Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=11,\;c=30\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Wykres będzie miał więc następującą postać:



Punkty \(x=-6\) oraz \(x=-5\) muszą mieć koniecznie zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesuje nas zbiór argumentów, dla których wartość funkcji kwadratowej jest mniejsza lub równa zero (czyli w których miejscach wykres funkcji jest pod osią \(Ox\) lub dokładnie na osi). Tym zbiorem jest oczywiście: \(x\in\langle-6;-5\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-5x-10=0 \\
x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\
(x+2)(x^2-5)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne.
$$x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które umożliwia obliczenie długości jednego z boków (patrz: Krok 2.), ale nie rozwiążesz tego równania do końca.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej.
Jeżeli przyjęlibyśmy, że przeciwprostokątna ma długość \(x\), to przyprostokątne mają długość \(x-1\) oraz \(x-32\). Warto też tutaj przyjąć sobie założenie, że długości boków nie mogą być mniejsze lub równe \(0\), a więc \(x\gt32\) (gdyby był mniejszy niż \(32\), to z równania \(x-32\) otrzymamy liczbę ujemną).

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(x-1)^2+(x-32)^2=x^2$$

Korzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia:
$$x^2-2x+1+x^2-64x+1024=x^2$$

Upraszczamy zapis i doprowadzamy go do postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie będziemy mieć zero (to pozwoli nam potem wyliczyć deltę):
$$2x^2-66x+1025=x^2 \quad\bigg/-x^2 \\
x^2-66x+1025=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego oraz obliczenie ostatecznej długości przeciwprostokątnej.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-66,\;c=1025\)
$$Δ=b^2-4ac=(-66)^2-4\cdot1\cdot1025=121-120=4356-4100=256 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)-16}{2\cdot1}=\frac{66-16}{2}=\frac{50}{2}=25 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)+16}{2\cdot1}=\frac{66+16}{2}=\frac{82}{2}=41$$

\(x_{1}\) możemy odrzucić, bo zgodnie z tym co napisaliśmy sobie w pierwszym kroku nasz \(x\) musi być większy niż \(32\). W przeciwnym wypadku długość przyprostokątnej byłaby równa \(25-32=-7\), a to na pewno jest nieprawda.

Krok 4. Obliczenie długości wszystkich boków tego trójkąta:
Przeciwprostokątna: \(41cm\)
Pierwsza przyprostokątna: \(x-1cm=41cm-1cm=40cm\)
Druga przyprostokątna: \(x-32cm=41cm-32cm=9cm\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąty \(APB\) oraz \(DPA\) są oparte na średnicach okręgów i przez to mają miarę \(90°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Analiza kątów \(APB\) oraz \(DPA\).
Połączmy sobie punkt \(P\) z punktami \(A\), \(B\) oraz \(D\), tworząc w ten sposób odcinki \(|PA|\), \(|PB|\) oraz \(|PD|\). Teraz musimy dostrzec, że kąty \(\sphericalangle APB\) oraz \(\sphericalangle DPA\) są oparte na średnicach okręgów, a to z kolei oznacza, że te dwa kąty mają na pewno miarę \(90°\).

Krok 2. Analiza kąta \(BPD\) i zakończenie dowodzenia.
Kąt \(BPD\) jest sumą kątów \(APB\) oraz \(DPA\), a więc ma miarę równą \(90°+90°=180°\). Skoro jest to kąt półpełny, to jego ramiona na pewno tworzą linię prostą, a to z kolei oznacza, że punkty \(B\), \(P\) oraz \(D\) na pewno leżą na jednej prostej.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\), \(b\), \(c\) oraz \(d\).
1 pkt
• Gdy poprawnie wymnożysz poszczególne wyrazy, zredukujesz i uprościsz zapisz (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie doprowadzisz zadania do końca (np. nie dostrzegajac, że można otrzymaną równość zapisać w formie wzorów skróconego mnożenia).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wnioskiem (patrz: Krok 3.)

Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$

Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2} \\
a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$

Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$

Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$

Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0 \\
(ad-bc)^2=0$$

Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{} \\
ad-bc=0 \\
ad=bc$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu liczby. (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby.
Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie.

Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby.
Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\).

Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:
$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz pojedyncze równania, które wykorzystuje jakieś własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego (patrz: Krok 1. lub Krok 2.), przez co zakończysz rozwiązywanie zadania z równaniem, które posiada dwie niewiadome.
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań, który pozwoli na wyznaczenie wartości niewiadomych \(x\) oraz \(y\) (patrz: Krok 3).
ALBO
• Gdy obliczysz iloraz ciągu geometrycznego.
3 pkt
• Gdy rozwiążesz powstałe równanie kwadratowe (patrz: Krok 4.), ale np. nie dokonasz weryfikacji wyników i nie odrzucisz błędnego rozwiązania
ALBO
• Gdy poprawnie wyznaczysz tylko jedną z niewiadomych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale uzyskasz błędną odpowiedź w wyniku błędów rachunkowych.
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale zapomnisz o zapisaniu ciągu geometrycznego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik oraz zapiszesz ciąg geometryczny.

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu arytmetycznego.
Drugi wyraz ciągu arytmetycznego obliczymy za pomocą średniej arytmetycznej wartości pierwszego i trzeciego wyrazu:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiamy \(a_{1}=1\), \(a_{2}=x\) oraz \(a_{3}=y-1\), otrzymując:
$$x=\frac{1+(y-1)}{2}=\frac{y}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Drugi wyraz ciągu geometrycznego wyliczymy ze wzoru:
$${a_{n}}^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1} \\
{a_{2}}^2=a_{2-1}\cdot a_{2+1} \\
{a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiamy \(a_{1}=x\), \(a_{2}=y\) oraz \(a_{3}=12\), otrzymując:
$$y^2=x\cdot12 \\
y^2=12x$$

Krok 3. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z otrzymanych w pierwszym i drugim kroku wyników możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x=\frac{y}{2} \\
y^2=12x
\end{cases}

Podstawiamy wartość \(x\) z pierwszego równania do drugiego, otrzymując:
$$y^2=12\cdot\frac{y}{2} \\
y^2=6y$$

Doprowadzamy równanie do postaci ogólnej, czyli takiej by po prawej stronie zostało nam zero (jest to potrzebne aby wyliczyć deltę):
$$y^2-6y=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-6,\;c=0\)
$$Δ=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot0=36-0=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$

$$y_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-6}{2\cdot1}=\frac{6-6}{2}=0 \\
y_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+6}{2\cdot1}=\frac{6+6}{2}=6$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(x\).
Wyszło nam przed chwilą, że wartość \(y\) może przybrać więc dwie możliwości: \(0\) lub \(6\). Musimy jeszcze obliczyć wartość \(x\).

Skoro \(x=\frac{y}{2}\) to:
$$x=\frac{0}{2} \quad\lor\quad x=\frac{6}{2} \\
x=0 \quad\lor\quad x=3$$

Powstały nam więc dwie pary rozwiązań:
$$x=0,\quad y=0 \\
x=3,\quad y=6$$

Krok 6. Weryfikacja otrzymanych wyników i podanie ciągu geometrycznego.
Ciąg geometryczny ma postać \((x,\;y,\;12)\). Podstawiając do niego obliczone przed chwilą wartości otrzymamy, że jest to albo ciąg \((0,\;0,\;12)\), albo \((3,\;6,\;12)\). Pierwszy wariant musimy odrzucić, bo nie jest to ciąg geometryczny. Drugi ciąg jak najbardziej jest geometryczny (każdy kolejny wyraz jest dwukrotnie większy), tak więc to jest nasza szukana odpowiedź.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AB\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(CD\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 4.)
ALBO
• Gdy zastosujesz Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta \(CDB\) albo zapiszesz inne równanie w którym jedyną niewiadomą pozostanie poszukiwana długość odcinka \(BD\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i określenie danych potrzebnych do rozwiązania zadania.
Nie musimy dokładnie zaznaczać wszystkiego na układzie współrzędnych, ale dobrze jest chociaż poglądowo narysować sobie ułożenie tego trójkąta, dzięki czemu łatwiej nam będzie wykonać późniejsze obliczenia.



Znamy współrzędne punktów \(A\), \(B\) oraz \(C\), więc za pomocą wzoru moglibyśmy obliczyć równanie każdej prostej, która przechodzi przez dwa wybrane przez nas punkty. Gdybyśmy znali wzory prostych \(AB\) oraz \(CD\) i stworzyli z nich układ równań, to wynik jaki byśmy otrzymali byłby punktem przecięcia się tych prostych, a więc byłyby to współrzędne punktu \(D\), którego nam brakuje.

Ustalmy więc teraz jak wyznaczyć wzory prostych \(AB\) oraz \(CD\).
• Wzór na prostą \(AB\) wyznaczymy tworząc bardzo prosty układ równań składający się z dwóch równań funkcji \(y=ax+b\), gdzie w pierwszym równaniu za \(x\) oraz \(y\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a w drugim równaniu współrzędne punktu \(B\). Ewentualnie moglibyśmy skorzystać ze wzoru na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, który znajduje się w tablicach.
• Wzór na prostą \(CD\) wyznaczymy korzystając z tego, że jest to prosta prostopadła do prostej \(AB\), a więc iloczyn współczynników prostych \(CD\) oraz \(AB\) będzie musiał być równy \(-1\).

Po ustaleniu współrzędnych punktu \(D\) bez problemu obliczymy długość odcinka \(BD\) ze wzoru:
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2}$$

Teraz czas na obliczenia tych elementów, które wypisaliśmy sobie w naszym planie działania.

Krok 2. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) oraz \(B\).
Pod ogólny wzór funkcji \(y=ax+b\) podstawiamy współrzędne punktu \(A\) oraz \(B\), tworząc układ równań:
\begin{cases}
5=a+b \\
31=14a+b
\end{cases}

Aby rozwiązać ten układ równań najprościej jest odjąć pierwsze równanie od drugiego, albo też do drugiego równania podstawić wartość \(b=5-a\) wynikającą z pierwszego równania. W obydwu przypadkach dojdziemy do tego, że \(13a=26\), więc \(a=2\).

Bez problemu wyliczymy także współczynnik \(b\), korzystając chociażby z równania \(b=5-a\), a więc \(b=5-2=3\).

Wyszło nam, że wzór funkcji przechodzącej przez nasze punkty \(A\) oraz \(B\) to \(y=2x+3\).

Krok 3. Wyznaczenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(C\) oraz \(D\).
Ustaliliśmy już, że prosta \(CD\) będzie prostopadła do prostej \(AB\). To oznacza, że iloczyn ich współczynników \(a\) będzie równy \(-1\). Skoro współczynnik \(a\) prostej \(AB\) był równy \(2\), to współczynnik \(a\) prostej \(CD\) będzie równy:
$$a\cdot2=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wzór prostej \(CD\) ma więc postać \(y=-\frac{1}{2}x+b\).

Musimy jeszcze obliczyć współczynnik \(b\), a zrobimy to podstawiając do wzoru funkcji współrzędne punktu \(C=(4,31)\), stąd też:
$$31=-\frac{1}{2}\cdot4+b \\
31=-2+b \\
b=33$$

W związku z tym prosta \(CD\) wyraża się równaniem \(y=-\frac{1}{2}x+33\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Musimy teraz wyznaczyć współrzędne punktu \(D\), a zrobimy to korzystając z tego, że proste \(AB\) oraz \(CD\) przecinają się w punkcie \(D\). Współrzędne punktu \(D\) otrzymamy więc rozwiązując prosty układ równań, który składa się z równań prostych \(AB\) oraz \(CD\):
\begin{cases}
y=2x+3 \\
y=-\frac{1}{2}x+33
\end{cases}

Metodą podstawiania podstawiamy za \(y\) wartość z pierwszego równania do drugiego i otrzymujemy równanie:
$$2x+3=-\frac{1}{2}x+33 \\
2\frac{1}{2}x=30 \\
x=12$$

Obliczmy jeszcze współrzędną \(y\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot12+3 \\
y=27$$

W ten sposób wyznaczyliśmy współrzędne punktu \(D=(12;27)\).

Krok 5. Wyznaczenie długości odcinka \(|BD|\).
Z tablic maturalnych możemy odczytać wzór na długość odcinka (a w zasadzie na odległość między dwoma punktami), dzięki któremu po podstawieniu odpowiednich współrzędnych wyznaczymy długość odcinka \(BD\):
$$|BD|=\sqrt{(x_{D}-x_{B})^2+(y_{D}-y_{B})^2} \\
|BD|=\sqrt{(12-14)^2+(27-31)^2} \\
|BD|=\sqrt{4+16} \\
|BD|=\sqrt{20} \\
|BD|=2\sqrt{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego i nie utworzysz z nich pary rozwiązań.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.

Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$

Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2} \\
\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2} \\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$

Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
v_{1}=v_{2}-17 \\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}
\end{cases}

Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17) \\
174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100 \\
{v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-143,\;c=5100\)
$$Δ=b^2-4ac=(-143)^2-4\cdot1\cdot5100=20449-20400=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$v_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)-7}{2\cdot1}=\frac{143-7}{2}=\frac{136}{2}=68 \\
\text{lub}\\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)+7}{2\cdot1}=\frac{143+7}{2}=\frac{150}{2}=75$$

Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)

Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.