Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2024

Podaną liczbę możemy rozpisać w następujący sposób:
$$9^n-3^n=(3^2)^n-3^n=3^{2n}-3^n$$

Teraz wyłączając wspólny czynnik \(3^n\) przed nawias, otrzymamy:
$$3^n\cdot(3^n-1)$$

Liczba \(3^n\) jest na pewno podzielna przez \(3\). Możemy też stwierdzić, że \(3^n\) jest na pewno liczbą nieparzystą (jakakolwiek liczba nieparzysta podniesiona do dowolnej potęgi naturalnej da wynik nieparzysty). Tym samym \(3^n-1\) będzie liczbą parzystą, czyli podzielną przez \(2\). To oznacza, że mamy mnożenie liczby podzielnej przez \(3\) przez liczbę podzielną przez \(2\), co sprawia, że cała liczba jest na pewno podzielna przez \(6\), co należało udowodnić.

Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli. Z treści zadania wynika, że wierzchołkiem jest punkt \((1,3)\), czyli moglibyśmy zapisać, że \(f(x)=a(x-1)^2+3\). Do pełnego wzoru brakuje nam jeszcze tylko współczynnika \(a\). Aby go poznać, wystarczy do wyznaczonej przed chwilą postaci podstawić współrzędne punktu \((0,-1)\), przez który przechodzi wykres tej funkcji, zatem:
$$-1=a\cdot(0-1)^2+3 \\
-1=a\cdot(-1)^2+3 \\
-1=a\cdot1+3 \\
a=-4$$

To oznacza, że nasza funkcja przyjmuje wzór \(f(x)=-4\cdot(x-1)^2+3\).

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Skoro \(a_{2}=-3\) oraz \(a_{1}=1\), to iloraz ciągu geometrycznego wyniesie:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{-3}{1} \\
q=-3$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego oraz czwartego wyrazu.
Znając iloraz ciągu, możemy obliczyć wartość trzeciego i czwartego wyrazu, zatem:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=-3\cdot(-3) \\
a_{3}=9$$

$$a_{4}=a_{3}\cdot q \\
a_{4}=9\cdot(-3) \\
a_{4}=-27$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(x=9\) oraz \(y=-27\).

Krok 3. Wybór poprawnych odpowiedzi.
Musimy teraz przejrzeć proponowane odpowiedzi i wybrać dwa poprawne warianty. Przeanizujmy każdą odpowiedź:
Odp. A. - widzimy, że to jest nieprawda, ponieważ \(x=9\).
Odp. B. - iloczyn jest równy \(9\cdot(-27)=-243\), czyli ta odpowiedź się zgadza.
Odp. C. - różnica wynosi \(-27-9=-36\), czyli to zdanie jest nieprawdziwe.
Odp. D. - ten ciąg nie jest malejący, bo jest niemonotoniczny (wartości wyrazów tego ciągu raz rosną, raz maleją).
Odp. E. - tak jak wyżej, ten ciąg nie jest rosnący.
Odp. F. - zgadza się, to nie jest ciąg monotoniczny, tylko niemonotoniczny.

Prawidłowymi odpowiedziami będą zatem B oraz F.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W równoległoboku kąty przy danym boku mają łącznie \(180°\), więc skoro kąt ostry ma \(60°\), to kąt rozwarty będzie miał \(120°\). Powstaje nam więc taka oto sytuacja:


Krok 2. Obliczenie wartości \(cos120°\).
Całe zadanie opiera się na poprawnym wykorzystaniu twierdzenia cosinusów, ale zanim to zrobimy, musimy ustalić jaka jest wartość \(cos120°\). Z pomocą przyjdzie nam np. ten oto wzór redukcyjny:
$$cos(90°+α)=-sinα$$

Rozpisując nasz kąt otrzymamy, że:
$$cos120°=cos(90°+30°)=-sin30°$$

Wyszło nam, że \(cos120°\) ma wartość dokładnie taką samą jak \(-sin30°\). Wartość \(sin30°\) możemy odczytać z tablic i jest to \(\frac{1}{2}\), zatem dodając do tego znak ujemny, możemy stwierdzić, że \(cos120°=-\frac{1}{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości dłuższej przekątnej równoległoboku.
Teraz korzystając z twierdzenia cosinusów możemy zapisać, że:
$$d^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot cos120° \\
d^2=9+16-24\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) \\
d^2=25-(-12) \\
d^2=37 \\
d=\sqrt{37} \quad\lor\quad d=-\sqrt{37}$$

Ujemny wynik odrzucamy, ponieważ długość przekątnej jest dodatnia, zatem zostaje nam \(d=\sqrt{37}\).

Krok 1. Obliczenie poszczególnych składników sumy.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na długość odcinka w układzie współrzędnych, czyli:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Widzimy, że będzie interesować nas suma kwadratów, więc możemy od razu podnieść obydwie strony do kwadratu, dzięki czemu otrzymamy taki to wyjściowy wzór:
$$|AB|^2=(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2$$

Podstawmy teraz odpowiednie współrzędne podane w treści zadania i obliczmy w ten sposób wartości \(|AB|^2\), \(|BC|^2\) oraz \(|AC|^2\). Obliczenia będą wyglądały następująco:

\(|AB|^2=(7-1)^2+(5-2)^2 \\
|AB|^2=6^2+3^2 \\
|AB|^2=36+9 \\
|AB|^2=45\)

\(|BC|^2=(x-7)^2+(0-5)^2 \\
|BC|^2=x^2-14x+49+(-5)^2 \\
|BC|^2=x^2-14x+49+25 \\
|BC|^2=x^2-14x+74\)

\(|AC|^2=(x-1)^2+(0-2)^2 \\
|AC|^2=x^2-2x+1+(-2)^2 \\
|AC|^2=x^2-2x+1+4 \\
|AC|^2=x^2-2x+5\)

Krok 2. Zapisanie sumy \(S\) jako funkcję zmiennej \(x\).
\(S\) jest sumą kwadratów długości boków, zatem możemy zapisać, że:
$$S=45+x^2-14x+74+x^2-2x+5 \\
S=2x^2-16x+124$$

Idea zadania polega na tym, by to równanie potraktować teraz jako funkcję zmiennej \(x\), zatem moglibyśmy zapisać, że:
$$S(x)=2x^2-16x+124$$

Przy okazji moglibyśmy zapisać, że skoro \(x\) nie może być równy \(3\), to dziedziną funkcji będzie \(D=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)\).

Krok 3. Wyznacznie argumentu dla którego funkcja osiąga najmniejszą wartość.
Funkcja \(S(x)\) jest funkcją kwadratową, a wykresem tej funkcji będzie parabola z ramionami skierowanymi ku górze (bo współczynnik \(a\) jest dodatni). To oznacza, że swoją najmniejszą wartość ta funkcja będzie przyjmować w wierzchołku. Korzystając ze wzoru na współrzędną \(p\) wierzchołka paraboli wyjdzie nam, że:
$$p=\frac{-b}{2a} \\
p=\frac{-(-16)}{2\cdot2} \\
p=\frac{16}{4} \\
p=4$$

To oznacza, że nasza funkcja osiąga najmniejszą wartość dla \(x=4\).

Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości.
Najmniejszą wartość moglibyśmy obliczyć korzystając ze wzoru \(q=\frac{-Δ}{4}\) albo po prostu podstawiając \(x=4\) do wzoru naszej funkcji, bo to właśnie w wierzchołku ta najmniejsza wartość będzie przyjmowana. Ta druga metoda jest znacznie szybsza, dlatego zapisalibyśmy, że:
$$f(4)=2\cdot4^2-16\cdot4+124 \\
f(4)=2\cdot16-64+124 \\
f(4)=32-64+124 \\
f(4)=92$$

Najmniejsza wartość tej funkcji wyniesie więc \(y=92\).

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie skali podobieństwa.
Punktem wyjścia będzie zauważenie, że trójkąty \(AEF\) oraz \(DCF\) są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skąd to wiemy? Kąty \(AEF\) i \(CDF\) mają jednakową miarę, co wynika z własności kątów naprzemianległych. Podobnie z parą kątów \(EAF\) oraz \(DCF\), no a kąty \(AFE\) oraz \(DCF\) to kąty wierzchołkowe.

Możemy od razu obliczyć skalę podobieństwa tych trójkątów.
$$k=\frac{60}{15} \\
k=4$$

Krok 2. Obliczenie wysokości trójkąt \(AEF\).
Wiemy, że skala podobieństwa wynosi \(k=4\), co oznacza, że wysokość trójkąta \(DCF\) musi też być \(4\) razy większa od wysokości trójkąta \(AEF\). Jeśli więc wysokość trójkąta \(AEF\) oznaczylibyśmy jako \(h\), to wysokość trójkąta \(DCF\) wyniesie \(4h\).


Z rysunku wynika, że suma tych dwóch wysokości musi być równa \(60\), zatem:
$$h+4h=60 \\
h=12$$

W takim razie poszukiwana wysokość trójkąta \(AEF\) to \(h=12\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(AEF\).
Mamy wszystkie dane potrzebne do obliczenia pola, ponieważ wiemy, że \(a=15\) oraz \(h=12\), zatem korzystając z podstawowego wzoru na pole trójkąta możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12 \\
P=90$$

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Mamy dwa pudełka - w pierwszym są \(4\) kule, a w drugim jest ich \(6\). Losujemy po jednej kuli z każdego pudełka, więc zgodnie z regułą mnożenia liczba zdarzeń elementarnych będzie równa:
$$|Ω|=4\cdot6=24$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja w której suma wylosowanych liczb jest podzielna przez \(3\). Wypiszmy sobie takie przypadki:
$$(1,5), (1,8) \\
(2,7), (2,10) \\
(3,6), (3,9) \\
(4,5), (4,8)$$

Jest więc osiem takich par, zatem \(|A|=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek sporządźmy prosty rysunek pomocniczy, którego najtrudniejszym elementem jest poprawne oznaczenie kąta między wysokością i ścianą boczną. Cała sytuacja będzie wyglądać w ten oto sposób:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(OE\).
Odcinek \(OE\) jest połową długości boku kwadratu, który znajduje się w podstawie naszej bryły. Jego długość możemy obliczyć albo z funkcji trygonometrycznych, albo po prostu z własności trójkątów o kątach \(30°, 60°, 90°\). Skorzystajmy może z własności takich trójkątów skoro jest taka okazja. Zgodnie z tymi własnościami, jeśli krótszą przyprostokątną (czyli \(OE\)) oznaczymy jako \(x\), to dłuższa przyprostokątna (czyli nasza wysokość ostrosłupa) będzie miała długość \(x\sqrt{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$x\sqrt{3}=18 \\
x=\frac{18}{\sqrt{3}} \\
x=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
x=\frac{18\sqrt{3}}{3} \\
x=6\sqrt{3}$$

Tym samym możemy stwierdzić, że \(|OE|=6\sqrt{3}\).

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy i pola podstawy.
W podstawie znajduje się kwadrat, którego bok jest dwa razy dłuższy od odcinka \(OE\), zatem:
$$a=2\cdot6\sqrt{3} \\
a=12\sqrt{3}$$

Tym samym pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=(12\sqrt{3})^2 \\
P_{p}=144\cdot3 \\
P_{p}=432$$

Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, zatem możemy przystąpić do obliczenia objętości ostrosłupa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot432\cdot18 \\
V=2592$$