Matura – Matematyka – Maj 2017

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Oczywiście tę nierówność można obliczyć metodą delty, pamiętając tylko o tym, że w tym przypadku \(c=0\). Istnieje jednak znacznie prostsza metoda na wyznaczenie miejsc zerowych. Przyrównujemy wielomian do zera i zapisujemy go w postaci iloczynowej:
$$8x^2-72x=0 \\
8x(x-9)=0 \\
8x=0 \quad\lor\quad x-9=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=9$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a=8\) (czyli jest dodatni). Zaznaczamy na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe, pamiętając o tym że kropki będą zamalowane (bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)).



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości mniejsze lub równe zero, zatem poprawnym rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział \(x\in\langle0;9\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyłączysz odpowiedni czynnik przed nawias i zapiszesz liczbę np. w postaci \(4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Aby wykazać, że dana liczba jest podzielna przez \(17\) to dobrze byłoby zamienić to dodawanie na iloczyn liczb (wyłączając przed nawias odpowiednie wartości) i to w taki sposób by jednym z czynników była albo liczba \(17\) albo jej wielokrotność. Na początku warto wyciągnąć przed nawias wartość \(4^{2017}\):
$$4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}= \\
=4^{2017}\cdot(1+4^1+4^2+4^3)= \\
=4^{2017}\cdot(1+4+16+64)= \\
=4^{2017}\cdot85= \\
=4^{2017}\cdot17\cdot5$$

Doprowadzenie równania do tej postaci kończy nasz dowód, bo skoro jednym z czynników równania jest liczba \(17\), to całe działanie jest także podzielne przez \(17\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz własności trójkątów równoramiennych i/lub stycznych do okręgu, zapiszesz (lub zaznaczysz na rysunku) poszczególne miary kątów powiązując je z kątami \(α\) oraz \(β\) (patrz: Krok 1 oraz 2.).
Uwaga: W zadaniu jest bardzo dużo dróg dojścia do uzasadnienia, możesz więc przyznać sobie 1 punkt także za zapisanie zupełnie innych relacji, byleby były one powiązane z kątami \(α\) oraz \(β\) i by prowadziły do ostatecznego rozwiązania.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Musimy dostrzec dwie bardzo ważne rzeczy.
Po pierwsze \(|\sphericalangle CBR|=|\sphericalangle BCR|\), bo trójkąt \(CRB\) jest równoramienny (ramiona mają długość promienia okręgu).
Po drugie \(|\sphericalangle PAB|=90°\) oraz \(|\sphericalangle ABR|=90°\), bo promienie okręgów poprowadzone do stycznej są do niej prostopadłe.
Spróbujmy więc nanieść na nasz rysunek te oznaczenia i jeszcze może dodatkowo zapiszmy, że \(|\sphericalangle PCB|=δ\) (przyda nam się to w kolejnym kroku):



Krok 2. Wyznaczenie miar kątów \(γ\) oraz \(δ\).
Skoro \(|\sphericalangle ABR|=90°\), to możemy napisać, że:
$$β+γ=90° \\
γ=90°-β$$

Kąt \(δ\) wyznaczymy z własności kątów przyległych:
$$|\sphericalangle PCB|+|\sphericalangle BCR|=180° \\
δ+γ=180°$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(γ=90°-β\) otrzymamy:
$$δ+90°-β=180° \\
δ=90°+β$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(α\).
Patrzymy na czworokąt \(ABCP\). Suma miar tego czworokąta musi być równa \(360°\), zatem:
$$90°+β+δ+α=360° \\
90°+β+(90°+β)+α=360° \\
180°+2β+α=360° \\
α=180°-2β$$

Udało nam się wyznaczyć dokładnie taką samą wartość kąta \(α\) jak w treści zadania, więc dowód możemy uznać za skończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=-3\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej \(y=a(x-p)^2+q\) i zapiszesz, że \(q=6\).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie \(-\frac{Δ}{4a}=6\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór w postaci kanonicznej z podstawionymi współrzędnymi wierzchołka: \(y=a(x+3)^2+6\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ trzech równań z trzema niewiadomymi: \(a(-6)^2+b(-6)+c=\frac{3}{2}\) oraz \(a\cdot0-b\cdot0+c=\frac{3}{2}\) oraz \(-\frac{b^2-4ac}{4a}=6\),
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do równania z jedną niewiadomą np. \(\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że współczynnik \(b=3\) oraz \(c=\frac{3}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Na podstawie danych z treści zadania możemy naszkicować parabolę i spróbujmy zrobić to dość dokładnie, czyli tak aby przecięła nam oś igreków w punkcie \(y=\frac{3}{2}\) (bo \(f(0)=\frac{3}{2}\)) no i tak, żeby miała najwyższą wartość równą \(6\). I tu też ważna uwaga - skąd mamy wiedzieć, czy ramiona tej paraboli są skierowane do dołu czy do góry? Skoro funkcja kwadratowa przyjmuje jakąś największą wartość, no to jej wierzchołek musi być na samej górze paraboli, więc ramiona będą skierowane do dołu.



Dodatkowo zaznaczyłem na rysunku punkt \(S\). Jest to środek odcinka \(AB\). Przyda nam się on do zrozumienia tego jak obliczyć brakującą współrzędną wierzchołka.

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Wiemy, że nasz wierzchołek ma współrzędne \(W=(p;6)\). Brakuje nam pierwszej współrzędnej, ale wiemy że będzie ona jednakowa jak współrzędna iksowa punktu \(S\), bo wierzchołek leży dokładnie nad punktem \(S\). Zatem współrzędna iksowa wierzchołka może zostać wyliczona ze wzoru na środek odcinka \(AB\):
$$p=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
p=\frac{-6+0}{2} \\
p=-3$$

To oznacza, że znamy już pełne współrzędne wierzchołka paraboli \(P=(-3;6)\).

Krok 3. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy skorzystać z postaci kanonicznej funkcji kwadratowej:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-(-3))^2+6 \\
f(x)=a(x+3)^2+6$$

Krok 4. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Do powyższego wzoru funkcji wystarczy już tylko podstawić współrzędne jednego ze znanych nam punktów (musi to być inny punkt niż wierzchołek). Podstawmy więc współrzędne punktu przecięcia się paraboli z osią igreków, czyli \((0;\frac{3}{2})\) i tym samym wyznaczymy poszukiwaną wartość współczynnika \(a\):
$$f(x)=a(x+3)^2+6 \\
\frac{3}{2}=a(0+3)^2+6 \\
\frac{3}{2}=9a+6 \\
\frac{3}{2}=9a+\frac{12}{2} \\
9a=-\frac{9}{2} \\
a=-\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą np. \(x^2+(x+14)^2=26^2\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań: \(a^2+b^2=26^2\) oraz \(x^2+(x+14)^2=26^2\).
ALBO
• Gdy odgadniesz wszystkie długości boków trójkąta: \(10, 24, 26\) oraz podasz obwód \(Obw=60\), ale nie uzasadnisz (np. Twierdzeniem Pitagorasa), że jest to trójkąt prostokątny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
ALBO
• Gdy odgadniesz wszystkie długości boków trójkąta: \(10, 24, 26\) oraz podasz obwód \(Obw=60\) i uzasadnisz (np. Twierdzeniem Pitagorasa), że jest to trójkąt prostokątny.

Krok 1. Wypisanie danych i wykorzystanie ich w Twierdzeniu Pitagorasa.
Zgodnie z treścią zadania:
\(x\) - długość pierwszej przyprostokątnej (w cm)
\(x+14\) - długość drugiej przyprostokątnej (w cm)
\(26\) - długość przeciwprostokątnej (w cm)

Możemy zatem ułożyć i rozwiązać następujące równanie:
$$x^2+(x+14)^2=26^2 \\
x^2+x^2+28x+196=676 \\
2x^2+28x+196=676 \\
2x^2+28x-480=0 \quad\bigg/:2 \\
x^2+14x-240=0$$

Ostatni krok z podzieleniem obu stron przez \(2\) nie jest konieczny, ale dzięki temu będziemy bazować na nieco mniejszych liczbach.

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=14,\;c=-240\)
$$Δ=b^2-4ac=14^2-4\cdot1\cdot(-240)=196-(-960)=1156 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1156}=34$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14-34}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-14+34}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, dlatego zostaje nam jedynie \(x=10\).

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami z kroku pierwszego, boki trójkąta mają długość \(10\), \(24\) oraz \(26\), zatem obwód tej figury jest równy:
$$Obw=10+24+26=60[cm]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu \(r=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+r=11\) lub \(a_{2}=11\) lub \(a_{16}-a_{13}=3r\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciąg arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{3}=a_{1}+2r$$

Skoro \(a_{1}=8\) oraz suma trzech początkowych wyrazów jest równa \(S_{3}=33\), to:
$$S_{3}=33 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}=33 \\
a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=33 \\
3\cdot8+3r=33 \\
24+3r=33 \\
3r=9 \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości różnicy \(a_{16}-a_{13}\).
$$a_{16}=a_{1}+15r \\
a_{13}=a_{1}+12r$$

Zatem:
$$a_{16}-a_{13}=a_{1}+15r-(a_{1}+12r)=3r=3\cdot3=9$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(B=(5;0)\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{2}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AM\), czyli \(y=\frac{3}{2}x+6\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność między długościami odcinków \(CD\) oraz \(DA\) (gdzie punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się wysokości trójkąta z osią iksów): \(\frac{|CD|}{|AD|}=\frac{3}{2}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)\) (patrz: Krok 4.), ale nie obliczysz współrzędnych punktu \(B\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość podstawy \(|AB|=9\) (patrz: Krok 5.) i zapiszesz równanie lub układ równań z którego można obliczyć współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, z którego można wyznaczyć wysokość trójkąta \(ABC\) np. \(\frac{h}{9-\frac{1}{2}h}=\frac{3}{2}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz zarówno współrzędne punktu \(B\) jak i \(C\) (patrz: Krok 2. oraz 4.)
ALBO
• Gdy obliczysz przynajmniej drugą współrzędną punktu \(C\), czyli \(y_{c}=\frac{54}{7}\) (patrz: Krok 4.) oraz wyznaczysz długość podstawy \(|AB|=9\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że wysokość trójkąta \(ABC\) to \(h=\frac{54}{7}\).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zróbmy sobie prosty szkic tej całej sytuacji i zaznaczmy w układzie współrzędnych dane z treści zadania:



Musimy wyznaczyć współrzędne punktu \(B\) (potrzebne będą do wyznaczenia długości podstawy) oraz współrzędne punktu \(C\) (potrzebne do wyznaczenia wysokości trójkąta).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Wyznaczenie współrzędnych tego punktu jest stosunkowo dość proste, bo jest to tak naprawdę miejsce zerowe prostej \(k\) (tak wynika z treści zadania). Można więc powiedzieć, że \(B=(x;0)\) zatem podstawiając te współrzędne do prostej o równaniu \(y=-2x+10\) otrzymamy:
$$-2x+10=0 \\
-2x=-10 \\
x=5$$

To oznacza, że \(B=(5;0)\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(M\).
Skoro znamy współrzędne obydwu tych punktów to możemy skorzystać ze wzoru na równanie prostej albo też zbudować prosty układ równań. Szybciej będzie chyba skorzystać ze wzoru:
$$(y-y_{A})(x_{M}-x_{A})-(y_{M}-y_{A})(x-x_{A})=0 \\
(y-0)(2-(-4))-(9-0)(x-(-4))=0 \\
(y-0)(2+4)-9\cdot(x+4)=0 \\
(y-0)\cdot6-9\cdot(x+4)=0 \\
6y-9x-36=0 \\
6y=9x+36 \quad\bigg/:6 \\
y=\frac{3}{2}x+6$$

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Stworzymy układ równań składających się z dwóch prostych, których miejscem przecięcia się są właśnie współrzędne punktu \(C\).
\begin{cases}
y=-2x+10 \\
y=\frac{3}{2}x+6
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymujemy:
$$-2x+10=\frac{3}{2}x+6 \quad\bigg/\cdot2 \\
-4x+20=3x+12 \\
-7x=-8 \\
x=\frac{8}{7}$$

Współrzędną \(y\) obliczmy podstawiając wartość \(x=\frac{8}{7}\) do jednego z równań:
$$y=-2\cdot\frac{8}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+10 \\
y=\frac{-16}{7}+\frac{70}{7} \\
y=\frac{54}{7}$$

Mamy zatem: \(C=\left(\frac{8}{7};\frac{54}{7}\right)\).

Krok 5. Obliczenie pola trójkąta.
Do obliczenia pola trójkąta potrzebujemy jeszcze poznać długości podstawy trójkąta i wysokości.
• Długość podstawy trójkąta: \(|AB|=5+4=9\) (wynika to bezpośrednio z rysunku - pięć jednostek z punktu \(A\) do środka układu współrzędnych plus cztery jednostki ze środka układu współrzędnych do punktu \(B\)).
• Wysokość trójkąta to tak naprawdę współrzędna igrekowa punktu \(C\), czyli \(H=\frac{54}{7}\).

Pole trójkąta jest więc równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot|AB|\cdot H \\
P=\frac{1}{2}\cdot9\cdot\frac{54}{7} \\
P=\frac{1}{2}\cdot\frac{486}{7} \\
P=\frac{243}{7}=34\frac{5}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zbiorem zdarzeń elementarnych są wszystkie liczby dwucyfrowe, a tych mamy łącznie \(90\), zatem: \(|Ω|=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym będą w tym przypadku wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez \(3\), które są jednocześnie mniejsze od \(40\). Tymi liczbami będą:
$$\{12,15,18,21,24,27,30,33,36,39\}$$

Łącznie jest to \(10\) liczb, zatem: \(|A|=10\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{10}{90}=\frac{1}{9}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z którego da się wyliczy długość krawędzi podstawy np. \(\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|DE|=\frac{1}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(|EB|=\frac{2}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy: \(a=2\) (patrz: Krok 3.) oraz zapiszesz równanie prowadzące do obliczenia wysokości ostrosłupa np. wykorzystując układ równań albo Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 4.)
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\) lub \(H=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}\).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadania, ale otrzymasz niepoprawny wynik w wyniku błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Krok 2. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe:
$$P_{śb}=\frac{15\sqrt{3}}{4}:3=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy \(a\).
W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h=\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi \(a\):
$$P_{śb}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:\frac{5\sqrt{3}}{4} \\
1=\frac{1}{2}a \\
a=2$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Odcinek \(DE\) stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka \(DB\)) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że:
$$|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\frac{2\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\sqrt{3}$$

Skoro odcinek \(DE\) ma stanowić \(\frac{1}{3}\) długości odcinka \(DB\), to:
$$|DE|=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DES\):
$$|DE|^2+|SE|^2=|DS|^2 \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+|SE|^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 \\
\frac{3}{9}+|SE|^2=\frac{25\cdot3}{16} \\
\frac{1}{3}+|SE|^2=\frac{75}{16} \\
\frac{16}{48}+|SE|^2=\frac{225}{48} \\
|SE|^2=\frac{225}{48}-\frac{16}{48} \\
|SE|^2=\frac{209}{48} \\
|SE|=\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{627}}{12}$$

Krok 6. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\sqrt{3}$$

Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Skoro \(P_{p}=\sqrt{3}\) oraz \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{627}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot3}{12} \\
V=\frac{\sqrt{209}}{12}$$