Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Grudzień 2023
Łącznie do zdobycia jest 46 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 180 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Liczba \({(3^{-2,4}\cdot3^{\frac{2}{5}})}^{\frac{1}{2}}\) jest równa:
Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(log_{2}96-log_{2}3\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Pan Grzegorz wpłacił do banku pewną kwotę na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości \(5\%\) od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie. Po dwóch latach oszczędzania pan Grzegorz odebrał z tego banku wraz z odsetkami kwotę \(4851 zł\) (bez uwzględnienia podatków).
Kwota wpłacona przez pana Grzegorza na tę lokatę była równa:
Zadanie 4. (1pkt) Na osi liczbowej zaznaczono przedział.
Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności:
Zadanie 5. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3n^2+4n+1\) jest podzielna przez \(4\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Jeżeli \(n\) ma być liczbą nieparzystą, to moglibyśmy zapisać ją w postaci \(n=2x+1\), gdzie \(x\) jest liczbą całkowitą (jest to standardowy sposób zapisu liczb nieparzystych). W takiej sytuacji nasza liczba przyjęłaby postać:
$$3\cdot(2x+1)^2+4\cdot(2x+1)+1= \\
=3\cdot(4x^2+4x+1)+8x+4+1= \\
=12x^2+12x+3+8x+4+1= \\
=12x^2+20x+8= \\
=4(3x^2+5x+2)$$
Wyłączając czwórkę przed nawias pokazaliśmy, że nasza liczba jest podzielna przez \(4\), a wynikiem tego dzielenia jest po prostu \(3x^2+5x+2\), które jest liczbą całkowitą. Dowodzenie możemy zatem uznać za skończone.
Zadanie 6. (1pkt) Dany jest układ równań \(\begin{cases}x-3y+5=0 \\ 2x+y+3=0\end{cases}\)
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb:
Zadanie 7. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) różnej od \((-3)\) i \((-2)\) wartość wyrażenia \(\dfrac{x+3}{x^2+4x+4}\cdot\dfrac{x^2+2x}{2x+6}\) jest równa wartości wyrażenia:
Zadanie 8. (1pkt) Dany jest wielomian \(W(x)=-3x^3-x^2+kx+1\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że wielomian \(W\) można zapisać w postaci \(W(x)=(x+1)\cdot Q(x)\) dla pewnego wielomianu \(W\). Liczba \(k\) jest równa:
Zadanie 9. (3pkt) Rozwiąż równanie \(2x^3+3x^2=10x+15\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Na początek musiimy uporządkować nasze równanie w taki sposób, aby po prawej stronie otrzymać \(0\), zatem:
$$2x^3+3x^2=10x+15 \\
2x^3+3x^2-10x-15=0$$
Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$2x^3+3x^2-10x-15=0 \\
x^2(2x+3)-5(2x+3)=0 \\
(x^2-5)\cdot(2x+3)=0$$
Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-5=0 \quad\lor\quad 2x+3=0 \\
x^2=5 \quad\lor\quad 2x=-3 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\frac{3}{2}$$
Zadanie 10. (1pkt) Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-\frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba \(4\).
Punkt przecięcia wykresu funkcji \(f\) z osią \(Oy\) ma współrzędne \(\left(0,-\frac{1}{6}\right)\).
Zadanie 11. (5pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji \(f\), oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają współrzędne całkowite.
Zadanie 11.1. Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:
Zadanie 11.2. Zapisz poniżej w postaci przedziału zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości ujemne.
$$...........$$
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów od \(x=2\) (bez tego argumentu, bo dla niego przyjmowana warrtość jest równa \(0\)), aż do argumentu \(x=6\) (także bez tego argumentu). Zapisalibyśmy więc, że wartości ujemne są przyjmowane w przedziale \(x\in(2,6)\).
Zadanie 11.3. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i wpisz te litery w wykropkowanych miejscach.
Wzór funkcji \(f\) można przedstawić w postaci: \(......\) oraz \(......\)
A. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\)
B. \(f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2\)
C. \(f(x)=2(x-2)(x-6)\)
D. \(f(x)=\frac{1}{2}(x+4)^2-2\)
E. \(f(x)=2(x+2)(x+6)\)
F. \(f(x)=2(x+4)^2-2\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci iloczynowej.
Idea zadania polega na tym, by z wykresu odczytać kluczowe informacje i za ich pomocą ustalić wzór tej funkcji w postaci iloczynowej oraz kanonicznej.
Zacznijmy od postaci iloczynowej, czyli funkcji typu \(f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})\), gdzie \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) to miejsca zerowe funkcji. Z wykresu odczytujemy, że nasza funkcja ma dwa miejsca zerowe i są to \(x_{1}=2\) oraz \(x_{2}=6\). Podstawiając te dane do wzoru, otrzymamy:
$$f(x)=a(x-2)(x-6)$$
Do pełnego wzoru brakuje nam znajomości współczynnika \(a\). Aby go poznać, musimy podstawić współrzędne jakiegoś punktu, przez który przechodzi nasza funkcja. Przykładowo pasuje nam punkt o współrzędnych \((0,6)\), zatem podstawiając jego współrzędne, otrzymamy następującą sytuację:
$$6=a(0-2)(0-6) \\
6=a(-2)(-6) \\
6=12a \\
a=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$
To oznacza, że pierwszym poszukiwanym wzorem będzie \(f(x)=\frac{1}{2}(x-2)(x-6)\).
Krok 2. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Z wykresu odczytujemy, że wierzchołkiem naszej paraboli jest punkt o współrzędnych \((4,-2)\). Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to właśnie współrzędne naszego wierzchołka. Podstawiając zatem \(p=4\) oraz \(q=-2\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-4)^2+(-2) \\
f(x)=a(x-4)^2-2$$
Ponownie brakuje nam współczynnika \(a\), ale to będzie ta sama wartość jak obliczona przed chwilą w postaci iloczynowej, czyli \(a=\frac{1}{2}\). Możemy zatem zapisać, że pełnym wzorem naszej funkcji będzie:
$$f(x)=\frac{1}{2}(x-4)^2-2$$
Zadanie 11.4. Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) (zobacz rysunek) następująco: \(g(x)=f(x+1)\). Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\), fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\).
Fragment wykresu funkcji \(y=g(x)\) przedstawiono na rysunku:
Zadanie 12. (1pkt) Proces stygnięcia naparu z ziół w otoczeniu o stałej temperaturze \(22°C\) opisuje funkcja wykładnicza \(T(x)=78\cdot2^{-0,05x}+22\), gdzie \(T(x)\) to temperatura naparu wyrażona w stopniach Celsjusza (°C) po \(x\) minutach liczonych od momentu \(x=0\), w którym zioła zalano wrzątkiem.
Temperatura naparu po \(20\) minutach od momentu zalania ziół wrzątkiem jest równa:
Zadanie 13. (1pkt) Ciąg arytmetyczny \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). W tym ciągu \(a_{2}=4\) oraz \(a_{3}=9\). Szósty wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy:
Zadanie 14. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Suma \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu jest określona wzorem \(S_{n}=4\cdot(2^{n}-1)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
Pierwszy wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy \(4\).
Drugi wyraz ciągu \((a_{n})\) jest równy \(12\).
Zadanie 15. (1pkt) Trzywyrazowy ciąg \((1-2a, 12, 48)\) jest geometryczny. Liczba \(a\) jest równa:
Zadanie 16. (1pkt) Dane są dwa kąty o miarach \(\alpha\) oraz \(\beta\), spełniające warunki:
\(\alpha\in(0°,180°)\) i \(tg\alpha=-\frac{2}{3}\) oraz \(\beta\in(0°,180°)\) i \(cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}\).
Na rysunkach A–F w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) zaznaczono różne kąty – w tym kąt o mierze \(\alpha\) oraz kąt o mierze \beta. Jedno z ramion każdego z tych kątów pokrywa się z dodatnią półosią \(Ox\), a drugie przechodzi przez jeden z punktów o współrzędnych
całkowitych: \(A\) lub \(B\), lub \(C\), lub \(D\), lub \(E\), lub \(F\).
Uzupełnij tabelę. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–F.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Omówienie kąta \(\alpha\).
Opisana w treści zadania sytuacja związana jest z następującymi wzorami, które możemy znaleźć w tablicach matematycznych:
\(sin\alpha=\frac{y}{r} \\
cos\alpha=\frac{x}{r} \\
tg\alpha=\frac{y}{x}\)
W powyższych wzorach \(x\) oraz \(y\) to współrzędne punktu, który znajduje się na jednym z ramion zaznaczonego kąta, natomiast \(r\) to odległość tego punktu od początku układu współrzędnych.
Zacznijmy zatem kąta \(\alpha\). Wiemy, że \(tg\alpha=-\frac{2}{3}\). Z wypisanych wcześniej wzorów wynika więc, że \(x=3\) oraz \(y=-2\), albo też \(x=-3\) oraz \(y=2\) (nie są to co prawda jedyne możliwości, bo równie dobrze mogłoby to być np. \(x=6\) oraz \(y=-4\), ale właśnie te dwie pary współrzędnych należałoby przeanalizować w pierwszej kolejności). Mówiąc bardziej obrazowo, szukamy na rysunkach sytuacji, w której punkt leżący na ramieniu kąta przyjmuje współrzędne \((3;-2)\) lub \((-3;2)\) i widzimy, że właśnie ten drugi przypadek znalazł się na rysunku z odpowiedzi B.
Krok 2. Omówienie kąta \(\beta\).
Z zapisu \(cos\beta=\frac{1}{\sqrt{10}}\) wynika, że pasowałaby nam taka odpowiedź, w której \(x=1\), a odległość punktu od początku układu współrzędnych to \(r=\sqrt{10}\). Tylko rysunek z odpowiedzi D ma zaznaczony punkt o współrzędnej \(x=1\), więc to będzie poszukiwana przez nas odpowiedź. Odległość \(r=\sqrt{10}\) też się tutaj zgadza, co bardzo dobrze widać na poniższym rysunku:
Zadanie 17. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\). Tangens kąta \(\alpha\) jest równy:
Zadanie 18. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(l\) o równaniu \(y=\frac{3}{2}x-\frac{15}{2}\). Prosta \(k\) jest prostopadła do prostej \(l\) i przechodzi przez punkt \(P=(6,0)\). Prosta \(k\) ma równanie:
Zadanie 19. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dane są proste \(k\) oraz \(l\) o równaniach:
$$k:\; y=-\frac{1}{2}x-7 \\
l:\; y=(2m-1)x+13$$
Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy:
Zadanie 20. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S=(4,-2)\). Okrąg \(O\) jest styczny do osi \(Ox\) układu współrzędnych. Okrąg \(O\) jest określony równaniem:
Zadanie 21. (1pkt) W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkty \(K=(-7,-2)\) oraz \(L=(-1,4)\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego \(KLM\). Pole trójkąta \(KLM\) jest równe:
Zadanie 22. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Prosta \(k\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) kąt o mierze \(32°\). Ponadto odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek).
Miara kąta rozwartego \(BOC\) jest równa:
Zadanie 23. (1pkt) W rombie \(ABCD\) dłuższa przekątna \(AC\) ma długość \(12\) i tworzy z bokiem \(AB\) kąt o mierze \(30°\) (zobacz rysunek).
Pole rombu \(ABCD\) jest równe:
Zadanie 24. (2pkt) Dany jest okrąg \(O\) o środku w punkcie \(S\). Średnica \(AB\) tego okręgu przecina cięciwę \(CD\) w punkcie \(P\) (zobacz rysunek). Ponadto: \(|PB|=4\), \(|PC|=8\) oraz \(|PD|=5\).
Oblicz promień okręgu \(O\). Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów \(ACP\) oraz \(BPD\).
Spójrzmy na kąty \(ABD\) i \(ACD\). Są to dwa kąty wpisane, które oparte są na tym samym łuku, co z kolei prowadzi nas do wniosku, że miary tych kątów będą jednakowe.
Analogicznie jest w przypadku kątów \(BAC\) oraz \(BDC\) - tutaj także mamy kąty oparte na tym samym łuku, więc miara tych dwóch kątów będzie taka sama.
Dodatkowo trzeba zauwayć, że kąty \(APC\) oraz \(BPD\) są kątami wierzchołkowymi, czyli w tej parze miara kątów również będzie jednakowa.
To wszystko sprawia, że trójkąty \(ACP\) oraz \(BPD\) będą na pewno trójkątami podobnymi (cecha: kąt-kąt-kąt).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(PA\).
Z podobieństwa trójkątów wynika, że możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|PA|}{|PD|}=\frac{|PC|}{|PB|}$$
Podstawiając znane długości boków, otrzymamy:
$$\frac{|PA|}{5}=\frac{8}{4}$$
Mnożąc teraz na krzyż wyjdzie nam, że:
$$|PA|\cdot4=5\cdot8 \\
4|PA|=40 \\
|PA|=10$$
Krok 3. Obliczenie długości średnicy okręgu.
Z rysunku wynika, że średnica \(AB\) jest równa sumie odcinków \(PA\) oraz \(PB\), zatem:
$$|AB|=10+4 \\
|AB|=14$$
Krok 4. Obliczenie długości promienia okręgu.
Promień jest zawsze równy połowie średnicy, zatem:
$$r=14:2 \\
r=7$$
Zadanie 25. (1pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(5\). Wewnątrz sześcianu znajduje się punkt \(P\) (zobacz rysunek).
Suma odległości punktu \(P\) od wszystkich ścian sześcianu \(ABCDEFGH\) jest równa:
Zadanie 26. (3pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(384\). Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze \(\alpha\) taki, że \(tg\alpha=\frac{4}{3}\) (zobacz rysunek).
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został zaznaczony na rysunku. Mamy informację, że \(tg\alpha=\frac{4}{3}\) i to będzie nasz punkt wyjścia do zapisania pewnych oznaczeń. Moglibyśmy zapisać, że w takiej sytuacji przyprostokątna będąca jednocześnie wysokością ostrosłupa ma długość \(4x\), a przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) (która jest połową długości krawędzi podstawy) będzie miała długość \(3x\). Od razu też możemy dodać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa), że przeciwprostokątna tego trójkąta (która jest jednocześnie poszukiwaną wysokością ściany bocznej) będzie miała długość \(5x\).
I tu dość ważna uwaga. Nie możemy zapisać, że nasze przyprostokątne mają długość \(4\) oraz \(3\), bo równie dobrze mogłyby to być miary \(40\) oraz \(30\) i dla nich też mielibyśmy tangens równy \(\frac{4}{3}\). Dlatego właśnie tak ważne (zwłaszcza w tego typu zadaniach) jest zapisywanie tych miar jako \(4x\) oraz \(3x\).
Krok 2. Zapisanie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.
Krawędź podstawy będzie dwa razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej analizowanego przed chwilą trójkąta prostokątnego, zatem zapisalibyśmy, że:
$$a=2\cdot3x \\
a=6x$$
W podstawie naszego ostrosłupa znajduje się kwadrat (ponieważ jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny), zatem od razu możemy zapisać, że jego pole jest równe:
$$P_{p}=(6x)^2 \\
P_{p}=36x^2$$
Krok 3. Wyznaczenie długości \(x\).
Z treści zadania wynika, że objętość naszej bryły jest równa \(384\). Wiemy już, że \(P_{p}=36x^2\) oraz \(H=4x\), zatem korzystając ze wzoru na objętość możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
384=\frac{1}{3}\cdot36x^2\cdot4x \\
384=12x^2\cdot4x \\
384=48x^3 \\
x^3=8 \\
x=2$$
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Na koniec została już tylko formalność. Celem zadania jest poznanie wysokości ściany bocznej, a skoro ta ma długość \(5x\), to możemy zapisać, że:
$$h_{b}=5\cdot2 \\
h_{b}=10$$
Zadanie 27. (2pkt) E-dowód ma zapisany na pierwszej stronie specjalny sześciocyfrowy numer CAN, który zabezpiecza go przed odczytaniem danych przez osoby nieuprawnione. Oblicz, ile jest wszystkich sześciocyfrowych numerów CAN o różnych cyfrach, spełniających warunek: trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy \((-3)\). Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie jakie trzy cyfry mogą się pojawić na początku numeru CAN.
Trzy pierwsze cyfry muszą tworzyć ciąg arytmetyczny o różnicy \(-3\). Mówiąc bardziej obrazowo, druga cyfra musi być o \(3\) mniejsza od pierwszej, a trzecia cyfra o \(3\) mniejsza od drugiej. Najwyższą cyfrą na matematyce jest oczywiście \(9\), więc trzema pierwszymi cyframi mogłyby być zestawy:
$$9, 6, 3 \\
8, 5, 2 \\
7, 4, 1 \\
6, 3, 0$$
To oznacza, że mamy \(4\) różne zestawy liczb, które mogą znaleźć się na pierwszych trzech miejscach.
Krok 2. Obliczenie ilości liczb spełniających warunki zadania.
Rozpiszmy sobie dokładnie jakie liczby mogą znaleźć się na poszczególnych miejscach naszego numeru CAN.
· Na pierwszych trzech miejscach musi znaleźć się jeden z \(4\) zestawów liczb. Mamy zatem \(4\) możliwości.
· Czwartą cyfrą może być dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale przez to że cyfry nie mogą się powtarzać, muszą to być wartości inne niż na pierwszych trzech miejscach naszej liczby. Mamy zatem \(10-3=7\) możliwości.
· Piątą cyfrą może być dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale muszą to być wartości inne niż na pierwszych czterech miejscach naszej liczby. Mamy zatem \(10-4=6\) możliwości.
· Szóstą cyfrą może być dowolna cyfra od \(0\) do \(9\), ale muszą to być wartości inne niż na pierwszych pięciu miejscach naszej liczby.. Mamy zatem \(10-5=5\) możliwości.
To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, interesujących nas liczb będziemy mieć:
$$4\cdot7\cdot6\cdot5=840$$
Zadanie 28. (1pkt) Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego oczka do sześciu oczek.
Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest liczbą nieparzystą, jest równe:
Zadanie 29. (2pkt) W hurtowni owoców wyselekcjonowane jabłko spełnia normę jakości, gdy jego masa (po zaokrągleniu do pełnych dekagramów) mieści się w przedziale \(\langle19 dag,\;21 dag\rangle\).
Pobrano próbę kontrolną liczącą \(50\) jabłek i następnie zważono każde z nich. Na poniższym wykresie słupkowym przedstawiono rozkład masy jabłek w badanej próbie. Na osi poziomej podano – wyrażoną w dekagramach – masę jabłka (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów), a na osi pionowej przedstawiono liczbę jabłek o określonej masie.
Zadanie 29.1. Spośród \(50\) zważonych jabłek z pobranej próby kontrolnej losujemy jedno jabłko. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane jabłko spełnia normę jakości, jest równe:
Zadanie 29.2. Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wybierz odpowiedź A albo B oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3.
Dominanta masy \(50\) zważonych jabłek (w zaokrągleniu do pełnych dekagramów) z pobranej próby kontrolnej jest równa:
ta masa jest największa w tej próbie.
iloczyn tej masy i liczby jabłek o takiej masie jest największy w tej próbie.
ta masa występuje najliczniej w tej próbie.
Zadanie 30. (4pkt) Zgodnie z założeniem architekta okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu równoramiennego, który nie jest równoległobokiem. Dłuższa podstawa trapezu ma mieć długość \(12 dm\), a suma długości krótszej podstawy i wysokości tego trapezu ma być równa \(18 dm\).
Oblicz, jaką długość powinna mieć krótsza podstawa tego trapezu, tak aby pole powierzchni okna było największe. Oblicz to pole. Zapisz obliczenia.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że krótsza podstawa (oznaczmy ją jako \(b\)) oraz wysokość \(h\) mają mieć łączną długość równą \(18dm\). Zapiszmy zatem, że:
$$b+h=18 \\
b=18-h$$
Przy okazji możemy zapisać założenie, że \(b\) musi być mniejsze od \(12\) (bo w przeciwnym wypadku nie będzie to krótsza podstawa), no i oczywiście musi być większe od \(0\), zatem \(b\in(0,12)\).
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$
Wiemy, że \(a=12\) oraz \(b=18-h\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(12+18-h)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(30-h)\cdot h \\
P=(15-\frac{1}{2}h)\cdot h \\
P=15h-\frac{1}{2}h^2 \\
P=-\frac{1}{2}h^2+15h$$
Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(h)\).
Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni prostokąta można opisać wzorem \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\). W ten sposób udało nam się zapisać wzór na pole z użyciem tylko jednej niewiadomej. Teraz całość możemy potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(h\) otrzymamy konkretne pole \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(h)=-\frac{1}{2}h^2+15h\).
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Tutaj parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, ponieważ współczynnik \(a=-\frac{1}{2}\). Sytuacja będzie więc wyglądać następująco:
Chcemy się dowiedzieć, dla jakiego \(h\) to pole \(P\) będzie największe, a wiemy, że parabola skierowana ramionami do dołu osiągnie swoją największą wartość w wierzchołku. Obliczmy zatem dla jakiej długości \(h\) ta największa wartość jest przyjmowana, a pomoże nam w tym wzór na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a} \\
x_{W}=\frac{-15}{2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} \\
x_{W}=\frac{-15}{-1} \\
x_{W}=15$$
Wyliczyliśmy zatem, że pole powierzchni będzie największe gdy \(h=15\).
Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej podstawy.
Zgodnie z treścią zadania, musimy jeszcze obliczyć długość krótszej podstawy, którą oznaczyliśmy jako \(b\). Zapisaliśmy sobie wcześniej, że \(b=18-h\), zatem:
$$b=18-15 \\
b=3[dm]$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trapezu.
Na koniec musimy obliczyć pole trapezu. Możemy w tym celu skorzystać ze wzoru, który zapisaliśmy wcześniej, czyli \(P=-\frac{1}{2}h^2+15h\) i podstawić do niego \(h=15\). Możemy też po prostu skorzystać ze standardowego wzoru na pole trapezu, bo znamy wszystkie miary naszego trapezu, czyli \(a=12\), \(b=3\) oraz \(h=15\). Skorzystamy może z tego standardowego wzoru, zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot(12+3)\cdot15 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot15 \\
P=112,5[dm^2]$$
Poprzednie
Zakończ
Następne