Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Operon 2010
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\frac{4^{\frac{1}{2}}\cdot4^{-1}}{4^0-0,5}\) jest równa:
Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(log_{3}36-log_{3}4\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Wybierz i zaznacz rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x-1|\lt5\).
Zadanie 4. (1pkt) Stół kosztował \(320zł\). Ile kosztuje stół po podwyżce ceny o \(20\%\)?
Zadanie 5. (1pkt) Dane są wielomiany \(W(x)=3x^3-2x^2+4\) oraz \(M(x)=x^3-2x^2+5\). Wielomian \(W(x)-M(x)\) jest równy:
Zadanie 6. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=(m-1)x+5\) ma miejsce zerowe równe \(2\). Zatem:
Zadanie 7. (1pkt) Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji \(y=f(x)\).
Zbiór wartości tej funkcji to:
Zadanie 8. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(\frac{x-6}{2x-4}=\frac{2}{3}\) jest liczba:
Zadanie 9. (1pkt) Równanie \(x^2+6x+9=-1\):
Zadanie 10. (1pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności \((x-1)(x+2)\gt0\) jest zbiór:
Zadanie 11. (1pkt) Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)=-x^2+1\) ma dwa punkty wspólne z prostą o równaniu:
Zadanie 12. (1pkt) Iloraz ciągu geometrycznego \((a_{n})\) jest równy \(\frac{1}{2}\) oraz \(a_{2}=-4\). Wtedy wyraz \(a_{5}\) jest równy:
Zadanie 13. (1pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{2}=-1\) i \(a_{4}=3\). Wtedy wyraz \(a_{3}\) jest równy:
Zadanie 14. (1pkt) Suma miar kątów pewnego wielokąta wypukłego jest równa \(540°\). Tym wielokątem jest:
Zadanie 15. (1pkt) Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{1}{3}\). Wartość wyrażenia jest \(sin^2α+cosα\) jest:
Zadanie 16. (1pkt) Trapez prostokątny ma wymiary podane na rysunku.
Wysokość tego trapezu jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(1\). Pole tego trójkąta jest równe:
Zadanie 18. (1pkt) Na szczyt góry o wysokości względnej \(250m\) prowadzi droga długości \(0,5km\).
Miara kąta \(α\), jaki tworzy droga na szczyt z podstawą góry, jest równa:
Zadanie 19. (1pkt) W okrąg o średnicy \(AB\) wpisano trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|CB|=6\sqrt{2}\).
Długość tego okręgu jest równa:
Zadanie 20. (1pkt) Romb ma wymiary podane na rysunku.
Pole tego rombu jest równe:
Zadanie 21. (1pkt) Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu \(4x-2y+1=0\) jest równy:
Zadanie 22. (1pkt) Środek okręgu o równaniu \(x^2+(y+2)^2=1\) leży w punkcie:
Zadanie 23. (1pkt) Punkty \(K=(0,4)\) i \(L=(6,-4)\) są wierzchołkami kwadratu \(KLAM\). Obwód tego kwadratu jest równy:
Zadanie 24. (1pkt) Stosunek długości krawędzi prostopadłościanu jest równy \(1:2:3\). Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu jest równe \(88\). Suma długości tych trzech krawędzi prostopadłościanu jest zatem równa:
Zadanie 25. (1pkt) Średnia arytmetyczna wzrostu czterech chłopców jest równa \(170cm\). Chłopcy mają: \(150cm\), \(170cm\), \(185cm\), \(x\;cm\). Najwyższy chłopiec mierzy:
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż równanie \(x^3+2x^2-6x-12=0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-6\). To oznacza, że:
$$x^3+2x^2-6x-12=0 \\
x^2(x+2)-6(x+2)=0 \\
(x^2-6)(x+2)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2-6=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x^2=6 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2$$
Wszystkie otrzymane rozwiązania są poprawne, zatem to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2\).
Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż nierówność \((x+3)(x-5)^2\gt0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność podana jest w wygodnej formie iloczynowej, zatem aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości znajdujące się w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu.
Nierówność jest nierównością trzeciego stopnia (to nie jest nierówność kwadratowa!), zatem jej wykresem nie będzie zwykła parabola, tylko linia tego typu:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera. W związku z tym: \(x\in(-3;5)\cup(5;+\infty)\).
Zadanie 28. (2pkt) Wykaż, że jeżeli \(k\gt0\), to równanie \(x^2+k(x-1)=0\) ma dwa pierwiastki.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz deltę (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Spróbujmy zapisać to równanie w postaci ogólnej, tak aby móc z niego wyliczyć deltę. W tym celu musimy tak naprawdę wymnożyć tylko wartość \(k\) przez to co jest w nawiasie, zatem:
$$x^2+k(x-1)=0 \\
x^2+kx-k=0$$
Krok 2. Obliczenie delty.
Mając równanie w postaci ogólnej możemy przejść do obliczenia delty. To, że mamy tutaj parametr \(k\) zamiast liczb zupełnie nam nie przeszkadza i całość wyglądać będzie następująco:
Współczynniki: \(a=1,\;b=k,\;c=-k\)
$$Δ=b^2-4ac=k^2-4\cdot1\cdot(-k)=k^2+4k$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanej delty i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że parametr \(k\) ma być większy od zera. Skoro tak, to otrzymana delta będzie zawsze dodatnia, bo \(k^2\) jest wtedy dodatnie oraz \(4k\) będzie dodatnie. Skoro delta jest dodatnia dla \(k\gt0\), to znaczy że równanie ma wtedy dwa rozwiązania (czyli właśnie dwa pierwiastki) i to należało udowodnić.
Zadanie 29. (2pkt) Wykaż, że jeżeli \(α\) jest kątem ostrym i \(tgα=2\), to \(cosα\) jest liczbą niewymierną.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności funkcji trygonometrycznych utworzysz poprawny układ równań (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy narysujesz trójkąt prostokątny i poprawnie zaznaczysz, że przyprostokątna przy kącie \(α\) ma miarę \(x\), druga przyprostokątna ma \(2x\), a z samego Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie Ci, że w takim razie przeciwprostokątna ma długość \(x\sqrt{5}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Skoro tak, to spróbujmy z tych własności oraz z danych z treści zadania ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba wyznaczyć sinusa z pierwszego równania i podstawić go do drugiego równania, zatem:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
sinα=2cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$
Podstawiając sinusa z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(2cosα)^2+cos^2α=1 \\
4cos^2α+cos^2α=1 \\
5cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{5} \\
cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo mamy podaną informację że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\), a skoro \(\sqrt{\frac{1}{5}}\) jest liczbą niewymierną, to na tym możemy zakończyć dowodzenie.
Zadanie 30. (2pkt) W trójkącie prostokątnym \(ABC\) na boku \(AB\) obrano punkt \(D\) oddalony od punktu \(A\) o \(6\) i od punktu \(B\) o \(4\). Przez punkt \(D\) poprowadzono prostą równoległą do boku \(AC\), przecinającą bok \(BC\) w punkcie \(E\). Oblicz długość odcinka \(DE\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz proporcję (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu jest sporo informacji, więc spróbujmy je przedstawić na rysunku pomocniczym:
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie proporcji.
Musimy zauważyć, że trójkąty \(DBE\) oraz \(ABC\) są trójkątami podobnymi, a skoro tak to możemy ułożyć odpowiednią proporcję, która pozwoli nam odnaleźć długość odcinka \(DE\).
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|DB|}{|DE|} \\
\frac{10}{12}=\frac{4}{|DE|}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$10\cdot|DE|=48 \\
|DE|=4,8$$
Zadanie 31. (2pkt) W trapezie równoramiennym miara kąta ostrego jest równa \(45°\), a podstawy mają długości: \(16cm\) i \(10cm\). Oblicz pole trapezu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy dorysowując wysokość trapezu (patrz: Krok 1.) oraz obliczysz, że \(h=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie narysowanie wysokości trapezu, która utworzy nam trójkąt prostokątny.
Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu możemy obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z tangensa:
$$tg45°=\frac{h}{3} \\
1=\frac{h}{3} \\
h=3[cm]$$
Mogliśmy tu też skorzystać z własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) i wtedy także otrzymalibyśmy informację, że \(h=3\).
Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Znając wysokość trapezu możemy przystąpić do obliczenia jego pola:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+16)\cdot3 \\
P=\frac{1}{2}\cdot26\cdot3 \\
P=13\cdot3 \\
P=39[cm^2]$$
Zadanie 32. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest równe \(100\), a pole ściany bocznej jest równe \(65\). Oblicz objętość ostrosłupa.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny to znaczy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat. Wiemy, że kwadrat ten ma pole powierzchni równe \(100\), zatem:
$$P=a^2 \\
100=a^2 \\
a=10 \quad\lor\quad a=-10$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy i zostaje nam, że krawędź boczna ma długość \(a=10\).
Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
W ścianie bocznej o polu powierzchni \(P_{b}=65\) mamy trójkąt o podstawie \(a=10\). To oznacza, że możemy bez przeszkód obliczyć wysokość ściany bocznej.
$$P_{b}=\frac{1}{2}ah \\
65=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
65=5h \\
h=13$$
Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy teraz narysować ten ostrosłup i zaznaczyć w nim obliczone przed chwilą wielkości:
Z rysunku wynika, że wysokość ostrosłupa (potrzebna do obliczenia objętości) będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta prostokątnego, którego dolna przyprostokątna jest połową boku kwadratu (stąd też bierze się długość równa \(5\)), a przeciwprostokątna ma długość \(13\).
Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Wysokość tego ostrosłupa najprościej będzie wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+H^2=13^2 \\
25+H^2=169 \\
H^2=144 \\
H=12 \quad\lor\quad H=-12$$
Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem \(H=12\).
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy bez przeszkód obliczyć objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12 \\
V=400$$
Zadanie 33. (4pkt) W pudełku znajduje się \(6\) kul białych i \(2\) czarne. Wyciągamy z niego jedną kulę, odkładamy ją i losujemy drugą kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kule różnych kolorów.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej i czarnej w pierwszym losowaniu (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8\cdot7=56\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz (bez konkretnego wyliczania), że wydarzeniami sprzyjającymi są sytuacje w których pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga jest czarna oraz kiedy pierwsza jest czarna, a druga biała (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli białej, a potem czarnej oraz najpierw czarnej, a potem białej (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=24\)
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Rozpatrzenie pierwszego losowania.
W pudełku znajduje się \(6\) białych kul oraz \(2\) czarne, zatem łącznie jest \(8\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania w pierwszym losowaniu białej kuli jest zatem równe \(\frac{6}{8}\), natomiast czarnej jest równe \(\frac{2}{8}\).
Krok 2. Rozpatrzenie drugiego losowania.
Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy białą kulę, to zostało \(5\) białych kul i \(2\) czarne. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie czarnej kuli są teraz równe \(\frac{2}{7}\).
Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy czarną kulę, to zostało \(6\) białych kul i \(1\) czarna. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie białej kuli są teraz równe \(\frac{6}{7}\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia kul różnych kolorów.
Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem białej kuli, a za drugim czarnej, jest równe:
$$p_{1}=\frac{6}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{12}{56}$$
Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem czarnej kuli, a za drugim białej, jest równe:
$$p_{2}=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}=\frac{12}{56}$$
Interesują nas obydwa te przypadki zatem prawdopodobieństwa musimy do siebie dodać. To oznacza, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia kul różnych kolorów jest równe:
$$p=\frac{12}{56}+\frac{12}{56}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$$
Zadanie 34. (5pkt) Iloczyn pewnej liczby i liczby o \(1\) od niej większej jest równy \(6\). Oblicz sumę tych liczb.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia oraz ułożysz na ich podstawie poprawne równanie (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie rozwiążesz równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane pary liczb, ale na koniec nie obliczysz odpowiednich sum.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
\(x\) - pierwsza liczba
\(x+1\) - druga liczba
Z treści zadania wynika, że iloczyn (czyli wynik mnożenia) tych liczb jest równy \(6\), zatem:
$$x\cdot(x+1)=6$$
Krok 2. Zapisanie równania kwadratowego w postaci ogólnej.
Nasze równanie będzie równaniem kwadratowym, ale aby móc je rozwiązać musimy doprowadzić je do postaci ogólnej, z której potem będziemy mogli liczyć deltę.
(Uwaga - nie możemy tutaj rozwiązać tej równości przyrównując wartości w nawiasie do zera, bo po prawej stronie nie mamy zera tylko szóstkę. Nie jest to więc postać iloczynowa).
$$x\cdot(x+1)=6 \\
x^2+x=6 \\
x^2+x-6=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Teraz możemy przejść do obliczenia delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+5}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$
Krok 4. Interpretacja otrzymanego rozwiązania i odnalezienie pary liczb.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwie możliwości: \(x=-3\) oraz \(x=2\). Żadnej z nich nie możemy odrzucić, a to oznacza, że tak naprawdę warunki zadania będą spełniać dwie różne pary liczb:
I para: \(-3\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(-2\)
II para: \(2\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(3\)
Krok 5. Obliczenie sumy tych liczb.
Skoro mamy dwie pary liczb spełniających warunki zadania to i otrzymamy dwie możliwości sumy:
I para: \(-3+(-2)=-5\)
II para: \(3+2=5\)
Suma dwóch liczb jest więc równa \(-5\) lub \(5\).
Poprzednie
Zakończ
Następne
jeżeli w 27 mam dobrze zapisany przedział, ale źle narysowany wykres (zrobiłam parabole) to i tak tylko 1 pkt?
Powiem szczerze, że nie wiem co w takiej sytuacji ;) To dość nietypowa sprawa, bo zrobiłaś jeden błąd rysując parabolę i drugi błąd polegający na tym, że na podstawie tego co narysowałaś źle odczytałaś odpowiedź – i koniec końców te dwa błędy sprawiły, że masz zadanie dobrze :D Więc pewnie faktycznie byłby to 1 punkt ;)