Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Aby móc rozpocząć rozwiązywanie nierówności metodą delty musimy koniecznie po prawej stronie mieć zero. Przenosimy więc wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności (uważając na znaki!):
$$3x^2-9x\le x-3 \\
3x^2-9x-(x-3)\le0 \\
3x^2-9x-x+3\le0 \\
3x^2-10x+3\le0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=3,\;b=-10,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze, bo mamy dodatni współczynnik \(a=3\). Zaznaczamy na osi obliczone przed chwilą miejsca zerowe (z zamalowanymi kropkami, bo wystąpił znak \(\le\)) i szkicujemy parabolę:



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero, a więc interesującym nas przedziałem będzie \(x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz, że rozwiązaniem równania jest \(x=0\) (patrz: Krok 1.), ale nie rozwiążesz równania kwadratowego lub nie zinterpretujesz otrzymanej ujemnej delty.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie rozwiązań równania.
Równanie mamy przedstawione w postaci iloczynowej, tak więc aby wyznaczyć jego rozwiązania musimy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera:
$$x(x^2-2x+3)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x^2-2x+3=0$$

Krok 2. Obliczenie powstałej równości kwadratowej za pomocą delty.
Aby poznać rozwiązania z drugiej części naszego równania \((x^2-2x+3=0)\) musimy skorzystać z metody delty, tak więc:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanych wyników.
Skoro delta wyszła nam ujemna, to znaczy że z tej części równania nie mamy żadnych rozwiązań. Nie oznacza to jednak, że całe równanie nie ma rozwiązań, bo rozwiązanie \(x=0\) obliczone w pierwszym kroku jest nadal aktualne i jest to jednocześnie jedyne rozwiązanie naszego równania.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że kąty \(ADB\) oraz \(ACB\) są kątami prostymi i dostrzeżesz, że można skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że trójkąty \(ABC\) i \(ABD\) są prostokątne. Skąd to wiemy? Obydwa trójkąty wyznaczone przez przekątne czworokąta są oparte na średnicy okręgu, a z własności figur w okręgach wiemy, że to jest równoznaczne z tym że dany trójkąt jest prostokątny. Tak więc:
$$\sphericalangle ADB|=|\sphericalangle ACB|=90°$$

Skoro są to trójkąty prostokątne to do udowodnienia tezy zawartej w zadaniu możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, tworząc prosty układ równań:
\begin{cases}
\text{Trójkąt }ABD: |AD|^2+|BD|^2=|AB|^2 \\
\text{Trójkąt }ABC: |BC|^2+|AC|^2=|AB|^2
\end{cases}

Po prawej stronie tych dwóch równań mamy wartość \(|AB|^2\), więc korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$|AD|^2+|BD|^2=|BC|^2+|AC|^2$$

Co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wskazaną nierówność do postaci typu \((x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0\), ale nie wyciągniesz z tego wyniku wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

W udowodnieniu prawidłowości tej nierówności najbardziej przeszkadza nam wyraz \(-4xy\). Gdyby nie on, to mielibyśmy pewność, że to wyrażenie jest większe od zera, bo suma potęg na pewno jest wartością nieujemną. Spróbujmy więc rozbić ten wielomian w taki sposób, by móc zastosować wzory skróconego mnożenia, które "wciągną" nam ten znak minusa. Tak naprawdę można to zrobić na kilka sposobów, a jednym z nich jest:
$$3x^2+5y^2-4xy\ge0 \\
2x^2+x^2+4y^2+y^2-4xy\ge0 \\
x^2-4xy+4y^2+2x^2+y^2\ge0 \\
(x-2y)^2+2x^2+y^2\ge0$$

Po prawej stronie otrzymaliśmy sumę trzech kwadratów. Każdy ze składników tego dodawania jest na pewno nieujemny, bo dowolna liczba podniesiona da wynik większy lub równy zero. To oznacza, że dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(f(x)=a(x+3)^2+4\) (patrz: Krok 2.) lub \(f(x)=ax^2+6ax+9a+4\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Bardzo ważną informacją jest to, że dla \(x=-3\) funkcja przyjmuje wartość \(y=4\), która jest jednocześnie najwyższą wartością tej funkcji. Krótko mówiąc - jest to po prostu wierzchołek paraboli. Tak więc \(W=(-3;4)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej.
Znając współrzędne wierzchołka możemy zapisać wzór funkcji kwadratowej w następującej postaci:
$$f(x)=a(x-p)^2+q$$

gdzie \(p\) i \(q\) są współrzędnymi wierzchołka paraboli.

Tak więc nasza funkcja przyjmuje wzór:
$$f(x)=a(x-(-3))^2+4 \\
f(x)=a(x+3)^2+4$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\) i ostatecznego wzoru funkcji.
Znamy już prawie pełny wzór naszej funkcji, brakuje nam jeszcze współczynnika \(a\).

Tak na marginesie, to jeśli dobrze sobie wyobrazimy tę sytuację, to już powinniśmy wiedzieć, że na pewno będzie on ujemny. Skąd to wiadomo? Skoro funkcja przyjmuje najwyższe wartości w swoim wierzchołku to jej ramiona muszą być skierowane do dołu, a więc \(a\lt0\). Gdyby ramiona były skierowane do góry, to najwyższą wartością byłoby \(+\infty\).

Do obliczenia wartości współczynnika \(a\) wykorzystamy punkt \(A=(-1,3)\), który należy do wykresu tej funkcji. Podstawiamy jego współrzędne do wzoru wyznaczonego w poprzednim kroku i otrzymujemy:
$$f(x)=a(x+3)^2+4 \\
3=a(-1+3)^2+4 \\
-1=a\cdot2^2 \\
-1=4a \\
a=-\frac{1}{4}$$

Poszukiwanym wzorem funkcji kwadratowej jest więc \(f(x)=-\frac{1}{4}(x+3)^2+4\).

Oczywiście moglibyśmy jeszcze wykonać potęgowanie (choć nie jest to już konieczne) i wtedy otrzymalibyśmy postać ogólną:
$$f(x)=-\frac{1}{4}(x^2+6x+9)+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{6}{4}x-\frac{9}{4}+4 \\
f(x)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru liczb dwucyfrowych. Z racji tego, że liczb dwucyfrowych jest \(90\), to \(|Ω|=90\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym będą liczby podzielne przez \(8\) oraz \(12\). Musimy więc je sobie wypisać i policzyć ile ich tak naprawdę jest.

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(8\) to:
$$16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96$$

Łącznie takich liczb jest \(11\).

Liczby dwucyfrowe podzielne przez \(12\) to:
$$12,\color{blue}{24},36,\color{blue}{48},60,\color{blue}{72},84,\color{blue}{96}$$

Łącznie takich liczb jest \(8\).

Ale to nie koniec określania liczby zdarzeń sprzyjających. Część z tych liczb się powtarza (to te liczby zaznaczone na niebiesko), więc gdybyśmy dodali do siebie \(11+8=19\) to otrzymalibyśmy błędny wynik. Musimy odrzucić te liczby zaznaczone na niebiesko i tym samym otrzymujemy \(|A|=11+4=15\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy rozpiszesz wzory na poszczególne wyrazy ciągu arytmetycznego, gdzie niewiadomą jest jedynie różnica ciągu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego w zależności od \(a_{5}\), czyli \(a_{1}=a_{5}-4r\), \(a_{3}=a_{5}-2r\) oraz \(a_{13}=a_{5}+8r\)
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci np. \(36r^2-144r=0\) (patrz: Krok 3.) lub \((18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r)\).
3 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=4\) lub \(r=0\) i rozwiązując zadanie dalej nie odrzucisz \(r=0\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wartość pierwszego wyrazu ciągu, czyli \(a_{1}=2\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.
Skorzystamy tutaj z informacji, która mówi nam że piąty wyraz tego ciągu jest równy \(18\). Dzięki niej spróbujemy zapisać jaka relacja zachodzi między pierwszym wyrazem ciągu i różnicą \(r\).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\
18=a_{1}+4r \\
a_{1}=18-4r$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości trzeciego i trzynastego wyrazu.
Pod wzory ogólne na trzeci i trzynasty wyraz możemy teraz podstawić \(a_{1}=18-4r\), otrzymując w ten sposób:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=18-4r+2r \\
a_{3}=18-2r \\
\text{oraz} \\
a_{13}=a_{1}+12r \\
a_{13}=18-4r+12r \\
a_{13}=18+8r$$

W ten sposób pozbyliśmy się we wzorach wartości \(a_{1}\) i dalej będziemy mogli tworzyć równania już tylko z jedną niewiadomą - czyli z różnicą \(r\).

Krok 3. Wyznaczenie wartości różnicy (\(r\)).
Skoro wyrazy \(a_{1}\), \(a_{3}\) oraz \(a_{13}\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to relację między ich wartościami możemy zapisać jako:
$$\require{cancel}
{a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{13} \\
(18-2r)^2=(18-4r)\cdot(18+8r) \\
\cancel{324}-\cancel{72r}+4r^2=\cancel{324}+144r-\cancel{72r}-32r^2 \\
36r^2-144r=0$$

Krok 4. Obliczenie powstałego równania kwadratowego i wyznaczenie różnicy ciągu.
Możemy to równanie obliczyć tradycyjną metodą delty (pamiętaj tylko, że w tym przypadku współczynnik \(c=0\)). Możemy też zapisać to równanie w postaci iloczynowej, bo jest ona akurat dość prosta (o ile ją zauważymy):
$$36r^2-144r=0 \\
36r(r-4)=0 \\
36r=0 \quad\lor\quad r-4=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=4$$

I tu musimy się zastanowić, czy przypadkiem któregoś wyniku nie musimy odrzucić. Nasz ciąg arytmetyczny musi być rosnący, a to z kolei oznacza, że \(r\gt0\). Ta informacja sprawia, że rozwiązanie \(r=0\) odrzucamy i zostaje nam \(r=4\).

Krok 5. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu.
Skoro już znamy wartość różnicy, to możemy wrócić do naszego pierwszego wyrazu i obliczyć jego wartość. Przyda nam się ona do zapisania wzoru ogólnego na \(n\)-ty ciąg wyrazu.
$$a_{1}=18-4r \\
a_{1}=18-4\cdot4 \\
a_{1}=18-16 \\
a_{1}=2$$

Krok 6. Wyznaczenie wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu.
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{n}=2+(n-1)\cdot4 \\
a_{n}=2+4n-4 \\
a_{n}=4n-2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że pierwszą współrzędną punktu \(C\) jest \(x=0\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka odcinka \(AB\), czyli \(S=(2;1)\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na długość jednego z odcinków trójkąta np. \(|AC|=\sqrt{2^2+(y-4)^2}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\) oraz gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\): \(a=-\frac{3}{4}\).
3 pkt
• Gdy ułożysz równanie wykorzystujące informację, że \(|AC|=|BC|\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie symetralnej odcinka \(AB\): \(4x-3y-5=0\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W treści zadania mamy podane bardzo dokładne współrzędne punktów \(A\) i \(B\), które w dodatku są liczbami całkowitymi, więc możemy wykonać dość przyzwoity rysunek pomocniczy, który przy okazji posłuży nam później do weryfikacji obliczeń. Zastanówmy się też gdzie może znaleźć się nasz punkt \(C\). Na pewno będzie on na osią \(Oy\), ale gdzie tak mniej więcej powinniśmy się go spodziewać? Nad osią iksów, czy pod nią? Na pewno nie może być nad osią, bo nad osią będzie bardzo daleko od punktu \(B\), a jednocześnie blisko punktu \(A\). To nas nie satysfakcjonuje, bo wiemy z relacji \(|AC|=|BC|\), że odległość punktu \(C\) od punktu \(A\) oraz \(B\) jest jednakowa. Ten nasz poszukiwany punkt znajdzie się tuż pod osią iksów - a gdzie dokładnie, to sobie to zaraz obliczymy.



Krok 2. Wyznaczenie współrzędnej \(y_{C}\).
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Znamy współrzędne \(A\) i \(B\), ale to nie wszystko, bo znamy też jeszcze jedną bardzo ważną współrzędną - wiemy, że współrzędna \(x\) punktu \(C\) jest równa \(x_{C}=0\), bo wierzchołek \(C\) leży do osi \(Oy\).
Wiemy też, że \(|AC|=|BC|\), a to z kolei pozwoli nam ułożyć odpowiednie równanie, z którego wyznaczymy sobie brakującą współrzędną \(y_{C}\).
$$\require{cancel}
|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2 \\
(0-(-2))^2+(y_{C}-4)^2=(0-6)^2+(y_{C}-(-2))^2 \\
2^2+(y_{C}-4)^2=(-6)^2+(y_{C}+2)^2 \\
\cancel{4}+\cancel{y_{C}^2}-8y_{c}+16=36+\cancel{y_{C}^2}+4y_{C}+\cancel{4} \\
-12y=20 \\
y_{C}=-\frac{20}{12} \\
y_{C}=-\frac{5}{3}$$

To oznacza, że \(C=\left(0;-\frac{5}{3}\right)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 2.) oraz długość odcinka \(OD\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymasz złą odpowiedź przez błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa.
Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \\
27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \\
H=9$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\).



Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej.

Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta.
Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy:
$$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=3\sqrt{3}$$

Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|OD|^2=|SD|^2 \\
9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2 \\
81+3=|SD|^2 \\
|SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej.
Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa:
$$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21} \\
P_{b}=6\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa.
$$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$

Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\).