Test

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
W tego typu zadaniach musimy wyłączyć wspólne części przed nawias. Wspólną częścią pierwszego i drugiego wyrazu jest \(x^2\), a z trzeciego i czwartego wyrazu możemy wyłączyć liczbę \(-6\). To oznacza, że:
$$x^3+2x^2-6x-12=0 \\
x^2(x+2)-6(x+2)=0 \\
(x^2-6)(x+2)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej przyrównujemy wartości w nawiasach do zera, wyznaczając w ten sposób rozwiązania naszej równości.
$$x^2-6=0 \quad\lor\quad x+2=0 \\
x^2=6 \quad\lor\quad x=-2 \\
x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2$$

Wszystkie otrzymane rozwiązania są poprawne, zatem to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-\sqrt{6} \quad\lor\quad x=-2\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Nasza nierówność podana jest w wygodnej formie iloczynowej, zatem aby obliczyć jej miejsca zerowe wystarczy przyrównać wartości znajdujące się w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x+3=0 \quad\lor\quad x-5=0 \\
x=-3 \quad\lor\quad x=5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu.
Nierówność jest nierównością trzeciego stopnia (to nie jest nierówność kwadratowa!), zatem jej wykresem nie będzie zwykła parabola, tylko linia tego typu:



Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas argumenty, dla których nierówność przyjmuje wartości większe od zera. W związku z tym: \(x\in(-3;5)\cup(5;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz deltę (patrz: Krok 2.), ale nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Doprowadzenie równania do postaci ogólnej.
Spróbujmy zapisać to równanie w postaci ogólnej, tak aby móc z niego wyliczyć deltę. W tym celu musimy tak naprawdę wymnożyć tylko wartość \(k\) przez to co jest w nawiasie, zatem:
$$x^2+k(x-1)=0 \\
x^2+kx-k=0$$

Krok 2. Obliczenie delty.
Mając równanie w postaci ogólnej możemy przejść do obliczenia delty. To, że mamy tutaj parametr \(k\) zamiast liczb zupełnie nam nie przeszkadza i całość wyglądać będzie następująco:
Współczynniki: \(a=1,\;b=k,\;c=-k\)
$$Δ=b^2-4ac=k^2-4\cdot1\cdot(-k)=k^2+4k$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanej delty i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że parametr \(k\) ma być większy od zera. Skoro tak, to otrzymana delta będzie zawsze dodatnia, bo \(k^2\) jest wtedy dodatnie oraz \(4k\) będzie dodatnie. Skoro delta jest dodatnia dla \(k\gt0\), to znaczy że równanie ma wtedy dwa rozwiązania (czyli właśnie dwa pierwiastki) i to należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności funkcji trygonometrycznych utworzysz poprawny układ równań (patrz: Krok 1.).
ALBO
Gdy narysujesz trójkąt prostokątny i poprawnie zaznaczysz, że przyprostokątna przy kącie \(α\) ma miarę \(x\), druga przyprostokątna ma \(2x\), a z samego Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie Ci, że w takim razie przeciwprostokątna ma długość \(x\sqrt{5}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Zbudowanie układu równań.
Z własności funkcji trygonometrycznych wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Skoro tak, to spróbujmy z tych własności oraz z danych z treści zadania ułożyć następujący układ równań:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie chyba wyznaczyć sinusa z pierwszego równania i podstawić go do drugiego równania, zatem:
$$\begin{cases}
\frac{sinα}{cosα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

$$\begin{cases}
sinα=2cosα \\
sin^2α+cos^2α=1
\end{cases}$$

Podstawiając sinusa z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$(2cosα)^2+cos^2α=1 \\
4cos^2α+cos^2α=1 \\
5cos^2α=1 \\
cos^2α=\frac{1}{5} \\
cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo mamy podaną informację że \(α\) jest kątem ostrym, a dla kątów ostrych cosinus przyjmuje wartości dodatnie. To oznacza, że \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\), a skoro \(\sqrt{\frac{1}{5}}\) jest liczbą niewymierną, to na tym możemy zakończyć dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie ułożysz proporcję (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W zadaniu jest sporo informacji, więc spróbujmy je przedstawić na rysunku pomocniczym:



Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie proporcji.
Musimy zauważyć, że trójkąty \(DBE\) oraz \(ABC\) są trójkątami podobnymi, a skoro tak to możemy ułożyć odpowiednią proporcję, która pozwoli nam odnaleźć długość odcinka \(DE\).
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|DB|}{|DE|} \\
\frac{10}{12}=\frac{4}{|DE|}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$10\cdot|DE|=48 \\
|DE|=4,8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sporządzisz rysunek pomocniczy dorysowując wysokość trapezu (patrz: Krok 1.) oraz obliczysz, że \(h=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie narysowanie wysokości trapezu, która utworzy nam trójkąt prostokątny.



Krok 2. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu możemy obliczyć korzystając z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z tangensa:
$$tg45°=\frac{h}{3} \\
1=\frac{h}{3} \\
h=3[cm]$$

Mogliśmy tu też skorzystać z własności trójkątów o kątach \(45°, 45°, 90°\) i wtedy także otrzymalibyśmy informację, że \(h=3\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Znając wysokość trapezu możemy przystąpić do obliczenia jego pola:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot(10+16)\cdot3 \\
P=\frac{1}{2}\cdot26\cdot3 \\
P=13\cdot3 \\
P=39[cm^2]$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny to znaczy, że w jego podstawie znajduje się kwadrat. Wiemy, że kwadrat ten ma pole powierzchni równe \(100\), zatem:
$$P=a^2 \\
100=a^2 \\
a=10 \quad\lor\quad a=-10$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy i zostaje nam, że krawędź boczna ma długość \(a=10\).

Krok 2. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
W ścianie bocznej o polu powierzchni \(P_{b}=65\) mamy trójkąt o podstawie \(a=10\). To oznacza, że możemy bez przeszkód obliczyć wysokość ściany bocznej.
$$P_{b}=\frac{1}{2}ah \\
65=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
65=5h \\
h=13$$

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy teraz narysować ten ostrosłup i zaznaczyć w nim obliczone przed chwilą wielkości:



Z rysunku wynika, że wysokość ostrosłupa (potrzebna do obliczenia objętości) będziemy mogli wyznaczyć z trójkąta prostokątnego, którego dolna przyprostokątna jest połową boku kwadratu (stąd też bierze się długość równa \(5\)), a przeciwprostokątna ma długość \(13\).

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Wysokość tego ostrosłupa najprościej będzie wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+H^2=13^2 \\
25+H^2=169 \\
H^2=144 \\
H=12 \quad\lor\quad H=-12$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem \(H=12\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając pole podstawy oraz wysokość ostrosłupa możemy bez przeszkód obliczyć objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100\cdot12 \\
V=400$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej i czarnej w pierwszym losowaniu (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych \(|Ω|=8\cdot7=56\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz (bez konkretnego wyliczania), że wydarzeniami sprzyjającymi są sytuacje w których pierwsza wylosowana kula jest biała, a druga jest czarna oraz kiedy pierwsza jest czarna, a druga biała (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz prawdopodobieństwo wylosowania najpierw kuli białej, a potem czarnej oraz najpierw czarnej, a potem białej (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających \(|A|=24\)
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Rozpatrzenie pierwszego losowania.
W pudełku znajduje się \(6\) białych kul oraz \(2\) czarne, zatem łącznie jest \(8\) kul. Prawdopodobieństwo wylosowania w pierwszym losowaniu białej kuli jest zatem równe \(\frac{6}{8}\), natomiast czarnej jest równe \(\frac{2}{8}\).

Krok 2. Rozpatrzenie drugiego losowania.
Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy białą kulę, to zostało \(5\) białych kul i \(2\) czarne. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie czarnej kuli są teraz równe \(\frac{2}{7}\).

Jeżeli za pierwszym razem wylosowaliśmy czarną kulę, to zostało \(6\) białych kul i \(1\) czarna. Łącznie mamy \(7\) kul, a szanse na wylosowanie białej kuli są teraz równe \(\frac{6}{7}\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia kul różnych kolorów.
Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem białej kuli, a za drugim czarnej, jest równe:
$$p_{1}=\frac{6}{8}\cdot\frac{2}{7}=\frac{12}{56}$$

Prawdopodobieństwo wylosowania za pierwszym razem czarnej kuli, a za drugim białej, jest równe:
$$p_{2}=\frac{2}{8}\cdot\frac{6}{7}=\frac{12}{56}$$

Interesują nas obydwa te przypadki zatem prawdopodobieństwa musimy do siebie dodać. To oznacza, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia kul różnych kolorów jest równe:
$$p=\frac{12}{56}+\frac{12}{56}=\frac{24}{56}=\frac{3}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz poprawne oznaczenia oraz ułożysz na ich podstawie poprawne równanie (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy doprowadzisz do równania kwadratowego w postaci ogólnej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie rozwiążesz równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie poszukiwane pary liczb, ale na koniec nie obliczysz odpowiednich sum.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania.
\(x\) - pierwsza liczba
\(x+1\) - druga liczba

Z treści zadania wynika, że iloczyn (czyli wynik mnożenia) tych liczb jest równy \(6\), zatem:
$$x\cdot(x+1)=6$$

Krok 2. Zapisanie równania kwadratowego w postaci ogólnej.
Nasze równanie będzie równaniem kwadratowym, ale aby móc je rozwiązać musimy doprowadzić je do postaci ogólnej, z której potem będziemy mogli liczyć deltę.
(Uwaga - nie możemy tutaj rozwiązać tej równości przyrównując wartości w nawiasie do zera, bo po prawej stronie nie mamy zera tylko szóstkę. Nie jest to więc postać iloczynowa).
$$x\cdot(x+1)=6 \\
x^2+x=6 \\
x^2+x-6=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Teraz możemy przejść do obliczenia delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=25 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+5}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2$$

Krok 4. Interpretacja otrzymanego rozwiązania i odnalezienie pary liczb.
Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwie możliwości: \(x=-3\) oraz \(x=2\). Żadnej z nich nie możemy odrzucić, a to oznacza, że tak naprawdę warunki zadania będą spełniać dwie różne pary liczb:
I para: \(-3\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(-2\)
II para: \(2\) oraz liczba o jeden większa, czyli \(3\)

Krok 5. Obliczenie sumy tych liczb.
Skoro mamy dwie pary liczb spełniających warunki zadania to i otrzymamy dwie możliwości sumy:
I para: \(-3+(-2)=-5\)
II para: \(3+2=5\)

Suma dwóch liczb jest więc równa \(-5\) lub \(5\).