Zadanie 1. (1pkt)

 

Wartość wyrażenia \((1+3\cdot2^{-1})^{-2}\) jest równa:

 

 

A) \(\frac{25}{4}\)

 

B) \(\frac{4}{25}\)

 

C) \(\frac{36}{49}\)

 

D) \(\frac{40}{9}\)

 

E)

 

F)

Zadanie 2. (1pkt)

 

Wartość wyrażenia \(2log_{5}5+1-\frac{1}{2}log_{5}625\) jest równa:

 

 

A) \(1\)

 

B) \(5\)

 

C) \(10\)

 

D) \(25\)

 

E)

 

F)

 

G)

 

H)

Zadanie 3. (1pkt)

 

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, które są nieparzyste i podzielne przez \(25\), jest:

 

 

A) \(9\cdot9\cdot2\)

 

B) \(9\cdot10\cdot2\)

 

C) \(9\cdot9\cdot4\)

 

D) \(9\cdot10\cdot4\)

 

E)

 

F)

Zadanie 4. (1pkt)

 

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) wyrażenie \(\frac{2}{x-1}-5\) jest równe:

 

 

A) \(\frac{-5x+1}{x-1}\)

 

B) \(\frac{-5x+7}{x-1}\)

 

C) \(\frac{-5x+3}{x-1}\)

 

D) \(\frac{-5x-3}{x-1}\)

 

E)

 

F)

Zadanie 5. (2pkt)

 

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.

Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) wyrażenie \(9-(x^2-2xy+y^2)\) jest równe:

 

 

A) \([3-(x-2y)]^2\)

 

B) \([3+(x-2y)]^2\)

 

C) \([3-(x+2y)]^2\)

 

D) \([3-(x-y)]\cdot[3+(x-y)]\)

 

E) \([3-(x+2y)]\cdot[3+(x+2y)]\)

 

F) \(-[(x-y)-3]\cdot[(x-y)+3]\)

 

G)

 

H)

Zadanie 6. (3pkt)

 

Rozwiąż równanie
$$3x^3-6x^2-27x+54=0$$

 

 

Zadanie 7. (1pkt)

 

Równanie \(\dfrac{(x^2+x)(x+3)(x-1)}{x^2-1}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:

 

 

A) jedno rozwiązanie: \(x=-3\)

 

B) dwa rozwiązania: \(x=-3, x=0\)

 

C) trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0\)

 

D) cztery rozwiązania: \(x=-3, x=-1, x=0, x=1\)

 

E)

 

F)

Zadanie 8. (1pkt)

 

Spośród nierówności A–D wybierz tę, której zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczono na osi liczbowej.

 

 

A) \(|x+2|\le2\)

 

B) \(|x-2|\le2\)

 

C) \(|x+2|\ge2\)

 

D) \(|x-2|\ge2\)

 

E)

 

F)

Zadanie 9. (1pkt)

 

Klient banku wypłacił z bankomatu kwotę \(1040 zł\). Bankomat wydał kwotę w banknotach o nominałach \(20 zł\), \(50 zł\) oraz \(100 zł\). Banknotów \(100\)-złotowych było dwa razy więcej niż \(50\)-złotowych, a banknotów \(20\)-złotowych było o \(2\) mniej niż \(50\)-złotowych.

Niech \(x\) oznacza liczbę banknotów \(50\)-złotowych, a \(y\) – liczbę banknotów \(20\)-złotowych, które otrzymał ten klient. Poprawny układ równań prowadzący do obliczenia liczb \(x\) i \(y\) to:

 

 

A) \(\begin{cases}
20y+50x+100\cdot2x=1040 \\
y=x-2
\end{cases}\)

 

B) \(\begin{cases}
20y+50x+50x\cdot2=1040 \\
y=x-2
\end{cases}\)

 

C) \(\begin{cases}
20y+50x+100\cdot2x=1040 \\
x=y-2
\end{cases}\)

 

D) \(\begin{cases}
20y+50x+50x\cdot2=1040 \\
x=y-2
\end{cases}\)

 

E)

 

F)

Zadanie 10. (3pkt)

 

Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej dla każdego \(x\in\langle-5, 4)\). Na tym wykresie zaznaczono punkty o współrzędnych całkowitych.

 

 

Zadanie 11. (1pkt)

 

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dane są: punkt \(A=(8, 11)\) oraz okrąg o równaniu \((x-3)^2+(y+1)^2=25\).

Odległość punktu \(A\) od środka tego okręgu jest równa:

 

 

A) \(25\)

 

B) \(13\)

 

C) \(\sqrt{125}\)

 

D) \(\sqrt{265}\)

 

E)

 

F)

Zadanie 12. (3pkt)

 

Basen ma długość \(25 m\). W najpłytszym miejscu jego głębokość jest równa \(1,2 m\). Przekrój podłużny tego basenu przedstawiono poglądowo na rysunku.

Głębokość \(y\) basenu zmienia się wraz z odległością \(x\) od brzegu w sposób opisany funkcją:
$$y=\begin{cases} ax+b\quad \text{ dla }\quad 0\le x\le15 m \\
0,18x-0,9\quad \text{ dla }\quad 15 m\le x\le25 m \end{cases}$$

Odległość \(x\) jest mierzona od płytszego brzegu w poziomie na powierzchni wody (zobacz rysunek). Wielkości \(x\) i \(y\) są wyrażone w metrach.

 

 

Zadanie 13. (2pkt)

 

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=-(x-1)^2+2\).

 

 

Zadanie 14. (2pkt)

 

Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\dfrac{7^n}{21}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

 

 

Zadanie 15. (1pkt)

 

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=3x+b\), przechodząca przez punkt \(A=(-1, 3)\). Współczynnik \(b\) w równaniu tej prostej jest równy:

 

 

A) \(0\)

 

B) \(6\)

 

C) \((-10)\)

 

D) \(8\)

 

E)

 

F)

Zadanie 16. (3pkt)

 

Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=3n-1\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\).

 

 

Zadanie 17. (1pkt)

 

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\), dane są:
• prosta \(k\) o równaniu \(y=\frac{1}{2}x+5\)
• prosta \(l\) o równaniu \(y-1=-2x\)

Proste \(k\) i \(l\):

 

 

A) się pokrywają

 

B) nie mają punktów wspólnych

 

C) są prostopadłe

 

D) przecinają się pod kątem \(30°\)

 

E)

 

F)

Zadanie 18. (1pkt)

 

Wartość wyrażenia \((1-cos20°)\cdot(1+cos20°)-sin^2 20°\) jest równa:

 

 

A) \((-1)\)

 

B) \(0\)

 

C) \(1\)

 

D) \(20\)

 

E)

 

F)

Zadanie 19. (1pkt)

 

W pojemniku są wyłącznie kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy \(4:5\). Z pojemnika losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:

 

 

A) \(\frac{4}{9}\)

 

B) \(\frac{4}{5}\)

 

C) \(\frac{1}{9}\)

 

D) \(\frac{1}{4}\)

 

E)

 

F)

 

G)

 

H)

Zadanie 20. (1pkt)

 

Punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(O\). Kąt \(ABO\) ma miarę \(40°\), a kąt \(OBC\) ma miarę \(10°\) (zobacz rysunek).


Miara kąta \(ACO\) jest równa:

 

 

A) \(30°\)

 

B) \(40°\)

 

C) \(50°\)

 

D) \(60°\)

 

E)

 

F)

Zadanie 21. (2pkt)

 

Dany jest trójkąt \(ABC\) o bokach długości \(6\), \(7\) oraz \(8\). Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta.

 

 

Zadanie 22. (1pkt)

 

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) ma długość \(4\), a bok \(BC\) ma długość \(4,6\). Dwusieczna kąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) takim, że \(|AD|=3,2\) (zobacz rysunek).


Odcinek \(CD\) ma długość:

 

 

A) \(\frac{64}{23}\)

 

B) \(\frac{16}{5}\)

 

C) \(\frac{23}{4}\)

 

D) \(\frac{92}{25}\)

 

E)

 

F)

Zadanie 23. (4pkt)

 

Rodzinna firma stolarska produkuje małe wiatraki ogrodowe. Na podstawie analizy rzeczywistych wpływów i wydatków stwierdzono, że:
• przychód \(P\) (w złotych) z tygodniowej sprzedaży \(x\) wiatraków można opisać funkcją \(P(x)=251x\)
• koszt \(K\) (w złotych) produkcji \(x\) wiatraków w ciągu jednego tygodnia można określić funkcją \(K(x)=x^2+21x+170\).

Tygodniowo w zakładzie można wyprodukować co najwyżej \(150\) wiatraków. Oblicz, ile tygodniowo wiatraków należy sprzedać, aby zysk zakładu w ciągu jednego tygodnia był największy. Oblicz ten największy zysk.

Wskazówka: przyjmij, że zysk jest różnicą przychodu i kosztów.

 

 

Zadanie 24. (3pkt)

 

Firma \(F\) zatrudnia \(160\) osób. Rozkład płac brutto pracowników tej firmy przedstawia poniższy diagram. Na osi poziomej podano – wyrażoną w złotych – miesięczną płacę brutto, a na osi pionowej podano liczbę pracowników firmy \(F\), którzy otrzymują płacę miesięczną w danej wysokości.

 

 

Zadanie 25. (3pkt)

 

Każda z krawędzi podstawy trójkątnej ostrosłupa ma długość \(10\sqrt{3}\), a każda jego krawędź boczna ma długość \(15\). Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

 

 

Zadanie 26. (2pkt)

 

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(10n^2+30n+8\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(3\).