczenie miejsc zerowych funkcji.
Nasza funkcja zapisana jest w postaci iloczynowej typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\). Możemy z niej wprost odczytać, że miejscami zerowymi naszej funkcji są \(x_{1}=1\) oraz \(x_{2}=5\). Jeśli nie potrafimy wyznaczyć tych miejsc od ręki, to można przyrównać wzór funkcji do zera:
$$-(x-1)(x-5)=0 \\
(x-1)(x-5)=0 \\
x-1=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=1 \quad\lor\quad x=5$$

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Ramiona naszej funkcji będą skierowane do dołu (bo przed nawiasami mamy znak minus, czyli współczynnik \(a\) jest mniejszy od zera), zatem funkcja będzie wyglądać w ten sposób:


Widzmy więc, że najmniejszą wartością funkcji jest \(-\infty\), a największą wartość funkcji poznamy wyznaczając wierzchołek paraboli.

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Współrzędna \(p\) wierzchołka paraboli będzie średnią arytmetyczną miejsc zerowych. Możemy zatem zapisać, że:
$$p=\frac{1+5}{2} \\
p=\frac{6}{2} \\
p=3$$

Można więc powiedzieć, że funkcja przyjmie swoją największą wartość dla argumentu \(x=3\). Celem zadania jest poznanie tej wartości, więc wystarczy podstawić \(x=3\) do wzoru funkcji:
$$f(3)=-(3-1)(3-5) \\
f(3)=-2\cdot(-2) \\
f(3)=4$$

To oznacza, że nasza funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą równą \(4\).

B

Chcąc poznać wartość trzeciego wyrazu tego ciągu, wystarczy podstawić do wzoru \(n=3\), zatem:
$$a_{3}=(-1)^3\cdot\frac{3+1}{2} \\
a_{3}=(-1)\cdot\frac{4}{2} \\
a_{3}=(-1)\cdot2 \\
a_{3}=-2$$

A

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów ciągu, możemy bez problemu obliczyć iloraz ciągu:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{1}{-2} \\
q=-\frac{1}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego i czwartego wyrazu.
Znając \(a_{1}\) oraz \(q\) moglibyśmy oczywiście skorzystać ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu. Nie mniej jednak chyba nieco prościej i szybciej będzie po prostu obliczyć jaka jest wartość brakującego trzeciego i czwartego wyrazu, co pozwoli nam później zsumować wszystkie wyrazy. Tak też zróbmy, zatem:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \\
a_{3}=-\frac{1}{2}$$

$$a_{4}=a_{3}\cdot q \\
a_{4}=\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \\
a_{4}=\frac{1}{4}$$

Krok 3. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów tego ciągu.
Znając wszystkie wyrazy tego ciągu, możemy zapisać, że ich suma będzie równa:
$$-2+1+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{5}{4}$$

D

Krok 1. Obliczenie obwodu koła.
Korzystając ze wzoru na obwód koła, możemy zapisać, że obwód całego koła jest równy:
$$P=2\pi r \\
P=2\pi\cdot 3 \\
P=6\pi$$

Krok 2. Obliczenie obwodu wycinka.
Wycinek koła będzie przypominał trójkąt równoramienny (tutaj ramiona będą mieć długość \(r=3\)), którego podstawa jest zaokrąglona. Wygląda to mniej więcej w ten sposób:


Skoro kąt środkowy ma miarę \(30°\), to długość tego zaokrąglenia (oznaczonego na rysunku jako \(x\)) będzie stanowić \(\frac{30°}{360°}=\frac{1}{12}\) obwodu całego koła. Skoro tak, to ta dolna część wycinka będzie miała długość:
$$x=\frac{1}{12}\cdot6\pi \\
x=\frac{1}{2}\pi$$

To oznacza, że obwód całego wycinka będzie równy:
$$Obw=\frac{1}{2}\pi+3+3 \\
Obw=\frac{1}{2}\pi+6$$

B

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\). Wartość cosinusa znamy, zatem:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
sin^2\alpha+\left(\frac{2\sqrt{6}}{7}\right)^2=1 \\
sin^2\alpha+\frac{4\cdot6}{49}=1 \\
sin^2\alpha+\frac{24}{49}=1 \quad\bigg/-\frac{24}{49} \\
sin^2\alpha=\frac{25}{49} \\
sin\alpha=\sqrt{\frac{25}{49}} \quad\lor\quad cos\alpha=-\sqrt{\frac{25}{49}} \\
sin\alpha=\frac{5}{7} \quad\lor\quad cos\alpha=-\frac{5}{7}$$

Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, a to dlatego że w treści zadania jest podana informacja o tym iż kąt \(\alpha\) jest ostry. Dla kątów ostrych sinus przyjmuje jedynie wartości dodatnie, stąd też prawidłową odpowiedzią jest jedynie \(sin\alpha=\frac{5}{7}\).

B

Z własności kątów środkowych i wpisanych wiemy, że kąt środkowy będzie miał miarę \(2\) razy większą od kąta wpisanego, który jest oparty na tym samym łuku. Bazując na oznaczeniach z zadania, moglibyśmy więc zapisać, że:
$$\beta=2\alpha$$

Dodatwo wiemy, że kąt \(\beta\) ma miarę o \(40°\) większą od kąta \(\alpha\), czyli moglibyśmy zapisać, że:
$$\beta=\alpha+40°$$

Zapisaliśmy więc dwa równania, z których możemy zbudować układ równań:
\begin{cases}
\beta=2\alpha \\
\beta=\alpha+40°
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, wyjdzie nam, że:
$$2\alpha=\alpha+40° \\
\alpha=40°$$

Celem zadania jest podanie miary kąta \(\beta\), zatem:
$$\beta=2\cdot40° \\
\beta=80°$$

C

Krok 1. Obliczenie długości boku trójkąta.
Wysokość trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Skoro więc wysokość jest równa \(3\), to możemy zapisać, że:
$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=3 \\
a\sqrt{3}=6 \\
a=\frac{6}{\sqrt{3}}$$

Możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, co pozwoli nieco uprościć otrzymany zapis:
$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta.
Znając długośc boku trójkąta możemy przystąpić do obliczenia pola:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{(2\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{4\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P=3\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie sumy kątów dziesięciokąta.
Sumę kątów w wielokącie możemy obliczyć ze wzoru:
$$(n-2)\cdot180°$$

Chcąc poznać sumę kątów dziesięciokąta, musimy podstawić do powyższego wzoru wartość \(n=10\), zatem:
$$(10-2)\cdot180°=8\cdot180°=1440°$$

Krok 2. Obliczenie miary każdego z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego.
Wielokąty foremne charakteryzują się tym, że mają wszystkie kąty jednakowej miary. Skoro tak, to każdy kąt naszego wielokąta będzie miał miarę:
$$1440°:10=144°$$

C

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i obliczenie skali podobieństwa.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że skoro \(DE||AC\), to trójkąty \(ABC\) oraz \(DBE\) (zwany w zadaniu jako \(BED\)) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt.

Obliczmy teraz skalę podobieństwa tych trójkątów. Aby tego dokonać, musimy ustalić jaką długość ma podstawa \(AB\), a jaką podstawa \(DB\). Jeżeli stosunek boków \(|AD|:|DB|=3:4\), to możemy przyjąć, że \(|AD|=3x\) oraz \(|DB|=4x\).


Tym samym podstawa \(AB\) będzie miała długość:
$$|AB|=3x+4x=7x$$

Skoro podstawa trójkąta \(DBE\) (zwanego w zadaniu jako \(BED\)) ma długość \(4x\), a podstawa trójkąta \(ABC\) ma długość \(7x\), to trójkąt \(DBE\) jest podobny do trójkąta \(ABC\) w skali:
$$k=\frac{4x}{7x}=\frac{4}{7}$$

Krok 2. Ustalenie obwodu trójkąta \(BED\).
Ustaliliśmy, że skala podobieństwa naszych trójkątów jest równa \(k=\frac{4}{7}\). To oznacza, że skoro duży trójkąt \(ABC\) ma obwód równy \(L\), to trójkąt \(BED\) będzie miał obwód równy \(k\cdot L\), czyli \(\frac{4}{7}L\).

B

Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). Widzimy, że prosta \(k\) ma współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), co prowadzi nas do wniosku, że prosta do niej równoległa będzie wyrażać się równaniem \(y=\frac{3}{4}x+b\).

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam już tylko współczynnika \(b\). Poznamy go, podstawiając współrzędne punktu \(P=(12,-1)\) przez który ta prosta musi przechodzić, zatem:
$$-1=\frac{3}{4}\cdot12+b \\
-1=9+b \\
b=-10$$

To oznacza, że poszukiwana prosta wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x-10\).

D

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu pomoże nam prosty szkic całej sytuacji:


Środek symetrii równoległoboku pokrywa się z jego przekątną, a to sprawia, że punkt \(S\) jest jednocześnie środkiem przekątnej \(AC\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AS\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
$$|AS|=\sqrt{(x_{S}-x_{A})^2+(y_{S}-y_{A})^2} \\
|AS|=\sqrt{\left(2-(-1)\right)^2+\left(2-(-4)\right)^2} \\
|AS|=\sqrt{3^2+6^2} \\
|AS|=\sqrt{9+36} \\
|AS|=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej \(AC\).
Jak już ustaliliśmy, odcinek \(AS\) jest połową długości przekątnej, czyli tym samym możemy zapisać, że długość przekątnej \(AC\) jest równa:
$$|AC|=2\cdot3\sqrt{5} \\
|AC|=6\sqrt{5}$$

D

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy sześciokąt foremny o boku długości \(6\). Jeśli nie pamiętamy jaki jest wzór na pole sześciokąta, to wystarczy skojarzyć, że taki sześciokąt foremny możemy podzielić na \(6\) trójkątów równobocznych:


Pole pojedynczego trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem pole całego sześciokąta będzie sześciokrotnie większe, czyli:
$$P_{p}=6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot\frac{36\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=6\cdot9\sqrt{3} \\
P_{p}=54\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Ściany boczne naszego graniastosłupa będą kwadratami o boku \(6\). Mamy sześć takich ścian, zatem pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=6\cdot6\cdot6 \\
P_{b}=216$$

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Na pole powierzchni całkowitej składać się będą dwa pola podstawy oraz pole powierzchni bocznej, zatem:
$$P_{c}=2\cdot54\sqrt{3}+216 \\
P_{c}=216+108\sqrt{3}$$

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy pamiętać, że sześciokąt foremny (który znajduje się w podstawie) ma tak zwane dłuższe i krótsze przekątne. Nas interesuje ta dłuższa przekątna:


W takim razie interesujący nas kąt nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości dłuższej przekątnej podstawy.
Zgodnie ze szkicem z pierwszego kroku możemy stwierdzić, że dłuższa przekątna jest dwa razy dłuższa od krawędzi sześcianu, czyli ma ona długość:
$$d=2\cdot6=12$$

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej graniastosłupa.
Spoglądamy na rysunek szkicowy graniastosłupa i na kluczowy trójkąt prostokątny, który został tam zaznaczony. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$12^2+6^2=s^2 \\
144+36=s^2 \\
s^2=180 \\
s=\sqrt{180} \quad\lor\quad s=-\sqrt{180}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość przekątnej musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(s=\sqrt{180}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(s=\sqrt{36\cdot5}=6\sqrt{5}\).

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta.
Cosinus to stosunek długość przyprostokątnej leżącej przy kącie, względem przeciwprostokątnej. Możemy więc zapisać, że:
$$cos\alpha=\frac{12}{6\sqrt{5}} \\
cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}$$

Otrzymany wynik jest poprawny, ale możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:
$$cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$

C

W podstawie naszego ostrosłupa jest kwadrat. Przyjmijmy, że ma on bok o długości \(x\), co sprawi, że pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=x^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej będzie \(12\) razy większe, czyli tym samym:
$$P_{b}=12x^2$$

Na pole powierzchni bocznej składają się cztery trójkąty, więc pole każdego trójkąta będzie równe:
$$P_{t}=12x^2:4 \\
P_{t}=3x^2$$

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru \(P=\frac{1}{2}ah\). W naszym przypadku wiemy, że \(a=x\). Skoro więc pole tego trójkąta ma być równe \(3x^2\), to otrzymamy taką oto sytuację:
$$3x^2=\frac{1}{2}\cdot x\cdot h \\
3x=\frac{1}{2}h \\
h=6x$$

To oznacza, że wysokość ściany bocznej jest \(6\) razy większa od krawędzi podstawy.

A

Aby poznać średnią wynagrodzenia, musimy dodać wszystkie wynagrodzenia (pamiętając o tym, że dane wynagrodzenie otrzymuje określona liczba osób), a następnie podzielić tę wartość przez liczbę wszystkich pracowników (z treści zadania wiemy, że ich równo stu, więc nie musimy już tego samodzielnie obliczać). Zapisalibyśmy więc, że:
$$śr=\frac{10\cdot4800+36\cdot5100+5\cdot5500+25\cdot5900+18\cdot6400+4\cdot7500+2\cdot8600}{100} \\
śr=\frac{48000+183600+27500+147500+115200+30000+17200}{100} \\
śr=\frac{569000}{100} \\
śr=5690[zł]$$

D

Sprawdźmy na ile możliwości możemy uzupełnić każdą z cyfr naszej czterocyfrowej liczby (pamiętając o tym, że cyfry nie mogą się powtarzać).
· w rzędzie tysięcy możemy mieć każdą z dziewięciu cyfr od \(1\) do \(9\) (czyli bez cyfry \(0\)), zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· w rzędzie setek możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tej, która wystąpiła w rzędzie tysięcy, zatem mamy tutaj \(9\) różnych możliwości
· w rzędzie dziesiątek możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych, które wystąpiły w rzędzie tysięcy oraz setek, zatem mamy tutaj \(8\) różnych możliwości
· w rzędzie jedności możemy mieć każdą z dziesięciu cyfr od \(0\) do \(9\), oprócz tych, które wystąpiły w rzędzie tysięcy, setek oraz dziesiątek, zatem mamy tutaj \(7\) różnych możliwości

To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$9\cdot9\cdot8\cdot7$$

\(x\in(-4,1)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, czyli musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$5-x^2\gt3x+1 \\
-x^2-3x+4\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=-3,\;c=4\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot(-1)\cdot4=9-(-16)=9+16=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-5}{2\cdot(-1)}=\frac{3-5}{-2}=\frac{-2}{-2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+5}{2\cdot(-1)}=\frac{3+5}{-2}=\frac{8}{-2}=-4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-4\) oraz \(x=1\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-4;1)$$

\(x=-4\)

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca własność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając do tego wzoru wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$x^2=\frac{3x^2+5x+20-x^2}{2} \\
x^2=\frac{2x^2+5x+20}{2} \\
2x^2=2x^2+5x+20 \\
0=5x+20 \\
-20=5x \\
x=-4$$

Udowodniono przekształcając nierówność do postaci \((x-2y)(x+2y)+3y(x-2y)\gt0\).

Krok 1. Rozpisanie nierówności.
Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie rozbicie \(-10y^2\) na sumę \(-4y^2\) oraz \(-6y^2\), a następnie odpowiednie pogrupowanie wyrazów. Obliczenia wyglądałyby następująco:
$$x^2+3xy-10y^2\gt0 \\
x^2+3xy-4y^2-6y^2\gt0 \\
x^2-4y^2+3xy-6y^2\gt0 \\
x^2-4y^2+3y(x-2y)\gt0$$

Wyrażenie \(x^2-4y^2\) możemy zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) rozpisać jako \((x-2y)(x+2y)\). Wracając więc do naszego przykładu, otrzymamy postać:
$$(x-2y)(x+2y)+3y(x-2y)\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\gt2y\), czyli że \(x-2y\gt0\). Spójrzmy teraz na naszą nierówność:
· w pierwszym nawiasie mamy \(x-2y\), co jak przed chwilą zapisaliśmy, musi być liczbą dodatnią;
· w drugim nawiasie mamy \(x+2y\) i to także jest wartość dodatnia, ponieważ z treści zadania wiemy, że \(x\) oraz \(y\) są dodatnie;
· następnie mamy \(+3y\), które także będzie dodatnie, bo \(y\) jest dodatni;
· i w ostatnim nawiasie ponownie mamy \(x-2y\), co jak już ustaliliśmy, będzie dodatnie.

Po lewej stronie mamy więc sytuację, w której mnożymy przez siebie dwie liczby dodatnie i dodajemy do tego iloczyn kolejnych dwóch dodatnich liczb. Otrzymany wynik będzie zatem na pewno większy od zera, co należało udowodnić.

\(P=16\sqrt{3}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Po dorysowaniu wysokości trapezu, sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:


Widzimy, że utworzył nam się tutaj kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\) i to właśnie z niego obliczymy potrzebne długości boków.

Krok 2. Obliczenie dolnej podstawy trapezu.
Spójrzmy na powstały trójkąt prostokątny. Zgodnie z własnościami trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\), odcinek o długości \(x\) będzie miał miarę dwa razy mniejszą od przeciwprostokątnej (czyli w naszym przypadku od ramienia trapezu). To sprawia, że:
$$x=4:2 \\
x=2$$

Tym samym dolna podstawa trapezu będzie mieć długość:
$$a=2+6+2 \\
a=10$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trapezu.
Ponownie spoglądamy na kluczowy trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Zgodnie z własnościami takich trójkątów, wysokość całego trapezu będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od odcinka oznaczonego jako \(x\), który jak już ustaliliśmy, ma długość równą \(2\). To oznacza, że w takim razie \(h=2\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie pola trapezu.
Mając wszystkie potrzebne informacje możemy przejść do obliczenia pola trapezu, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+6)\cdot2\sqrt{3} \\
P=\frac{1}{2}\cdot16\cdot2\sqrt{3} \\
P=16\sqrt{3}$$

\(x=\frac{1}{4}\) oraz \(x=2\)

Krok 1. Zapisanie założeń.
Mamy klasyczne równanie wymierne, które w mianowniku ma niewiadomą \(x\). Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), musimy zapisać założenia do naszego równania. Mianowniki naszych ułamków nie mogą być równe \(0\), stąd też zapisalibyśmy, że:
$$3x-2\neq0 \quad\land\quad 2x\neq0 \\
3x\neq2 \quad\land\quad x\neq0 \\
x\neq\frac{2}{3} \quad\land\quad x\neq0$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Po zapisaniu założeń możemy przystąpić do rozwiązywania równania. Są różne podejścia do takich równań, ale najprościej będzie chyba wykonać tzw. mnożenie na krzyż, zatem:
$$(2x-3)\cdot2x=(3x-2)\cdot1 \\
4x^2-6x=3x-2 \\
4x^2-9x+2=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam teraz delta:
Współczynniki: \(a=4,\;b=-9,\;c=2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot4\cdot2=81-32=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)-7}{2\cdot4}=\frac{9-7}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-9)+7}{2\cdot4}=\frac{9+7}{8}=\frac{16}{8}=2$$

Krok 3. Weryfikacja rozwiązań z założeniami.
Otrzymane rozwiązania musimy jeszcze zweryfikować z założeniami. W tym przypadku rozwiązania nie wykluczają się z założeniami, więc dopiero teraz możemy zapisać, że rozwiązaniami tego równania będą \(x=\frac{1}{4}\) oraz \(x=2\).

\(p=\frac{3}{10}\)

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Losujemy ze zbioru pięciu liczb, a losowanie jest bez zwracania (czyli pierwsze losowanie jest spośród pięciu liczb, a drugie już tylko spośród czterech). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4=20\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Chcemy, by obydwie wylosowane liczby były nieparzyste. Takich par nie jest dużo, możemy je nawet wypisać:
$$(1;3), (1;5) \\
(3;1), (3;5) \\
(5;1), (5;3)$$

To oznacza, że tylko sześć par spełnia warunki zadania, stąd też możemy zapisać, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

\(D=(-6;3)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania dobrze jest rozpocząć od narysowania przynajmniej szkicu całej sytuacji. Trójkąt \(ABC\) wraz z symetralną będzie wyglądał mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(AB\).
Symetralna przechodzi zawsze przed środek odcinka, stąd też chcemy poznać jakie współrzędne ma środek odcinka \(AB\). W tym celu skorzystamy ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

I tu taka mała podpowiedź - aby ułatwić sobie obliczenia, można byłoby współrzędne punktu \(A\) zapisać w postaci ułamków dziesiętnych \(A=\left(4,4;\;-4,2\right)\). Pozwoli nam to wykonać szybkie i sprawne obliczenia na kalkulatorze:
$$S=\left(\frac{4,4+6}{2};\frac{-4,2+7}{2}\right) \\
S=\left(\frac{10,4}{2};\frac{2,8}{2}\right) \\
S=\left(5,2;\;1,4\right)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy wyznaczyć wręcz pełne równanie prostej \(AB\). Nam jednak wystarczy poznanie współczynnika kierunkowego \(a\), bo to on przyda nam się później do zapisania równania symetralnej, która jest prostą prostopadłą. Możemy oczywiście wyznaczyć ten współczynnik budując odpowiedni układ równań, ale prościej i szybciej będzie skorzystać ze wzoru na współczynnik \(a\), zatem:
$$a=\frac{7-1,4}{6-5,2} \\
a=\frac{5,6}{0,8} \\
a=7$$

Krok 4. Wyznaczenie równania symetralnej odcinka \(AB\) (czyli prostej \(SD\)).
Symetralna odcinka \(AB\) jest prostą prostopadłą do tego boku. Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(AB\) ma ten współczynnik \(a=7\), to symetralna będzie miała współczynnik \(a=-\frac{1}{7}\), bo \(7\cdot\left(-\frac{1}{7}\right)=-1\). Skoro tak, to wiemy już, że prosta symetralna będzie wyrażać się równaniem \(y=-\frac{1}{7}+b\). Brakujący współczynnik \(b\) poznamy podstawiając współrzędne punktu \(S\) do tego równania, zatem:
$$1,4=-\frac{1}{7}\cdot5,2+b \\
\frac{7}{5}=-\frac{1}{7}\cdot\frac{26}{5}+b \\
\frac{7}{5}=-\frac{26}{35}+b \\
\frac{49}{35}=-\frac{26}{35}+b \\
b=\frac{75}{35}=2\frac{5}{35}=2\frac{1}{7}$$

To oznacza, że prosta symetralna wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7}\).

Krok 5. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Do wyznaczenia miejsca przecięcia się symetralnej z prostą \(BC\) potrzebujemy równania prostej \(BC\). Znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\), więc możemy albo skorzystać z długiego wzoru z tablic maturalnych, albo też z tradycyjnej metody układu równań. Skorzystajmy z tej drugiej metody, zatem podstawmy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\) do postaci \(y=ax+b\), otrzymując taki oto układ:
\begin{cases}
7=6a+b \\
2=-9a+b
\end{cases}

Odejmując te równania stronami, otrzymamy:
$$5=15a \\
a=\frac{1}{3}$$

Podstawiając teraz wyznaczone \(a=\frac{1}{3}\) do jednego z równań z układu (np. pierwszego), obliczymy brakujący współczynnik \(b\), zatem:
$$7=6\cdot\frac{1}{3}+b \\
7=2+b \\
b=5$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+5\).

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne punktu \(D\) poznamy rozwiązując układ równań, który składa się z dwóch prostych przecinających się w tym punkcie - czyli w naszym przypadku będą to symetralna odcinka oraz prosta \(BC\). Musimy zatem rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7} \\
y=\frac{1}{3}x+5
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-\frac{1}{7}x+2\frac{1}{7}=\frac{1}{3}x+5 \quad\bigg/\cdot21 \\
-3x+45=7x+105 \\
-10x=60 \\
x=-6$$

Podstawiając teraz współrzędną \(x=-6\) do wybranego równania z układu (np. drugiego), obliczymy brakującą współrzędną \(y\), zatem:
$$y=\frac{1}{3}\cdot(-6)+5 \\
y=-2+5 \\
y=3$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(D=(-6,3)\).