Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2023 – Odpowiedzi

Poniżej znajdują się zadania i odpowiedzi z matury próbnej na poziomie podstawowym – grudzień 2023. Wszystkie zadania posiadają pełne rozwiązania krok po kroku, co mam nadzieję pomoże Ci w nauce do matury. Ten arkusz maturalny wydrukować w formie PDF – odpowiednie linki znajdują się na dole strony.

Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Grudzień 2023

Zadanie 1. (1pkt) Liczba \({(3^{-2,4}\cdot3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{2}}\) jest równa:

Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(log_{2}96-log_{2}3\) jest równa:

Zadanie 3. (1pkt) Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(5\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę \(4851 zł\) (bez uwzględnienia podatków).

Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa:

Zadanie 4. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono przedział.
matura z matematyki

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:

Zadanie 5. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).

Zadanie 6. (1pkt) Dany jest układ równań \(\begin{cases}x-3y+5=0 \\ 2x+y+3=0\end{cases}\)

Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb:

Zadanie 7. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-3)\) i \((-2)\) wartość wyrażenia \(\dfrac{x+3}{x^2+4x+4}\cdot\dfrac{x^2+2x}{2x+6}\) jest równa wartości wyrażenia:

Zadanie 8. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=-3x^3-x^2+kx+1\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian \(W\) można zapisać w postaci \(W(x)=(x+1)\cdot Q(x)\) dla pewnego wielomianu \(W\). Liczba \(k\) jest równa:

Zadanie 9. (3pkt) Rozwiąż równanie \(2x^3+3x^2=10x+15\)

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(4\).

P

F

Punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(Oy\) ma współrzędne \(\left(0,-\frac{1}{6}\right)\).

P

F

Zadanie 11. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
matura z matematyki

Zadanie 11.1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

Zadanie 11.2. (1pkt) Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.
$$...........$$

Zadanie 11.3. (1pkt) Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.

Wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci: \(......\) oraz \(......\)

A. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\)
B. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2\)
C. \(f(x)=2(x-2)(x-6)\)
D. \(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)^2-2\)
E. \(f(x)=2(x+2)(x+6)\)
F. \(f(x)=2(x+4)^2-2\)

Zadanie 11.4. (2pkt) Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) (zobacz rysunek) następująco: \(g(x)=f(x+1)\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\).

Fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku:

Zadanie 12. (1pkt) Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze \(22°C\) opisuje funkcja wykładnicza \(T(x)=78\cdot2^{-0,05x}+22\), gdzie \(T(x)\) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po \(x\) minutach liczonych od momentu \(x=0\), w którym zioła zalano wrzątkiem.

Temperatura naparu po \(20\) minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa:

Zadanie 13. (1pkt) Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{2}=4\) oraz \(a_{3}=9\). Szósty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:

Zadanie 14. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem \(S_{n}=4\cdot(2^{n}-1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Pierwszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy \(4\).

P

F

Drugi wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy \(12\).

P

F

Zadanie 15. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg \((1-2a, 12, 48)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:

Zadanie 16. (1pkt) Dane są dwa kąty o miarach \(\alpha\) oraz \(\beta\), spełniające warunki:
\(\alpha\in(0°,180°)\) i \(tg\alpha=-\frac{2}{3}\) oraz \(\beta\in(0°,180°)\) i \(cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}\).

Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze \(\alpha\) oraz kąt o mierze \beta. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych
całkowitych: \(A\) lub \(B\), lub \(C\), lub \(D\), lub \(E\), lub \(F\).

Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
matura z matematyki

matura z matematyki

Zadanie 17. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy:

Zadanie 18. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(l\) o równaniu \(y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}\). Prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\) i przechodzi przez punkt \(P=(6,0)\). Prosta \(k\) ma równanie:

Zadanie 19. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach:
$$k:\; y=-\frac{1}{2}x-7 \\
l:\; y=(2m-1)x+13$$

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy:

Zadanie 20. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(4,-2)\). Okrąg \(O\) jest styczny do osi \(Ox\) układu współrzędnych. Okrąg \(O\) jest określony równaniem:

Zadanie 21. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(K=(-7,-2)\) oraz \(L=(-1,4)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(KLM\). Pole trójkąta \(KLM\) jest równe:

Zadanie 22. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32°\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa:

Zadanie 23. (1pkt) W rombie \(ABCD\) dłuższa przekątna \(AC\) ma długość \(12\) i tworzy z bokiem \(AB\) kąt o mierze \(30°\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Pole rombu \(ABCD\) jest równe:

Zadanie 24. (2pkt) Dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S\). Średnica \(AB\) tego okręgu przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Ponadto: \(|PB|=4\), \(|PC|=8\) oraz \(|PD|=5\).
matura z matematyki

Oblicz promień okręgu \(O\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 25. (1pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(5\). Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt \(P\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Suma odległości punktu \(P\) od wszystkich ścian sześcianu \(ABCDEFGH\) jest równa:

Zadanie 26. (3pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(384\). Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(tg\alpha=\frac{4}{3}\) (zobacz rysunek).
matura z matematyki

Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

Zadanie 27. (2pkt) E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy \((-3)\). Zapisz obliczenia.

Zadanie 28. (1pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe:

Zadanie 29. (2pkt) W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale \(\langle19 dag,\;21 dag\rangle\).

Pobrano próbę kontrolną liczącą \(50\) jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.
matura z matematyki

Zadanie 29.1. (1pkt) Spośród \(50\) zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe:

Zadanie 29.2. (1pkt) Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.

Dominanta masy \(50\) zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa:

A.
B.
\(20 dag\)
\(23 dag\)
ponieważ
1.
2.
3.
ta masa jest największa w tej próbie.
iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
ta masa występuje najliczniej w tej próbie.

Zadanie 30. (4pkt) Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12 dm\), a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18 dm\).

Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.

Ten arkusz możesz zrobić online lub pobrać w formie PDF:

14 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Julka

Hej, zadanie 24 jest rozwiązane za pomocą czegoś czego nie ma w kartach wzorów z tego co widzę, więc jak to rozwiązać używając tylko tego co jest w kartach?

Xaions
Reply to  SzaloneLiczby

Nawet jeśli, cechy podobieństw trójkątów są w kartach wzorów na 16 stronie :D

Papryczka Mielecka
Reply to  Julka

|AP|x|BP|=|CP|x|DP|
To jest fajny wzór do tego zadania :)

Klaudia
Reply to  Julka

Myślę że można zrobić albo z podobieństwa trójkątów, co jest w karcie wzorów, albo z twierdzenia o cięciwach w okręgu, czyli tak jak Papryczka Mielecka wyżej napisała |AP| x |BP| = |CP| x |DP|

Renata

Dzień dobry, proszę o sprawdzenie zadania 8. Wydaje mi się, że jest tam błąd. Liczba (-1) do potęgi 2 musi być równa 1, a nie (-1). Pozdrawiam

klopsior

Link do pobrania arkusza w formacie pdf jest niedostępny

klopsior

Pozdrawiam i dziękuję za rozwiązania do zadań!

Max

A w 15 zadaniu nie wystarczy policzyć ile wynosi q dzieląc 48 na 12, potem 12 podzielić przez q czyli 4, po czym wychodzi nam, że pierwszy wyraz to 3 i wtedy przyrównujemy to do 1-2a, i z tego równania wychodzi nam, że a=-1?

Filip

Cześć, zastanawia mnie czemu w zadaniu 27, poprawną odpowiedzią jest 840, skoro nie jest nigdzie napisane, że ostatnie 3 cyfry nie mogą się powtarzać, bo przecież np. może wystąpić kod 963555, wtedy wynik zadania powinien wyglądać tak:

4 * 10 * 10 * 10 = 4000

Pozdrawiam,
Filip