Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w którym jedyną niewiadomą jest długość boku \(KB\) (patrz: Krok 2.), ale samo równanie rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy obliczysz, że trapez \(KBCL\) ma mieć powierzchnię równą \(14cm^2\) oraz podstawisz dane do wzoru na pole trapezu otrzymując wyrażenie algebraiczne typu \(\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm\), ale nie wpadniesz na pomysł, że trzeba z tych dwóch danych ułożyć równanie typu \(\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm=14cm^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni trapezu \(KBCL\).
Z treści zadania wynika, że prostokąt \(ABCD\) ma wymiary \(7cm\times8cm\). W związku z tym pole tego prostokąta jest równe:
$$P_{ABCD}=7cm\cdot8cm=56cm^2$$

Jeżeli pole trapezu jest czterokrotnie mniejsze od pola tego prostokąta, to znaczy że to pole jest równe:
$$P_{KBCL}=56cm^2:4=14cm^2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(KB\).
O trapezie \(KBCL\) wiemy, że jedna z jego podstaw ma długość \(a=3,2cm\), wysokość ma miarę \(h=7cm\), a pole tego trapezu jest równe \(P=14cm^2\). W związku z tym jeżeli podstawę \(KB\) oznaczymy sobie symbolem \(b\), to korzystając ze wzoru na pole trapezu możemy zapisać, że:
$$P=\frac{a+b}{2}\cdot h \\
14cm^2=\frac{3,2cm+b}{2}\cdot7cm \quad\bigg/:7cm \\
2cm^2=\frac{3,2cm+b}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
4cm^2=3,2cm+b \\
b=0,8cm$$

To oznacza, że odcinek \(KB\) ma miarę \(0,8cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy \(36\) osób rozdzielisz na poszczególne miesiące w taki sposób, że w każdym miesiącu są po \(3\) osoby i nie zapiszesz jakiegokolwiek wniosku końcowego.
ALBO
• Gdy \(36\) osób rozdzielisz na poszczególne miesiące w taki sposób, że w każdym miesiącu są po \(3\) osoby i przypiszesz trzydziestą siódmą osobę do konkretnego miesiąca (czyli np. założysz sztywno, że ta trzydziesta siódma osoba urodziła się w styczniu).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Rok ma \(12\) miesięcy. Gdyby nawet w każdym miesiącu urodziły się dokładnie trzy osoby, to łącznie otrzymalibyśmy liczbę \(3\cdot12=36\) uczniów. Na zajęcia sportowe zapisanych jest \(37\) uczniów, a to oznacza, że ten trzydziesty siódmy uczeń musi być przynajmniej tym czwartym, który urodził się w danym miesiącu.

To oznacza, że w grupie \(37\) osób muszą być przynajmniej cztery osoby, które urodziły się w danym miesiącu. Gdyby grupa liczyła maksymalnie \(36\) osób, to takiej pewności już byśmy nie mieli.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz wymiary nowego prostopadłościanu (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz ile klocków sześciennych trzeba dołożyć (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie wymiarów prostopadłościanu.
Na początku spróbujmy ustalić jakie to wymiary będzie mieć nasz nowo powstały prostopadłościan. Najlepiej będzie to widać na rysunku pomocniczym:


Po zsumowaniu odpowiednich długości widzimy wyraźnie, że nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(3cm\times3cm\times3cm\).

Krok 2. Ustalenie ile klocków sześciennych trzeba dołożyć.
Nasz prostopadłościan będzie mieć wymiary \(3cm\times3cm\times3cm\), czyli jego objętość będzie równa:
$$V=3cm\cdot3cm\cdot3cm \\
V=27cm^3$$

W tym prostopadłościanie znajdują się już cztery klocki o wymiarach \(2cm\times1cm\times1cm\), czyli ich łączna objętość jest równa:
$$V=4\cdot2cm\cdot1cm\cdot1cm \\
V=4\cdot2cm^3 \\
V=8cm^3$$

To oznacza, że do zapełnienia kostkami sześciennymi zostaje nam przestrzeń równa \(27cm^3-8cm^3=19cm^3\).

Sześcienne kostki, które mamy dołożyć, mają długość krawędzi równą \(1cm\). W związku z tym objętość każdego takiego klocka jest równa:
$$V=1cm\cdot1cm\cdot1cm \\
V=1cm^3$$

W związku z tym liczba klocków sześciennych, które musimy dołożyć będzie równa:
$$19cm^3:1cm^3=19$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób pozwalający na wyznaczenie długości boku kwadratu, korzystając z krótszego lub dłuższego boku (patrz: Krok 1. lub Krok 2.), ale samej długości nie wyznaczysz poprawnie (np. nie zaokrąglisz do \(3cm\), albo popełnisz błąd rachunkowy).
2 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób pozwalający na wyznaczenie długości boku kwadratu, korzystając z krótszego oraz dłuższego boku (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.), ale samej długości nie wyznaczysz poprawnie (np. nie zaokrąglisz do \(3cm\), albo popełnisz błąd rachunkowy).
ALBO
• Gdy całe zadanie obliczysz poprawnie, ale do obliczeń wykorzystasz tylko jeden z boków kartki (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.) i tym samym nie sprawdzisz, czy obliczone wymiary kwadratu pasują do drugiego boku prostokąta.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na krótszym boku).
Z rysunku wynika, że wzdłuż boku kartki o długości \(15cm\) Agata zmieściła \(3\) kwadraty. Sprawdźmy zatem jaka może być maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu (analizujemy przekątną, bo jest ona równoległa do boku kartki):
$$15cm:3=5cm$$

Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Ta zależność pozwoli nam obliczyć długość boku kwadratu, przyjmując przybliżenie \(\sqrt{2}\approx1,4\):
$$a\sqrt{2}=5cm \\
1,4a\approx5cm \\
a\approx3,57cm$$

Z treści zadania wynika, że długość boku kwadratu musi wyrażać się całkowitą liczbą centymetrów, zatem największy możliwy kwadrat jaki zmieści się wzdłuż krótszej krawędzi kartki może mieć bok o długości \(3cm\).

Krok 2. Obliczenie maksymalnej długości boku kwadratu (licząc kwadraty na dłuższym boku).
To jednak nie koniec zadania, bo choć owszem wzdłuż krótszej krawędzi zmieszczą się trzy kwadraty o boku długości \(3cm\), to nie mamy jeszcze pewności, czy z takimi wymiarami zmieszczą się cztery kwadraty wzdłuż dłuższej krawędzi kartki. Musimy zatem wykonać podobne obliczenia dla dłuższego boku kartki.

Z rysunku wynika, że wzdłuż dłuższego boku kartki o długości \(18cm\) Agata zmieściła \(4\) kwadraty, zatem maksymalna długość przekątnej takiego kwadratu wynosi:
$$18cm:4=4,5cm$$

I tu ponownie korzystając z własności przekątnych obliczymy, że bok kwadratu może mieć długość:
$$a\sqrt{2}=4,5cm \\
1,4a\approx4,5cm \\
a\approx3,21cm$$

Zgodnie z treścią zadania bok kwadratu ma mieć całkowitą liczbę centymetrów, czyli wzdłuż dłuższego boku kartki także zmieści się nam kwadrat o boku długości \(3cm\).

To oznacza, że maksymalna długość boku kwadratu wynosi \(3cm\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz liczbę głosów oddanych w wyborach (patrz: Krok 1.) albo przynajmniej podasz poprawny sposób na wykonanie takiego obliczenia.
ALBO
• Gdy przedstawisz sposób na obliczenie łącznej liczby głosów oddanych na Helenę i Grzegorza (patrz: Krok 2.), ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na jakieś błędy rachunkowe.
2 pkt
• Gdy przedstawisz poprawny sposób obliczenia głosów oddanych osobno na Helenę i Grzegorza (patrz: Krok 3.), ale otrzymany wynik będzie niepoprawny ze względu na jakieś błędy rachunkowe.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby osób głosujących.
Na samym początku obliczmy ile osób głosowało w wyborach. Dokonamy tego dzięki informacji, która mówi o tym, że \(9\) zdobytych głosów stanowi \(36\%\) wszystkich głosów. Skoro tak, to możemy ułożyć następującą proporcję:
Skoro \(9\) głosów stanowi \(36\%\) wszystkich głosów
To \(1\) głos stanowi \(4\%\) wszystkich głosów
Więc \(25\) głosów stanowi \(100\%\) wszystkich głosów

To oznacza, że w głosowaniu oddano \(25\) głosów.

Krok 2. Obliczenie liczby głosów oddanych łącznie na Helenę oraz Grzegorza.
Skoro na Jacka oddano \(9\) głosów, a wszystkich głosów było \(25\), to na Grzegorza i Helenę oddano łącznie \(25-9=16\) głosów.

Krok 3. Obliczenie liczby głosów oddanych oddzielnie na Helenę oraz Grzegorza.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia:
\(x\) - liczba głosów oddanych na Grzegorza
\(x+6\) - liczba głosów oddanych na Helenę

Wiemy też, że łącznie ta dwójka zebrała \(16\) głosów, zatem możemy ułożyć następujące równanie:
$$x+x+6=16 \\
2x+6=16 \\
2x=10 \\
x=5$$

Naszą niewiadomą \(x\) jest liczba głosów oddanych na Grzegorza, a to oznacza, że na Grzegorza oddano \(5\) głosów.
Musimy jeszcze policzyć liczbę głosów oddanych na Helenę, a skoro Helena zdobyła \(6\) głosów więcej od Grzegorza, to Helenę oddano \(5+6=11\) głosów.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia długości trasy przebytej pieszo (patrz: Krok 2.), ale otrzymasz błędny wynik.
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia długości trasy przebytej autobusem (patrz: Krok 2.), ale otrzymasz błędny wynik.
2 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny sposób obliczenia długości trasy przebytej pieszo oraz autobusem (patrz: Krok 2.), ale otrzymasz błędny wynik.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie kluczowych informacji z wykresu.
Musimy z podanego wykresu odczytać kluczowe informacje na temat czasu oraz prędkości poruszania się przez Anię. Wypisując te dane musimy pamiętać o tym, by ujednolicić sobie jednostki. Skoro prędkość mamy podaną w \(\frac{km}{h}\) to dobrze by było od razu zapisywać czas w przeliczeniu na godziny.

Trasę pokonaną przez Anię możemy podzielić na dwa etapy:
1. Pieszo z domu na przystanek (od godziny \(8{:}00\) do \(8{:}10\)):
Czas pokonania trasy: \(10\) minut, czyli \(t=\frac{1}{6}h\)
Prędkość: \(v=6\frac{km}{h}\)

2. Autobusem do babci (od godziny \(8{:}15\) do \(9{:}30\)):
Czas pokonania trasy: \(1\) godzina i \(15\) minut, czyli \(t=\frac{5}{4}h\)
Prędkość: \(v=60\frac{km}{h}\)

Czas oczekiwania na przystanku nie jest dla nas istotny, ponieważ w tym momencie Ania nie pokonywała żadnego dystansu.

Krok 2. Obliczenie długości pokonanej trasy.
Skorzystamy tutaj z klasycznego wzoru na prędkość \(v=\frac{s}{t}\). Przekształcając ten wzór otrzymamy wzór na drogę:
$$v=\frac{s}{t} \quad\bigg/\cdot t \\
s=vt$$

Teraz możemy obliczyć długości poszczególnych tras:
1. Pieszo z domu na przystanek:
$$s=vt \\
s=6\frac{km}{h}\cdot\frac{1}{6}h \\
s=1km$$

2. Autobusem do babci:
$$s=vt \\
s=60\frac{km}{h}\cdot\frac{5}{4}h \\
s=\frac{300}{4}km \\
s=75km$$

To oznacza, że łącznie Ania pokonała \(1km+75km=76km\).