Matura poprawkowa – Matematyka – Sierpień 2021

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Rozwiązywanie nierówności musimy zacząć od przeniesienia wyrazów na lewą stronę, tak aby doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$x^2-5\ge4x \\
x^2-4x-5\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-5)=16-(-20)=16+20=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-6}{2\cdot1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+6}{2\cdot1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=5\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas to, co znalazło się nad osią oraz to, co jest na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest przedział:
$$x\in(-\infty;-1\rangle\cup\langle5;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz zapis do równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie z tego względu, musimy zapisać założenia do równania. W związku z tym:
$$x-7\neq0 \\
x\neq7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Wymnażając obydwie strony równania przez \(x-7\), otrzymamy:
$$\frac{x+8}{x-7}=2x \quad\bigg/\cdot(x-7) \\
x+8=2x^2-14x \\
-2x^2+15x+8=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=15,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-2)\cdot8=225-(-64)=225+64=289 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{289}=17$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15-17}{2\cdot(-2)}=\frac{-32}{-4}=8 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15+17}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz zapis do postaci typu \((a−2b)^2+b^2\ge0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:
$$5b^2-4ab+a^2\ge0 \\
a^2-4ab+5b^2\ge0$$

Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy:
$$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$

Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:
$$(a-2b)^2+b^2\ge0$$

Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę kąta \(BCD\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że \(|CD|=|BD|\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz relacje wynikające z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), powstanie nam następująca sytuacja:


Kluczowym wnioskiem jaki płynie z tego rysunku jest to, że trójkąt \(DBC\) jest równoramienny, w którym \(|CD|=|BD|\). To obserwacja znacząco ułatwia rozwiązanie zadania, ponieważ długość odcinka \(CD\) jesteśmy w stanie podać niemalże od ręki, korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\) oraz \(BD\).
Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt o kątach \(30°,60°,90°\). Z własności tych trójkątów wiemy, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, a to by oznaczało, że:
$$|CD|=2\cdot6 \\
|CD|=12$$

W pierwszym kroku ustaliliśmy już, że boki \(CD\) oraz poszukiwany \(BD\) mają jednakową miarę, zatem \(|BD|=12\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz skalę podobieństwa \(k=\frac{3}{2}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Jedną z własności trapezów jest to, że przekątne trapezu dzielą go na trójkąty podobne \(ABS\) oraz \(CDS\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy do niej dość samodzielnie korzystając z własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych (udowodnimy wtedy, że wszystkie kąty trójkątów \(ABS\) oraz \(CDS\) mają jednakowe miary).


Z treści zadania wiemy też, że \(\frac{AS}{SC}=\frac{3}{2}\), czyli tym samym skala podobieństwa tych trójkątów jest równa właśnie \(k=\frac{3}{2}\). I tu aby się nie pomylić możemy przyjąć, że trójkąt \(DCS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) jest trójkątem podobnym i to właśnie boki tego trójkąta są \(\frac{3}{2}\) razy większe.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(CDS\).
Z własności trójkątów podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) będzie miał \(k^2\) razy większe pole. Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABS}=k^2\cdot P_{CDS} \\
12=\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot P_{CDS} \\
12=\frac{9}{4}\cdot P_{CDS} \\
P_{CDS}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na każdej kostce może wypaść jeden z sześciu wyników. Skoro rzucamy niezależnie dwoma kostkami, to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=6\cdot6=36\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są wszystkie te rzuty, których wynik mnożenia jest równy \(12\). Wypiszmy zatem wszystkie interesujące nas kombinacje:
$$(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)$$

Z naszej rozpiski wynika, że jedynie cztery przypadki spełniają warunki zadania, stąd też możemy napisać, że \(|A|=4\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartości \(a_{4}\) lub \(a_{11}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu typu \((x^2+2)^2=a_{4}\cdot a_{11}\).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z własności trzech kolejnych wyrazów ciągu typu \((x^2+2)^2=a_{4}\cdot a_{11}\) i obliczysz \(a_{4}\) lub \(a_{11}\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \((x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie typu \((-1)\cdot q^2=-4\).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe otrzymując \(x=0\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz dwie wartości ilorazu \(q=-2\) oraz \(q=2\) i nie odrzucisz \(q=2\) (bo dla tej wartości ciąg nie będzie geometryczny).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\).
Na początek uporządkujmy sobie o co chodzi w zadaniu, bo tak na pierwszy rzut oka można się pogubić. Mamy jakiś ciąg \(a_{n}\) i on jest określony wzorem \(\frac{5-3n}{7}\). Czwarty oraz jedenasty wyraz tego ciągu znajduje się także w innym, trójwyrazowym ciągu geometrycznym i to właśnie w tym ciągu znajduje się poszukiwana niewiadoma \(x\). Obliczenia zaczniemy więc od obliczenia \(a_{4}\) oraz \(a_{11}\). W tym celu musimy do wzoru ciągu podstawić najpierw \(n=4\), a potem \(n=11\), zatem:

$$a_{4}=\frac{5-3\cdot4}{7}=\frac{5-12}{7}=\frac{-7}{7}=-1 \\
a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=\frac{5-33}{7}=\frac{-28}{7}=-4$$

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Wartość \(x\) ukrywa się w środkowym wyrazie naszego ciągu geometrycznego. Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów tego ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając teraz znane nam wartości, otrzymamy:
$$(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4) \\
x^4+4x^2+4=4 \\
x^4+4x^2=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania.
Powstało nam równanie czwartego stopnia, ale w takiej postaci, którą jesteśmy w stanie rozwiązać. W tym celu wystarczy wyłączyć z \(x^4\) oraz \(4x^2\) wartość \(x^2\), otrzymując:
$$x^2(x^2+4)=0$$

Teraz zachowujemy się identycznie jak przy postaci iloczynowej, czyli musimy przyrównać odpowiednie wartości do zera, zatem:
$$x^2=0 \quad\lor\quad x^2+4=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2=-4$$

Z racji tego, iż z drugiego równania nie mamy żadnych rozwiązań (nie istnieje jakakolwiek liczba rzeczywista, która podniesiona do kwadratu daje \(-4\)), to jedynym rozwiązaniem tego równania jest \(x=0\).

Krok 4. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
\(x=0\) to nie jest drugi wyraz ciągu geometrycznego! Drugim wyrazem ciągu jest \(x^2+2\), czyli:
$$a_{2}=0^2+2 \\
a_{2}=0+2 \\
a_{2}=2$$

To oznacza, że nasz ciąg geometryczny przyjmuje postać: \(-1, 2, -4\).

Krok 5. Obliczenie wartości ilorazu \(q\).
Znając dwa sąsiednie wyrazy ciągu geometrycznego, obliczenie ilorazu jest już tylko formalnością:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{2}{-1} \\
q=-2$$