Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe (patrz: Krok 2.), a w dalszej części zadania popełnisz błędy.
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić tę nierówność do postaci ogólnej, zatem:
$$4x^2-12x+9-4\ge0 \\
4x^2-12x+5\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-12,\;c=5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot4\cdot5=144-80=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-8}{2\cdot4}=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+8}{2\cdot4}=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=2\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=\frac{1}{2}\) oraz \(x=2\frac{1}{2}\) (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe lub równe zero, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią (wraz z zamalowanymi kropkami). To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;\frac{1}{2}\rangle\cup\langle2\frac{1}{2};+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.) oraz tangensa (patrz: Krok 2.), ale błędnie wyliczysz wartość wyrażenia.
ALBO
• Gdy obliczysz wartość sinusa (patrz: Krok 1.), ale błędnie obliczysz wartość tangensa (patrz: Krok 2.) i konsekwentnie do tego błędu niepoprawnie obliczysz wartość wyrażenia.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Z treści zadania wynika, że \(cosα=\frac{2}{3}\), w związku z tym:
$$sin^2α+\left(\frac{2}{3}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{4}{9}=1 \\
sin^2α=\frac{5}{9} \\
sinα=\sqrt{\frac{5}{9}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{5}{9}}$$

Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo kąt \(α\) jest ostry, a dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(\sqrt{\frac{5}{9}}\). Możemy jeszcze ten zapis uprościć do postaci \(sinα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) i znając wartość sinusa oraz cosinusa możemy bez obliczyć, że:
$$tgα=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}:\frac{2}{3} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie wartości wyrażenia.
Znając wartość tangensa możemy już bez problemu obliczyć wartość wyrażenia z treści zadania:
$$\sqrt{tg^2α+1}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2+1}=\sqrt{\frac{5}{4}+1}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Na początek musimy ustalić ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od \(30\), czyli tak naprawdę ile jest liczb od \(10\) do \(29\) włącznie. Takich liczb jest dokładnie \(20\). Będziemy losować dwie liczby (bez zwracania), zatem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć:
$$|Ω|=20\cdot19=380$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Interesują nas takie pary wyników, w których obie wylosowane liczby są podzielne przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\), to suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez \(3\). W naszym zestawie będą to liczby:
$$12,15,18,21,24,27$$

Widzimy, że jest to \(6\) różnych liczb. Zgodnie z regułą mnożenia, skoro losowanie jest bez zwracania, to takich par w których jedna i druga liczba są podzielne przez \(3\), uda nam się utworzyć:
$$|A|=6\cdot5=30$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{30}{380}=\frac{3}{38}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu (patrz: Krok 1.) oraz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy przy wyliczaniu różnicy ciągu lub wartości pierwszego wyrazu (patrz: Krok 1. oraz Krok 2.) i konsekwentnie do tego błędu otrzymasz niepoprawny wynik końcowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu.
Ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego wiemy, że:
$$a_{5}=a_{2}+3r$$

Znając wartości \(a_{2}\) oraz \(a_{5}\) możemy obliczyć różnicę ciągu, zatem:
$$7=-2+3r \\
9=3r \\
r=3$$

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Nie mamy wzoru na obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego. Powinniśmy jednak zauważyć, że to czego szukamy da się obliczyć nieco sprytniej. Wystarczy policzyć ile to jest \(S_{20}\) i odjąć od tego \(S_{4}\). Do jednego i drugiego wzoru przyda nam się poznanie wartości \(a_{1}\), zatem policzmy ją teraz. Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i informacji o tym, że przykładowo \(a_{2}=-2\) oraz \(r=3\). Otrzymamy zatem:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{1}=a_{2}-r \\
a_{1}=-2-3 \\
a_{1}=-5$$

Krok 3. Obliczenie sumy czterech pierwszych wyrazów tego ciągu.
Zgodnie z przyjętą strategią musimy obliczyć wartość \(S_{4}\), zatem podstawiając \(a_{1}=-5\) oraz \(n=4\) do wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów otrzymamy:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{4}=\frac{2\cdot(-5)+(4-1)\cdot3}{2}\cdot4 \\
S_{4}=\frac{-10+3\cdot3}{2}\cdot4 \\
S_{4}=\frac{-10+9}{2}\cdot4 \\
S_{4}=-\frac{1}{2}\cdot4 \\
S_{4}=-2$$

Krok 4. Obliczenie sumy dwudziestu pierwszych wyrazów tego ciągu.
Analogicznie jak w poprzednim kroku, tym razem obliczymy \(S_{20}\), zatem:
$$S_{20}=\frac{2\cdot(-5)+(20-1)\cdot3}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{-10+19\cdot3}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{-10+57}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20 \\
S_{20}=\frac{47}{2}\cdot20 \\
S_{20}=470$$

Krok 5. Obliczenie sumy wyrazów od piątego do dwudziestego.
Na sam koniec musimy już tylko od \(S_{20}\) odjąć wartość \(S_{4}\) i otrzymamy to czego szukamy:
$$S_{5-20}=S_{20}-S_{4} \\
S_{5-20}=470-(-2) \\
S_{5-20}=472$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci \((3x+1)^2\ge0\) lub \(\frac{(3x+1)^2}{x}\ge0\), ale nie wyciągniesz żadnego wniosku.
ALBO
• Gdy mając postać \(9x^2+6x+1\ge0\) obliczysz, że delta jest równa \(0\) lub obliczysz współrzędne wierzchołka paraboli \(W=\left(-\frac{1}{3};0\right)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Skoro \(x\) ma być liczbą ujemną, to możemy pomnożyć obydwie strony tej nierówności przez \(x\), pamiętając jednak o tym, żeby zmienić w takiej sytuacji znak na przeciwny. To w zasadzie jest kluczowa pułapka w tym zadaniu. Na sam koniec otrzymane wyrażenie będziemy musieli "zwinąć" korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Całość będzie wyglądać następująco:
$$9x+\frac{1}{x}\le-6 \quad\bigg/\cdot x \\
9x^2+1\ge-6x \\
9x^2+6x+1\ge0 \\
(3x+1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik większy lub równy \(0\), to dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz pola trójkątów \(ABP\) oraz \(DEP\) w zależności od długości boku kwadratu (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Wprowadźmy do zadania następujące oznaczenia:
\(a\) - bok kwadratu
\(h_{1}\) - wysokość trójkąta \(ABP\)
\(h_{2}\) - wysokość trójkąta \(DEP\)

Co więcej, możemy zauważyć, że \(h_{1}+h_{2}=a\).

Powinniśmy też dostrzec, że trójkąty \(ABP\) oraz \(DEP\) są trójkątami podobnymi zgodnie z cechą kąt-kąt-kąt (bardzo podobna sytuacja ma miejsce w trapezach).


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.
Jesteśmy w stanie obliczyć skalę podobieństwa tych trójkątów, bowiem podstawa trójkąta \(ABP\) ma długość \(a\), natomiast podstawa trójkąta \(DEP\) ma długość \(\frac{1}{2}a\). Jeżeli więc potraktujemy mniejszy trójkąt \(DEP\) jako podstawowy, a większy \(ABP\) jako podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=2\).

Oczywiście moglibyśmy też potraktować duży trójkąt jako podstawowy, a mały jako podobny - wtedy skala podobieństwa byłaby równa \(k=\frac{1}{2}\). Dla końcowych wyników nie będzie to miało znaczenia, tylko konsekwentnie musielibyśmy się trzymać tego jaki trójkąt jest podstawowy, a jaki podobny.

Krok 3. Zapisanie pól trójkątów i zakończenie dowodzenia.
Skoro skala podobieństwa jest równa \(k=2\), to \(h_{1}\) jest dwukrotnie większe od \(h_{2}\). Wiemy też, że \(h_{1}+h_{2}=a\), czyli moglibyśmy zapisać, że:
$$h_{1}=\frac{2}{3}a \\
h_{2}=\frac{1}{3}a$$

Dodatkowo wiemy, że duży trójkąt ma podstawę równą \(a\), natomiast mały ma podstawę równą \(\frac{1}{2}a\). Możemy więc zapisać, że:
$$P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{1} \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{2}{3}a \\
P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{2}{3}a \\
P_{ABP}=\frac{2}{6}a^2 \\
P_{ABP}=\frac{1}{3}a^2 \\
\text{oraz} \\
P_{DEP}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot h_{2} \\
P_{DEP}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{3}a \\
P_{DEP}=\frac{1}{12}a^2$$

To oznacza, że:
$$P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{12}a^2 \\
P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{4}{12}a^2+\frac{1}{12}a^2 \\
P_{ABP}+P_{DEP}=\frac{5}{12}a^2$$

Skoro pole kwadratu jest równe \(a^2\) to nasze dowodzenie można uznać za zakończone, bowiem suma pól tych dwóch trójkątów faktycznie jest równa \(\frac{5}{12}\) pola kwadratu.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że funkcja przechodzi przez punkt \(A=(2;-4)\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie podstawisz współrzędne punktu \(A\) do postaci kanonicznej (patrz: Krok 3.), ale popełnisz później błąd rachunkowy lub też nie przekształcisz wzoru do postaci ogólnej.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru w postaci kanonicznej.
Współrzędne wierzchołka paraboli związane są z postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, czyli postacią \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Skoro więc \(W=(-1,5)\), to możemy zapisać, że:
$$f(x)=a(x-(-1))^2+5 \\
f(x)=a(x+1)^2+5$$

Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(a\) i właśnie teraz spróbujemy ją wyznaczyć.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na podstawie informacji o tym, że w przedziale \(\langle-2,2\rangle\) funkcja osiąga najmniejszą wartość równą \(-4\) musimy wyciągnąć bardzo ważny, choć nieoczywisty wniosek. Wnioskiem do którego powinniśmy dojść jest to, że parabola tej funkcji ma ramiona skierowane do dołu. Skąd to wiemy? W przedziale \(\langle-2,2\rangle\) mieści się nasz wierzchołek, bo przecież \(p=-1\). Gdyby więc ta funkcja miała ramiona skierowane do góry, to ta najmniejsza wartość na pewno byłaby przyjmowana właśnie w wierzchołku, a wiemy że tak nie jest, bo w wierzchołku wartość funkcji jest równa \(5\). Sytuacja z treści zadania wygląda więc następująco:


Ale to nie koniec ważnych wniosków. Wartość funkcji w danym przedziale jest najmniejsza (lub największa) na krańcach przedziału lub w wierzchołku. Wierzchołek z tych rozważań już odrzuciliśmy, bo tutaj funkcja przyjmuje największą wartość. To oznacza, że funkcja przyjmuje wartość równą \(-4\) dla jednego z dwóch argumentów: albo dla \(x=-2\), albo dla \(x=2\). Właśnie z rysunku powinniśmy odczytać i wywnioskować, że ta wartość będzie przyjmowana dla argumentu \(x=2\), bo jest to miejsce bardziej oddalone od wierzchołka. To z kolei prowadzi nas do kluczowej informacji, dzięki której będziemy mogli policzyć brakujący współczynnik \(a\) - nasza funkcja przechodzi przez punkt o współrzędnych \(A=(2;-4)\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\).
Wiemy już, że wzór funkcji w postaci kanonicznej przybiera postać \(f(x)=a(x+1)^2+5\). Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktu \(A=(2;-4)\) obliczymy brakujący współczynnik \(a\):
$$f(x)=a(x+1)^2+5 \\
-4=a\cdot(2+1)^2+5 \\
-4=a\cdot3^2+5 \\
-4=9a+5 \\
9a=-9 \\
a=-1$$

To oznacza, że nasza funkcja w postaci kanonicznej wygląda następująco: \(f(x)=-1(x+1)^2+5\), czyli po prostu \(f(x)=-(x+1)^2+5\)

Krok 4. Przekształcenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.
Na sam koniec musimy przekształcić wzór z postaci kierunkowej do postaci ogólnej, a osiągniemy to wykonując potęgowanie, które znalazło się we wzorze:
$$f(x)=-(x+1)^2+5 \\
f(x)=-(x^2+2x+1)+5 \\
f(x)=-x^2-2x-1+5 \\
f(x)=-x^2-2x+4$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 4.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 2.), gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz równanie prostej \(CD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(C\) jako \(C=(x;-x+7)\) i podstawisz je poprawnie do wzoru na długość odcinka (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz równanie kwadratowe z którego otrzymasz dwie współrzędne \(x\) punktu \(C\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy otrzymany końcowy wynik jest niepoprawny ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Cała sytuacja w układzie współrzędnych będzie wyglądać następująco:


Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Skoro trójkąt jest równoramienny, to wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na dwie równe części. To oznacza, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). My znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), zatem korzystając ze wzoru na środek odcinka możemy zapisać, że:
$$D=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \\
D=\left(\frac{2+6}{2};\frac{1+5}{2}\right) \\
D=\left(\frac{8}{2};\frac{6}{2}\right) \\
D=(4;3)$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\).
Potrzebujemy poznać wartość współczynnika kierunkowego prostej \(AB\), bowiem przyda nam się on do wyznaczenia prostej prostopadłej \(CD\). Znając współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\) możemy wyznaczyć nawet cały wzór prostej \(AB\) (korzystając z długiego wzoru z tablic lub z metody układu równań). Mimo wszystko nam wystarczy poznanie jedynie współczynnika kierunkowego prostej \(AB\), a osiągniemy to za pomocą prostego sprytnego wzoru:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} \\
a=\frac{5-1}{6-2} \\
a=\frac{4}{4} \\
a=1$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(CD\).
Prosta \(CD\) jest prostopadła do prostej \(AB\). Wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AB\) ma ten współczynnik równy \(a=1\), to prosta \(CD\) będzie mieć współczynnik \(a=-1\), bowiem \(-1\cdot1=1\). Skoro tak, to już wiemy, że prosta \(CD\) będzie wyrażać się wzorem \(y=-1x+b\), czyli \(y=-x+b\). Musimy jeszcze tylko wyznaczyć wartość współczynnika \(b\), a zrobimy to podstawiając do tej postaci współrzędne punktu \(D=(4;3)\):
$$y=-x+b \\
3=-4+b \\
b=7$$

Współczynnik \(b\) wyszedł równy \(7\), a to oznacza, że prosta \(CD\) wyraża się wzorem \(y=-x+7\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Z treści zadania wiemy, że \(|CD|=\frac{7\sqrt{2}}{2}\), zatem korzystając ze wzoru na długość odcinka możemy zapisać, że:
$$|CD|=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2} \\
\frac{7\sqrt{2}}{2}=\sqrt{(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2} \quad\bigg/^{2} \\
\frac{49}{2}=(x_{D}-x_{C})^2+(y_{D}-y_{C})^2$$

Wiemy, że prosta \(y=-x+7\) przechodzi przez nasz punkt \(C\). To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) moglibyśmy zapisać jako \(C=(x;y)\), czyli \(C=(x;-x+7)\). Teraz podstawiając do powyższego wzoru współrzędne \(C=(x;-x+7)\) oraz \(D=(4;3)\) otrzymamy:
$$\frac{49}{2}=(4-x)^2+(3-(-x+7))^2 \\
\frac{49}{2}=(4-x)^2+(3-(-x+7))^2 \\
\frac{49}{2}=(4-x)^2+(3+x-7)^2 \\
\frac{49}{2}=(4-x)^2+(x-4)^2$$

I tu się na chwilę zatrzymamy. Moglibyśmy dostrzec, że prawą stronę równania da się zapisać jako \(2\cdot(x-4)^2\), przez co otrzymalibyśmy:
$$2\cdot(x-4)^2=\frac{49}{2} \\
(x-4)^2=\frac{49}{4}$$

W takiej sytuacji moglibyśmy sprytnie zapisać, że:
$$x-4=\frac{7}{2} \quad\lor\quad x-4=-\frac{7}{2} \\
x=7\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=\frac{1}{2}$$

Jednak nie ma co się oszukiwać, z takiego sposobu rozwiązywania rzadko kiedy korzystamy na matematyce, wiele osób nawet go nie kojarzy, no i łatwo tu też o pomyłkę kiedy brakuje nam wprawy. Z tego też względu mając postać \(\frac{49}{2}=(4-x)^2+(x-4)^2\) możemy po prostu wykonać pojawiające się potęgowanie, a rozwiązanie równania obliczymy z użyciem standardowej delty:
$$\frac{49}{2}=(4-x)^2+(x-4)^2 \\
\frac{49}{2}=16-8x+x^2+x^2-8x+16 \\
\frac{49}{2}=2x^2-16x+32 \\
2x^2-16x+7\frac{1}{2}=0 \quad\bigg/\cdot2 \\
4x^2-32x+15=0$$

Współczynniki: \(a=4,\;b=-32,\;c=15\)
$$Δ=b^2-4ac=(-32)^2-4\cdot4\cdot15=1024-240=784 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{784}=28$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-32)-28}{2\cdot4}=\frac{32-28}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-32)+28}{2\cdot4}=\frac{32+28}{8}=\frac{60}{8}=7\frac{1}{2}$$

Po dość długich obliczeniach wyszło nam że współrzędna iksowa punktu \(C\) jest równa \(x=\frac{1}{2}\) lub też \(x=7\frac{1}{2}\). Sprawdźmy zatem jakie współrzędne igrekowe otrzymamy dla każdego z tych argumentów:
Gdy \(x=\frac{1}{2}\), to:
$$y=-x+7 \\
y=-\frac{1}{2}+7 \\
y=6\frac{1}{2}$$

Gdy \(x=7\frac{1}{2}\), to:
$$y=-x+7 \\
y=-7\frac{1}{2}+7 \\
y=-\frac{1}{2}$$

Z treści zadania wynika, że obydwie współrzędne punktu \(C\) muszą być dodatnie, zatem ten drugi wariant musimy odrzucić, bo tam wyszło nam \(y=-\frac{1}{2}\). To oznacza, że mamy tylko jedną prawidłową odpowiedź do tego zadania i będzie to \(C=\left(\frac{1}{2};6\frac{1}{2}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wysokością ściany bocznej i krawędzią podstawy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość wysokości ściany bocznej (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy wskazany ostrosłup, nanosząc na niego dane z treści zadania (w szczególności kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy). Warto tutaj od razu pamiętać, że skoro ostrosłup jest prawidłowy czworokątny, to w podstawie będziemy mieć kwadrat.


Krok 2. Zapisanie zależności między wysokością ściany bocznej i krawędzią podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OES\). Dolna przyprostokątna ma długość \(\frac{1}{2}a\), natomiast przeciwprostokątna to wysokość ściany bocznej. Stosunek długości tych dwóch boków opisuje nam właśnie cosinus kąta \(α\), który jest równy \(\frac{1}{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$cosα=\frac{\frac{1}{2}a}{h_{b}} \\
\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}a}{h_{b}} \quad\bigg/\cdot h_{b} \\
\frac{1}{3}h_{b}=\frac{1}{2}a \quad\bigg/\cdot3 \\
h_{b}=\frac{3}{2}a$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h_{b}\), która ja już ustaliliśmy jest równa \(\frac{3}{2}a\). Skoro pole tego trójkąta jest równe \(12\), to:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{b} \\
12=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{3}{2}a \\
12=\frac{3}{4}a^2 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{3} \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 4. Wyznaczenie długości wysokości ściany bocznej.
Wiemy już, że \(h_{b}=\frac{3}{2}\). Skoro więc \(a=4\), to:
$$h_{b}=\frac{3}{2}\cdot4 \\
h_{b}=6$$

Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy ponownie na trójkąt \(OES\). Odcinek \(AB\) ma długość \(\frac{1}{2}a\), czyli \(|AB|=2\). Wiemy też, że przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość równą \(6\). W związku z tym korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć brakującą wysokość całego ostrosłupa:
$$2^2+H^2=6^2 \\
4+H^2=36 \\
H^2=32 \\
H=\sqrt{32} \quad\lor\quad H=-\sqrt{32}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia. To oznacza, że \(H=\sqrt{32}\), co po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka możemy jeszcze zapisać jako \(H=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}\).

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mając długość krawędzi podstawy \(a=4\) oraz wysokość bryły \(H=4\sqrt{2}\) możemy bez przeszkód obliczyć objętość ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}a^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot4^2\cdot4\sqrt{2} \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot4\sqrt{2} \\
V=21\frac{1}{3}\sqrt{2}$$