Matura próbna – Matematyka – Operon 2013

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Przeniesienie wyrazów na lewą stronę.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć \(0\). Zatem:
$$-2x^2+3x\lt4 \\
-2x^2+3x-4\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Teraz możemy przystąpić do obliczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=3,\;c=-4\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-2)\cdot(-4)=9-32=-23$$

Delta wyszła ujemna, zatem nie będziemy mieć miejsc zerowych.

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
To, że delta wyszła ujemna nie oznacza, że nierówność nie ma żadnych rozwiązań. To oznacza tylko i wyłącznie tyle, że nie mamy miejsc zerowych. Spróbujmy zatem naszkicować wykres naszej paraboli. Współczynnik \(a\) jest ujemny, bo \(a=-2\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Nasza parabola musi więc wyglądać w ten sposób:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas miejsca w których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera. W naszym przypadku cała parabola jest pod osią iksów, czyli dla każdego argumentu \(x\) otrzymamy wartość ujemną. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest cały zbiór liczb rzeczywistych \(x\in\mathbb{R}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podstawisz do wzoru liczbę \(-2\), ale otrzymasz błędny wynik ze względu na błąd rachunkowy.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Skoro liczba \(-2\) jest pierwiastkiem (czyli rozwiązaniem) wielomianu, to znaczy że podstawiając do tego wielomianu \(x=-2\) otrzymamy wartość równą \(0\). W związku z tym:
$$-2\cdot(-2)^3+3\cdot(-2)^2-(k+2)\cdot(-2)-6=0 \\
-2\cdot(-8)+3\cdot4-(-2k-4)-6=0 \\
16+12+2k+4-6=0 \\
26+2k=0 \\
26=-2k \\
k=-13$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy skorzystasz z własności kątów naprzemianległych (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz wniosku, że te dwa trójkąty są dzięki temu równoramienne.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy przedstawić sytuację z treści zadania na rysunku poglądowym:



Krok 2. Dostrzeżenie kątów naprzemianległych.
W trapezie podstawy są względem siebie równoległe, zatem prowadząc prostą przecinającą te proste równoległe (w naszym przypadku są to przekątne) możemy korzystać z własności kątów naprzemianległych i tak oto otrzymamy następującą sytuację:



Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na trójkąt \(ACD\). Jest to trójkąt, który przy podstawie ma kąty tej samej miary \(α\). To oznacza, że jest to trójkąt równoramienny. Analogiczny wniosek dotyczy trójkąta \(BCD\). Możemy więc zapisać, że:
$$|AD|=|DC| \\
|DC|=|BC|$$

Łącząc te dwie równości możemy zapisać, że \(|AD|=|DC|=|BC|\), co oznacza, że odcinek \(AD\) jest równy odcinkowi \(BC\) i właśnie to jest dowód na to, że ten trapez jest równoramienny.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przeciwprostokątnej (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania możemy narysować mniej więcej taki oto trójkąt prostokątny:



Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku możemy przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=c^2 \\
x^2+4x^2=c^2 \\
c^2=5x^2 \\
c=\sqrt{5}x \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}x$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(c=\sqrt{5}x\).

Krok 3. Obliczenie wartości cosinusa.
Wiedząc, że cosinus to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie \(α\) do przeciwprostokątnej możemy zapisać, że:
$$cosα=\frac{x}{c} \\
cosα=\frac{x}{\sqrt{5}x} \\
cosα=\frac{1}{\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}} \\
cosα=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawny układ równań (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie równań.
Jeżeli dwa okręgi są styczne zewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa sumie promieni. My wiemy, że ta odległość jest równa \(8cm\), zatem:
$$r_{1}+r_{2}=8$$

Jeżeli dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami jest równa różnicy promieni. My wiemy że ta odległość jest równa \(2cm\), zatem:
$$r_{2}-r_{1}=2$$

(tu zakładamy, że okrąg oznaczony promieniem \(r_{2}\) jest większy)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z wyznaczonych w pierwszym kroku równań możemy ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
r_{2}+r_{1}=8 \\
r_{2}-r_{1}=2
\end{cases}$$

Ten układ możemy rozwiązać dowolną metodą, ale najprościej będzie dodać wszystko stronami, otrzymując:
$$2r_{2}=10 \\
r_{2}=5$$

Skoro drugi promień jest \(5\), to korzystając z pierwszego równania:
$$r_{1}+r_{2}=8 \\
r_{1}+5=8 \\
r_{1}=3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne środka boku \(AC\) (patrz: Krok 1.) oraz wyznaczysz wartość współczynnika kierunkowego \(a\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AC\).
Symetralna dzieli nam odcinek na dwie równe części. Spróbujmy wyznaczyć współrzędne punktu \(S\), który jest miejscem przecięcia się symetralnej z odcinkiem \(AC\). Skorzystamy tutaj ze wzoru:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right)$$

Dla przejrzystości obliczeń możemy policzyć każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2} \\
x_{S}=\frac{-3+(-1)}{2} \\
x_{S}=\frac{-4}{2} \\
x_{S}=-2 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2} \\
y_{S}=\frac{-2+4}{2} \\
y_{S}=\frac{2}{2} \\
y_{S}=1$$

Udało nam się w ten sposób wyznaczyć współrzędne środka odcinka \(AC\), czyli \(S=(-2;1)\).

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AC\).
Aby poznać wzór prostej prostopadłej do prostej \(AC\) musimy najpierw poznać równanie prostej \(AC\) lub przynajmniej jej współczynnik \(a\), bo to właśnie ten współczynnik będzie nam potrzebny do dalszych obliczeń.

Możemy to zrobić tak naprawdę na dwa sposoby - albo układając odpowiedni układ równań, albo korzystając ze wzoru \(a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}\).

Spróbujmy może obliczyć ten współczynnik bardziej popularną metodą układu równań. Aby tego dokonać to do równania prostej \(y=ax+b\) musimy podstawić współrzędne punktów \(A\) oraz \(C\) i ułożyć z nich następujący układ:
$$\begin{cases}
-2=-3a+b \\
4=-1a+b
\end{cases}$$

Odejmując równania stronami otrzymamy:
$$-6=-2a \\
a=3$$

Współczynnik \(b\) jest nam w tym przypadku niepotrzebny, więc nie musimy go obliczać.

Krok 3. Ustalenie współczynnika kierunkowego prostej symetralnej.
Prosta symetralna jest tak naprawdę prostą prostopadłą do odcinka \(AC\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Wiemy, że nasza prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(a=3\), zatem prosta symetralna ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot3=-1 \\
a=-\frac{1}{3}$$

Krok 4. Ustalenie równania prostej symetralnej.
Musimy jeszcze ustalić równanie prostej symetralnej. Wiemy już, że na pewno \(a=-\frac{1}{3}\), czyli że nasza symetralna przyjmuje postać \(y=-\frac{1}{3}x+b\). Do wyznaczenia pozostaje nam zatem współczynnik \(b\). Aby go wyznaczyć, to pod iksa i igreka podstawimy współrzędne punktu, który należy do tej prostej, czyli współrzędne punktu \(S=(-2;1)\). Otrzymamy wtedy:
$$y=-\frac{1}{3}x+b \\
1=-\frac{1}{3}\cdot(-2)+b \\
1=\frac{2}{3}+b \\
b=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza symetralna przyjmuje postać:
$$y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że dane zadanie można rozwiązać za pomocą ciągu arytmetycznego w którym \(a_{1}=5\) oraz \(r=2\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy podstawisz dane do wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe w postaci ogólnej z którego potem można wyliczyć deltę (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Pierwszego tygodnia uczeń rozwiązał \(5\) zadań, drugiego rozwiązał \(5+2=7\) zadań, trzeciego \(5+2+2=9\) zadań itd. Widzimy, że powstanie nam w ten sposób ciąg arytmetyczny w którym:
$$a_{1}=5 \\
r=2$$

Krok 2. Zapisanie równania.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$

oraz ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

Spróbujmy zatem dowiedzieć się kiedy uczeń rozwiąże \(480\) zadań, czyli kiedy zajdzie następująca równość:
$$S_{n}=480 \\
\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n=480 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n=480 \\
\frac{5+5+(n-1)\cdot2}{2}\cdot n=480 \\
\frac{10+2n-2}{2}\cdot n=480 \\
\frac{2n+8}{2}\cdot n=480 \quad\bigg/\cdot2 \\
(2n+8)\cdot n=960 \\
2n^2+8n=960 \\
2n^2+8n-960=0 \quad\bigg/:2 \\
n^2+4n-480=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-480\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-480)=16-(-40)=16-(-1920)=1936 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$n_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-44}{2\cdot1}=\frac{-48}{2}=-24 \\
n_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+44}{2\cdot1}=\frac{40}{2}=20$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanych wyników.
Z równania otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(n=-24\) oraz \(n=20\). Ujemne rozwiązanie odrzucamy, bo liczba tygodni nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(n=20\).

Otrzymany wynik oznacza, że rozwiązanie \(480\) zadań zajmie uczniowi równo \(20\) tygodni. Tym samym uczeń przekroczy \(480\) zadań w kolejnym, \(21\)-szym tygodniu.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy wraz z poprawnymi oznaczeniami (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe w postaci ogólnej z którego potem można wyliczyć deltę (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość bryły (patrz: Krok 3.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować ten graniastosłup, oznaczając na nim dane z treści zadania.



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Z kluczowych odcinków powstał nam trójkąt prostokątny, dzięki czemu będziemy w stanie skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa. Możemy zatem zapisać, że:
$$(H+4)^2+H^2=(H+8)^2 \\
H^2+8H+16+H^2=H^2+16H+64 \\
2H^2+8H+16=H^2+16H+64 \\
H^2-8H-48=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=-48\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot(-48)=64-(-192)=64+192=256 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$

$$H_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-16}{2\cdot1}=\frac{8-16}{2}=\frac{-8}{2}=-4 \\
H_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+16}{2\cdot1}=\frac{8+16}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=12\).

Krok 4. Obliczenie wartości sinusa.
Zgodnie z naszym rysunkiem oraz zgodnie możemy zapisać, że:
$$sinα=\frac{H}{H+8} \\
sinα=\frac{12}{12+8} \\
sinα=\frac{12}{20} \\
sinα=\frac{3}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy ułożysz poprawne równanie (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz równanie kwadratowe w postaci ogólnej z którego potem można wyliczyć deltę (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie poprawnych oznaczeń.
Wprowadźmy do zadania proste oznaczenia:
\(p\) - praca do wykonania
\(x\) - czas pracy ojca (w godzinach)
\(x+5\) - czas pracy syna (w godzinach)

Krok 2. Ułożenie równania.
Do zadania podejdziemy dokładanie tak jak podchodzimy do zadań z prędkością, gdzie korzystamy ze wzoru \(v=\frac{s}{t}\). Tutaj też mamy tak jakby prędkość zbierania, zamiast drogi mamy wielkość pracy do wykonania, a zamiast czasu jazdy mamy czas zbierania. Jeżeli tak przystąpimy do tego zadania, to możemy zapisać, że prędkość zbierania jabłek przez ojca jest równa \(\frac{p}{x}\), prędkość zbierania jabłek przez syna to \(\frac{p}{x+5}\), a prędkość zbierania jabłek przez ojca i syna jednocześnie to \(\frac{p}{6}\). W związku z tym możemy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6}$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Aby rozwiązać to równanie najprościej jest zacząć od wymnożenia wszystkiego przez wartości znajdujące się w mianownikach. Najlepiej jest to zrobić powoli i po kolei:
$$\frac{p}{x}+\frac{p}{x+5}=\frac{p}{6} \quad\bigg/\cdot6 \\
\frac{6p}{x}+\frac{6p}{x+5}=p \quad\bigg/\cdot x \\
6p+\frac{6px}{x+5}=px \quad\bigg/\cdot(x+5) \\
6p\cdot(x+5)+6px=px\cdot(x+5) \quad\bigg/:p \\
6\cdot(x+5)+6x=x\cdot(x+5) \\
6x+30+6x=x^2+5x \\
12x+30=x^2+5x \\
x^2-7x-30=0$$

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które policzymy oczywiście korzystając z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-7,\;c=-30\)
$$Δ=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-30)=49-(-120)=49+120=169 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{169}=13$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)-13}{2\cdot1}=\frac{7-13}{2}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-7)+13}{2\cdot1}=\frac{7+13}{2}=\frac{20}{2}=10$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo czas pracy ojca oznaczony jako \(x\) nie może być ujemny, zatem zostaje nam \(x=10\). To oznacza, że ojciec samodzielnie zebrałby jabłka w ciągu \(10\) godzin.