Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę.
To bardzo ważny krok o którym często się zapomina. Aby móc rozwiązać taką nierówność kwadratową np. za pomocą metody delty musimy mieć wszystkie wyrazy po lewej stronie, zostawiając po prawej tylko zero. Zatem:
$$3x^2-6x\ge(x-2)(x-8) \\
3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.
Aby obliczyć miejsca zerowe musimy albo przedstawić tę nierówność w postaci iloczynowej (wtedy przyrównamy każdy z nawiasów do zera i tak wyznaczymy miejsca zerowe) albo przedstawić tę nierówność w postaci ogólnej typu \(ax^2+bx+c\) i wtedy skorzystamy z metody delty. Z racji tego iż zamiana na postać iloczynową nie jest tak oczywista i łatwa (po różnych przekształceniach dałoby się to zapisać jako \((x-2)(2x+8)\ge0\)), to my skorzystamy z metody delty, zatem:
$$3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0 \\
3x^2-6x-(x^2-8x-2x+16)\ge0 \\
3x^2-6x-x^2+8x+2x-16\ge0 \\
2x^2+4x-16\ge0$$

Współczynniki: \(a=2,\;b=4,\;c=-16\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot(-16)=16-(-128)=16+128=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-12}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+12}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:



Teraz odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Wyraźnie widzimy, że jest to zbiór \(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie równanie lub układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa:
\begin{cases}
\frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

\begin{cases}
x+32=2y \quad\bigg/-32 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

\begin{cases}
x=2y-32 \\
\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}
\end{cases}

Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując:
$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17} \\
\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$

Mnożymy obie strony na krzyż:
$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6) \\
34y-646=8y-48 \\
26y=598 \\
y=23$$

Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):
$$\frac{x+32}{y}=2 \\
\frac{x+32}{23}=2 \\
x+32=46 \\
x=14$$

Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy pod wartości \(a, b, c\) podstawisz konkretne liczby.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz liczbę do postaci \(\frac{bc+ac+ab}{abc}\) ale nie wyciągniesz z tego żadnych wniosków i nie zakończysz dowodzenia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Obliczenie wartości potęgowanych wyrazów.
Podniesienie liczby do potęgi \(-1\) daje wynik, który jest odwrotnością potęgowanej liczby. To oznacza, że:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

Krok 2. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Aby móc dodać do siebie te wszystkie ułamki musimy je sprowadzić do wspólnego mianownika. W naszym przypadku wspólnym mianownikiem będzie \(abc\), zatem:
$$\require{cancel}
\frac{1\cdot \cancel{a}bc}{\cancel{a}\cdot abc}+\frac{1\cdot a\cancel{b}c}{\cancel{b}\cdot abc}+\frac{1\cdot ab\cancel{c}}{\cancel{c}\cdot abc}= \\
=\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{abc}$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Z treści zadania wynika, że \(abc=1\), zatem:
$$a^{-1}+b^{-1}+c^{-1}=\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{bc+ac+ab}{1}= \\
=bc+ac+ab=ab+ac+bc$$

W ten oto sposób dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=\frac{11}{2}\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość \(f(-6)\) oraz \(f(6)\) (zapominając o \(f\left(\frac{11}{2}\right)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Funkcja kwadratowa będzie mieć najmniejszą (oraz największą) wartość albo w jednym z punktów krańcowych przedziału albo w swoim wierzchołku. Musimy więc obliczyć współrzędne wierzchołka (a w zasadzie współrzędną \(x_{W}\), bo tylko ona jest nam potrzebna).

Krok 1. Obliczenie współrzędnej \(x_{W}\) wierzchołka paraboli.
Skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x\) wierzchołka paraboli, czyli \(x_{W}=\frac{-b}{2a}\). Ze wzoru funkcji odczytujemy współczynniki \(a=1\) oraz \(b=-11\) i podstawiamy je do wzoru otrzymując:
$$x_{W}=\frac{-(-11)}{2\cdot1} \\
x_{W}=\frac{11}{2}$$

Krok 2. Obliczenie wartości funkcji dla \(x=-6\), \(x=6\) oraz \(x=\frac{11}{2}\).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku musimy podstawić teraz te trzy punkty do wzoru naszej funkcji i sprawdzić który z nich da nam najmniejszy wynik.
$$f(-6)=(-6)^2-11\cdot(-6)=36-(-66)=36+66=102 \\
\\
f(6)=6^2-11\cdot6=36-66=-30 \\
\\
f\left(\frac{11}{2}\right)=\left(\frac{11}{2}\right)^2-11\cdot\left(\frac{11}{2}\right)=\frac{121}{4}-\frac{121}{2}= \\
=\frac{121}{4}-\frac{242}{4}=-\frac{121}{4}=-30\frac{1}{4}$$

Najmniejszą wartość funkcji otrzymaliśmy więc w wierzchołku funkcji i jest ona równa \(-30\frac{1}{4}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz skalę podobieństwa trójkątów \(ABC\) oraz \(DCS\), czyli \(k=5\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Pierwszą rzeczą, którą musimy zauważyć to fakt iż trójkąty \(ABS\) oraz \(DCS\) są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt. Wynika to z zależności między kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi. Jeśli \(|\sphericalangle SAB|=α\) to kąt naprzemianległy \(|\sphericalangle SCD|=α\). Analogicznie \(|\sphericalangle ABS|=|\sphericalangle SDC|=β\). Natomiast \(|\sphericalangle ASB|=|\sphericalangle DSC|=γ\) bo są to kąty wierzchołkowe.

Krok 2. Obliczenie skali podobieństw trójkątów \(ABC\) oraz \(DCS\).
Jeżeli długość przekątnej \(AC\) oznaczymy sobie jako \(x\), to odcinek \(|AS|=\frac{5}{6}x\) oraz \(|SC|=\frac{1}{6}x\) (wynika to wprost z treści zadania). Zatem skala podobieństw tych trójkątów jest równa:
$$k=\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{1}{6}}=5$$

Krok 3. Obliczenie stosunku pól powierzchni obydwu trójkątów.
Jeżeli skala podobieństwa dwóch figur jest równa \(k\), to stosunek pól powierzchni tych dwóch figur jest równy \(k^2\). Skoro w naszym przypadku \(k=5\), to \(k^2=25\). Pole trójkąta \(ABS\) jest więc \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\) i właśnie w ten sposób możemy zakończyć nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(2016-3n\gt0\) (patrz: Krok 1.)
2 pkt
• Gdy obliczysz że jest \(671\) dodatnich wyrazów (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie \(S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).
Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:
$$a_{n}\gt0 \\
2016-3n\gt0 \\
-3n\gt-2016 \\
-n\gt-672 \\
n\lt672$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.
Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\
S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\
S_{671}=1008\cdot671 \\
S_{671}=676368$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa oraz długości odcinków w układzie współrzędnych zapiszesz równanie \((x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AC\), czyli \(a=2\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie w postaci \(x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\): \(y=-\frac{1}{2}x+8\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Do zadania możemy podejść tak naprawdę na dwa sposoby. Pierwszy sposób polegałby na tym, że wyznaczylibyśmy sobie równanie prostej przechodzącej przez punkty \(AC\), a następnie wyznaczylibyśmy równanie prostej prostopadłej (czyli poznalibyśmy wzór prostej \(BC\)). Znając wzór prostej \(BC\) łatwo wyznaczylibyśmy współrzędne punktu \(B\), bo to będzie punkt przecięcia się prostej \(BC\) oraz prostej której wzór jest podany w treści zadania. To jest taki standardowy sposób rozwiązywania tego typu zadań.

My jednak policzymy sobie to nieco sprytniej i zastosujemy tutaj drugi sposób, który wykorzystuje Twierdzenie Pitagorasa.

Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
Do wyznaczenia współrzędnych punktu \(B\) wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Analogicznie możemy wyznaczyć w ten sposób długości odcinków \(AC\) czy też \(BC\).

Współrzędne punktów \(A\) i \(C\) są nam znane, więc możemy w prosty sposób wyznaczyć długość odcinka \(AC\). Bez znajomości współrzędnych punktu \(B\) nie będziemy w stanie obliczyć natomiast długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\), ale przy wykorzystaniu Twierdzenia Pitagorasa będziemy w stanie utworzyć równanie, które pozwoli nam wyznaczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości obliczeń przyjmijmy, że współrzędne punktu \(B\) to \(x\) oraz \(y\):
$$\require{cancel}
|BC|^2+|AC|^2=|AB|^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+(2-(-3))^2+(7-(-3))^2=(x-(-3))^2+(y-(-3))^2 \\
(x-2)^2+(y-7)^2+5^2+10^2=(x+3)^2+(y+3)^2 \\
\cancel{x^2}-4x+4+\cancel{y^2}-14y+49+25+100=\cancel{x^2}+6x+9+\cancel{y^2}+6y+9 \\
-4x-14y+178=6x+6y+18 \\
10x+20y=160 \quad\bigg/:10 \\
x+2y=16$$

Tak na marginesie to otrzymaliśmy w ten sposób równanie prostej \(BC\). Gdybyśmy chcieli, to moglibyśmy je jeszcze przekształcić i zapisać w postaci kierunkowej, czyli \(y=-\frac{1}{2}x+8\).

Wracając do otrzymanego równania \(x+2y=16\), to teraz pod wartość \(y\) możemy podstawić równanie prostej na której leży nasz punkt \(B\), czyli \(y=\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\) i otrzymamy:
$$x+2\cdot\left(\frac{3}{4}x-\frac{3}{4}\right)=16 \\
x+\frac{6}{4}x-\frac{6}{4}=16 \quad\bigg/\cdot4 \\
4x+6x-6=64 \\
10x=70 \\
x=7$$

Podstawiając teraz wartość tej współrzędnej do równania prostej z treści zadania wyznaczymy także wartość współrzędnej \(y\):
$$y=\frac{3}{4}\cdot7-\frac{3}{4} \\
y=\frac{21}{4}-\frac{3}{4} \\
y=\frac{18}{4}=4\frac{1}{2}$$

Otrzymaliśmy w ten sposób współrzędne \(B=(7;4\frac{1}{2})\).

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(AB\).
Znając współrzędne punktów \(A\) i \(B\) obliczymy długość odcinka \(AB\) z wykorzystaniem wzoru o którym mówiliśmy sobie w drugim kroku:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{\left(7-(-3)\right)^2+\left(4\frac{1}{2}-(-3)\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{10^2+7\frac{1}{2}^2} \\
|AB|=\sqrt{100+\left(\frac{15}{2}\right)^2} \\
|AB|=\sqrt{\frac{400}{4}+\frac{225}{4}} \\
|AB|=\sqrt{\frac{625}{4}} \\
|AB|=\frac{25}{2}=12\frac{1}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz długości odcinków \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) oraz \(|DO|=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 3.)
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|OS|=\frac{1}{2}a\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=2\sqrt{21}\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(|DC|\) oraz \(|DO|\).
Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(DS\).
Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).

W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:
$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60° \\
\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2} \\
\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS| \\
|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$

Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\), czyli wysokości ostrosłupa.
Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:
$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60° \\
\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3} \\
|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.

Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.
$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12 \\
3a^2+4a^2=588 \\
7a^2=588 \\
a^2=84 \\
a=\sqrt{4\cdot21} \\
a=2\sqrt{21}$$

Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.

Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:
$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=21\sqrt{3}$$

Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.
$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$

Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7} \\
V=7\cdot3\cdot\sqrt{7} \\
V=21\sqrt{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=42\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz jedynie zdarzenia sprzyjające (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwa razy. Za pierwszym razem mamy do wyboru jedną z siedmiu liczb. W drugim losowaniu wybrać już możemy tylko jedną z sześciu opcji (bo wykluczamy liczbę, która wypadła w pierwszym losowaniu, gdyż losowane liczby muszą być różne). Z reguły mnożenia wynika, że wszystkich zdarzeń elementarnych mamy:
$$|Ω|=7\cdot6=42$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Aby zdarzenie było sprzyjające to większa z tych dwóch liczb musi być równa \(5\), czyli zdarzeniami spełniającymi warunki zadania będą:
$$(1;5), (2;5), (3;5), (4;5), \\
(5;1), (5;2), (5;3), (5;4)$$

Łącznie jest to \(8\) zdarzeń, więc \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$$