Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(4n(n+1)\), \(2n(2n+2)\), \(4(n^2+n)\) lub innej podobnej.
ALBO
• Gdy udowodnisz, że ta liczba jest podzielna przez \(4\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, liczbę z treści zadania możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1= \\
=4n^2+4n=4n(n+1)$$

Nasz zapis moglibyśmy dla lepszego zobrazowania przedstawić nawet jako \(4\cdot n\cdot(n+1)\). W tym zapisie \(n\) oraz \(n+1\) to kolejne liczby naturalne, a wiemy, że iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez \(2\). Dodatkowo wyciągając czwórkę przed nawias udowodniliśmy, że liczba jest podzielna przez \(4\). Skoro zatem liczba da się rozłożyć na czynniki równe \(2\) oraz \(4\), to będzie też podzielna przez \(8\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-4)(3x-2)=0\)
ALBO
• Gdy otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
2 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej, w której nie będziemy mieć niewiadomej \(x\) podniesionej do kwadratu np. \((x-2)(x+2)(3x-2)=0\)
ALBO
• Gdy doprowadzisz do postaci iloczynowej typu \((x^2-4)(3x-2)=0\) oraz otrzymasz przynajmniej jedno poprawne rozwiązanie.
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Aby rozwiązać to równanie, najprościej będzie skorzystać z metody grupowania. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$3x^3-2x^2-12x+8=0 \\
x^2\cdot(3x-2)-4\cdot(3x-2)=0 \\
(x^2-4)\cdot(3x-2)=0$$

Aby powyższe równanie było równe \(0\), to wartość któregoś z tych nawiasów musi być równa \(0\), zatem:
$$x^2-4=0 \quad\lor\quad 3x-2=0 \\
x^2=4 \quad\lor\quad 3x=2 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-2 \quad\lor\quad x=\frac{2}{3}$$

Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
Pierwsze równanie związane jest z obwodem prostokąta. Wiemy, że nasz prostokąt ma obwód równy \(30\). Na ten obwód będą składać się dwa boki o długości \(a\) oraz dwa boki o długości \(b\), zatem pierwszym równaniem jakie możemy ułożyć będzie:
$$2a+2b=30$$

I tu od razu możemy zapisać drugi wariant tego równania (który pojawi się jako alternatywna odpowiedź). Wyciągając dwójkę przed nawias, moglibyśmy zapisać, że:
$$2\cdot(a+b)=30$$

Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Drugie równanie wynika z informacji, że jeden z boków prostokąta jest o \(5\) krótszy od drugiego. Moglibyśmy zapisać, że w takim razie:
$$b=a-5$$

Przekształcając to równanie moglibyśmy otrzymać postać:
$$b+5=a \\
a-b=5$$

Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Analizując teraz dostępne odpowiedzi widzimy, że pasuje nam na pewno układ równań z odpowiedzi C oraz z odpowiedzi E.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakiekolwiek równanie wynikające z własności ciągów arytmetycznych, w którym jedyną niewiadomą jest \(a_{1}\).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Opisaną w zadaniu sytuację możemy przedstawić jako ciąg arytmetyczny, w którym \(S_{n}=8910\), \(n=18\) oraz \(r=-30\). Poszukiwaną wartością jest \(a_{1}\).

W zadaniu możemy więc skorzystać ze wzoru na sumę \(n\)-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$

Podstawiając teraz znane dane, otrzymamy:
$$8910=\frac{2a_{1}+(18-1)\cdot(-30)}{2}\cdot18 \\
8910=\frac{2a_{1}+17\cdot(-30)}{2}\cdot18 \\
8910=\frac{2a_{1}-510}{2}\cdot18 \\
495=\frac{2a_{1}-510}{2} \\
990=2a_{1}-510 \\
2a_{1}=1500 \\
a_{1}=750$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz skalę podobieństwa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że przyprostokątne trójkąta \(T_{2}\) mają długość \(10\) i \(24\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przeciwprostokątnej (patrz: Krok 1.) i zapiszesz równanie na stosunek pól powierzchni typu \(\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left(\frac{|BC|}{26}\right)^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości przeciwprostokątnej trójkąta \(T_{1}\).
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(T_{1}\) ma przyprostokątne o długości \(5\) i \(12\), zatem korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość przeciwprostokątnej:
$$5^2+12^2=c^2 \\
25+144=c^2 \\
c^2=169 \\
c=13 \quad\lor\quad c=-13$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo długość boku jest dodatnia, zatem zostaje nam \(c=13\).

Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Z treści zadania wynika, że drugi trójkąt \(T_{2}\) ma przeciwprostokątną o długości \(26\), czyli ma przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od trójkąta \(T_{1}\).


To oznacza, że skala podobieństwa tych trójkątów wynosi \(k=2\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(T_{2}\).
Obliczmy najpierw pole trójkąta \(T_{1}\). Korzystając ze wzoru na pole trójkąta, możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\
P=30$$

Zgodnie z własnościami trójkątów podobnych, jeśli skala podobieństwa figur jest równa \(k\) to pole powierzchni figury podobnej będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku oznaczałoby to, że pole trójkąta \(T_{2}\) będzie \(4\) razy większe od pola trójkąta \(T_{1}\), zatem:
$$P=4\cdot30 \\
P=120$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.) oraz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz tylko pole powierzchni całkowitej (patrz: Krok 5.).
3 pkt
• Gdy obliczysz tylko objętość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.) oraz pole powierzchni całkowitej (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny, który został narysowany w treści zadania. Jest to klasyczny trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika, że krótsza przyprostokątna (którą w tym przypadku jest wysokość ostrosłupa) będzie dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Tym samym możemy zapisać, że:
$$H=6:2 \\
H=3$$

Do tego samego wyniku dojdziemy korzystając z funkcji trygonometrycznej - w tej sytuacji sprawdzi się sinus:
$$sin30°=\frac{H}{6} \\
\frac{1}{2}=\frac{H}{6} \\
H=3$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Spójrzmy jeszcze raz na nasz trójkąt o kątach \(30°, 60°, 90°\). Z własności tego trójkąta wynika to, że jego dolna (dłuższa) przyprostokątna będzie \(\sqrt{3}\) razy dłuższa od krótszej przyprostokątnej, czyli moglibyśmy zapisać, że ta dolna przyprostokątna ma długość \(x=3\sqrt{3}\).

W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (wiemy to, ponieważ ostrosłup jest prawidłowy czworokątny). Ta dolna przyprostokątna naszego analizowanego przed chwilą trójkąta będzie więc połową długości boku kwadratu. To oznacza, że w takim razie:
$$a=2\cdot3\sqrt{3} \\
a=6\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy oraz pola powierzchni bocznej.
W podstawie naszej bryły mamy kwadrat o boku \(a=6\sqrt{3}\), zatem pole powierzchni podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(6\sqrt{3})^2 \\
P_{p}=36\cdot3 \\
P_{p}=108$$

Ściany boczne naszej bryły to trójkąty o podstawie \(a=6\sqrt{3}\) oraz wysokości \(h=6\). Mamy cztery takie ściany, więc pole powierzchni bocznej będzie równe:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot6\sqrt{3}\cdot6 \\
P_{b}=72\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa, możemy zapisać, że:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot108\cdot3 \\
V=108$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Znając pole podstawy oraz pole powierzchni bocznej, możemy zapisać, że:
$$P_{c}=P_{p}+P_{b} \\
P_{c}=108+72\sqrt{3}$$

Krok 1. Obliczenie mediany ceny kilograma pomidorów.
Zebrano ceny pomidorów z \(16\) sklepów, czyli liczba wyników jest parzysta. To oznacza, że mediana będzie średnią arytmetyczną między środkowymi wyrazami - czyli w naszym przypadku będzie to średnia arytmetyczna ósmego i dziewiątego wyniku.

Wyliczając medianę musimy uporządkować liczby w porządku niemalejącym (czyli od najmniejszych do największych). Jeśli chcemy, to moglibyśmy wypisać te ceny jako ciąg:
$$5,05; \; 5,05; \; 5,60; \; 5,60...$$

Analizując wykres i pojawiające się tam ceny wynika, że ósmą w kolejności ceną byłoby \(5,70\), a dziewiątą byłoby już \(6,00\). To oznacza, że mediana będzie równa:
$$m=\frac{5,70+6,00}{2} \\
m=\frac{11,70}{2} \\
m=5,85$$

Krok 2. Obliczenie średniej ceny kilograma pomidorów.
Średnią cenę obliczymy w następujący sposób:
$$śr=\frac{2\cdot5,05+4\cdot5,60+2\cdot5,70+5\cdot6,00+3\cdot6,30}{16} \\
śr=\frac{10,10+22,40+11,40+30+18,90}{16} \\
śr=\frac{92,80}{16} \\
śr=5,80$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy \(8\), a losowanie odbywa się ze zwracaniem, czyli za pierwszym razem możemy wylosować jedną z ośmiu liczb i za drugim razem też możemy wylosować jedną z ośmiu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa \(|Ω|=8\cdot8=64\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której wylosowane liczby pomnożone przez siebie dadzą wynik podzielny przez \(15\), czyli dadzą wynik równy \(15, 30, 45, 60, 75\) (większej liczby nie będziemy w stanie osiągnąć). Skoro tak, to pasującymi zdarzeniami będą:
$$(3,5); (5,3), (5,6); (6,5), (5,9); (9,5)$$

To oznacza, że \(|A|=6\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz którego dnia było najwięcej klientów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę klientów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie dnia, w którym było najwięcej klientów.
Liczba obsługiwanych klientów jest opisana funkcją kwadratową. Wiemy, że wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, która w tym przypadku będzie miała ramiona skierowane do dołu, bo współczynnik \(a=-1\). To oznacza, że swoją największą wartość ta funkcja będzie przyjmowała w wierzchołku.


Chcąc się dowiedzieć, którego dnia było najwięcej klientów, wystarczy obliczyć tzw. pierwszą współrzędną wierzchołka (zwyczajowo opisywaną jako \(p\)). Skorzystamy ze wzoru:
$$p=\frac{-b}{2a}$$

Ze wzoru \(L(n)=-n^2+22n+279\) odczytujemy, że współczynniki \(a=-1\) oraz \(b=22\), zatem:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-22}{2\cdot(-1)} \\
p=\frac{-22}{-2} \\
p=11$$

Krok 2. Wyznaczenie liczby klientów jedenastego dnia.
Liczbę klientów jedenastego dnia możemy obliczyć wyznaczając \(q\) (chcąc tak postąpić wystarczy skorzystać ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4a}\) lub też obliczając po prostu \(L(11)\). Wybierzmy może ten drugi sposób. Podstawiając \(n=11\) do wzoru funkcji, otrzymamy:
$$L(11)=-(11)^2+22\cdot11+279 \\
L(11)=-121+242+279 \\
L(11)=400$$