Matura próbna z matematyki (poziom podstawowy) - Nowa Era 2017
Arkusz maturalny zawiera 23 zadania zamknięte oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Liczba \(\frac{6}{\sqrt[3]{27}}\) jest równa:
Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\sqrt{(1-2\sqrt{2})^2}\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Nowy samochód kosztował \(80\) tys. zł. Po każdym roku użytkowania jego wartość spadała o \(15\%\) w stosunku do wartości z roku poprzedniego. Po trzech latach od zakupu jego wartość była równa:
Zadanie 4. (1pkt) Pan Adam wpłacał na rzecz pewnego stowarzyszenia \(2\%\) swoich stałych miesięcznych dochodów. Od ostatniego miesiąca wpłata wzrosła do \(3\%\) jego dochodów. O ile procent zwiększyła się kwota wpłacana przez pana Adama?
Zadanie 5. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(y=h(x)\).
Dziedziną funkcji \(h\) jest przedział:
Zadanie 6. (1pkt) Funkcja \(f\) każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z dzielenia tej liczby przez \(3\). Zbiór wartości tej funkcji to:
Zadanie 7. (1pkt) Wykres funkcji \(f(x)=\frac{4}{x}\), określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych różnych od \(0\), przesunięto wzdłuż osi \(Oy\) o \(4\) jednostki w górę. Otrzymany wykres można opisać wzorem:
Zadanie 8. (1pkt) Funkcja wykładnicza \(f(x)=3^x\) przyjmuje wartość \(4\) dla:
Zadanie 9. (1pkt) Funkcja liniowa \(f(x)=ax+b\) jest malejąca i ma ujemne miejsce zerowe. Dla takiej funkcji prawdziwa jest nierówność:
Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji kwadratowej postaci \(f(x)=ax^2+c\).
Jakie znaki mają współczynniki \(a\) i \(c\)?
Zadanie 11. (1pkt) Wskaż liczby, które należy wpisać do tabeli, aby wielkości \(x\) i \(y\) były odwrotnie proporcjonalne.
Zadanie 12. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=(-1)^n\cdot\frac{n}{n+1}\) dla \(n\ge1\). Iloczyn \(a_{1}\cdot a_{2}\cdot a_{3}\) jest równy:
Zadanie 13. (1pkt) Ciąg \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=4(n+1)(n-10)\) dla \(n\ge1\). Ile wyrazów ujemnych ma ten ciąg?
Zadanie 14. (1pkt) Ciąg \((a, b, c)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(2\), a ciąg \((d, e, f)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy \(4\). Różnica ciągu arytmetycznego \((a+d, b+e, c+f)\) wynosi:
Zadanie 15. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\frac{cos^{2}30°+cos^{2}60°}{cos45°}\) jest równa:
Zadanie 16. (1pkt) Odcinek \(AB\) jest średnicą koła (rysunek obok). Na jednym z łuków \(AB\) zaznaczono punkty \(C\), \(D\) i \(E\) różne od \(A\) i \(B\). W ten sposób powstały łuki \(AC, CD, DE, EB\), których długości są w stosunku \(1:1:2:4\). Miary kątów \(ACB\), \(ADB\) i \(AEB\) spełniają zależności:
Zadanie 17. (1pkt) Pole rombu o boku długości \(6\sqrt{3}\) i kącie rozwartym \(150°\) jest równe:
Zadanie 18. (1pkt) Punkt \(A=(-1,3)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\) o podstawie \(AB\). Punkt \(D=(5,-4)\) jest spodkiem wysokości \(CD\) tego trójkąta. Współrzędne wierzchołka \(B\) są równe:
Zadanie 19. (1pkt) Siatka ostrosłupa prawidłowego czworokątnego składa się z kwadratu i czterech trójkątów (rysunek obok). Pole każdej z wymienionych figur jest równe \(4\). Długość krawędzi bocznej tego ostrosłupa jest równa:
Zadanie 20. (1pkt) Objętość stożka ściętego (rysunek obok) dana jest wzorem \(V=\frac{1}{3}πH(r^2+rR+R^2)\), gdzie \(H\) jest wysokością bryły, a \(r\) i \(R\) są promieniami jej podstaw. Dane są: \(V=52π\), \(r=2\), \(R=6\). Wysokość bryły jest równa:
Zadanie 21. (1pkt) Czterocyfrowy kod składa się z dwóch cyfr \(0\) i dwóch różnych cyfr wybranych spośród: \(1, 2, 3, 4, 5\). Oto dwa przykładowe kody: \(0250\), \(1003\). Ile kodów spełnia opisane warunki?
Zadanie 22. (1pkt) W tabeli podano oceny z matematyki pewnego ucznia.
Średnia ważona tego zestawu danych w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku jest równa:
Zadanie 23. (1pkt) W urnie było \(9\) kul, trzy z nich były koloru białego. Do urny dołożono jeszcze cztery kule białe. Po tej zmianie prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe:
Zadanie 24. (2pkt) Zbiór wartości funkcji \(f(x)=(2a+b)x^2+(a+b-4)x-7\) określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\) jest jednoelementowy. Wyznacz \(a\) i \(b\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zbudujesz poprawny układ równań (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość funkcji dla trzech różnych wartości argumentu \(x\) w celu porównania otrzymanych wyników.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Analiza podanej funkcji.
Z treści zadania wynika, że zbiór wartości naszej funkcji jest jednoelementowy. To oznacza, że dla każdego argumentu \(x\) funkcja przyjmuje jednakową wartość. Takie funkcje nazywamy stałymi, a ich przykładowymi wzorami mogą być np. \(y=3\) albo \(y=-5\).
Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\).
Nasza funkcja jest zapisana w postaci ogólnej \(f(x)=ax^2+bx+c\). Skoro nasza funkcja jest stała, to wartość współczynnika \(a\) oraz \(b\) musi być równa \(0\). I tu uwaga, bo dane z treści zadania są na tyle niefortunne, że bardzo łatwo jest o pomyłkę. To nie liczba \(a\) oraz \(b\) ma być równa \(0\), tylko współczynniki \(a\) oraz \(b\) muszą być równe \(0\). Mówiąc wprost - to co znajduje się przed iksem kwadrat oraz przed iksem musi być równe \(0\). Skoro tak, to powstaną nam dwa równania z których da się zbudować układ równań:
\begin{cases}
2a+b=0 \\
a+b-4=0
\end{cases}
\begin{cases}
b=-2a\\
a+b-4=0
\end{cases}
Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$a+(-2a)-4=0 \\
a-2a-4=0 \\
-a-4=0 \\
a=-4$$
Podstawiając teraz \(a=-4\) do wybranego równania obliczymy wartość \(b\):
$$b=-2a \\
b=-2\cdot(-4) \\
b=8$$
Zadanie 25. (2pkt) Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=(a+1)(x-2)^2(x+1)\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Dla jakich wartości \(a\) spełniona jest nierówność \(f(0)\cdot f(1)\le16\)?
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(f(0)\) oraz \(f(1)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\).
Na początek obliczmy wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\), podstawiając odpowiednio do wzoru funkcji \(x=0\) oraz \(x=1\):
$$f(0)=(a+1)\cdot(0-2)^2\cdot(0+1) \\
f(0)=(a+1)\cdot(-2)^2\cdot1 \\
f(0)=(a+1)\cdot4\cdot1 \\
f(0)=4a+4$$
$$f(1)=(a+1)\cdot(1-2)^2\cdot(1+1) \\
f(1)=(a+1)\cdot(-1)^2\cdot2 \\
f(1)=(a+1)\cdot1\cdot2 \\
f(1)=2a+2$$
Krok 2. Podstawienie obliczonych wartości \(f(0)\) oraz \(f(1)\) do nierówności.
Podstawmy teraz to co przed chwilą wyznaczyliśmy do wskazanej nierówności:
$$f(0)\cdot f(1)\le16 \\
(4a+4)\cdot(2a+2)\le16 \\
8a^2+8a+8a+8\le16 \\
8a^2+16a+8\le16 \\
8a^2+16a-8\le0 \quad\bigg/:2 \\
a^2+2a-1\le0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałej nierówności kwadratowej.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych.
Współczynniki: \(a=1,\;b=2,\;c=-1\)
$$Δ=b^2-4ac=2^2-4\cdot1\cdot(-1)=4-(-4)=4+4=8 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$
$$a_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-1-\sqrt{2} \\
a_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2\cdot1}=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=-1+\sqrt{2}$$
Teraz musimy naszkicować naszą parabolę, zatem nanosimy wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki muszą być zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\)) i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni:
Z rysunku możemy teraz odczytać, że wartości mniejsze od zera są przyjmowane dla \(a\in\langle-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rangle\).
Zadanie 26. (2pkt) Do kwadratu różnicy dwóch dowolnych liczb parzystych dodano różnicę kwadratów tych liczb. Udowodnij, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz równanie do postaci \(2a^2-2ab\) albo \(8\cdot(n^2-m)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do zadania.
Przyjmijmy, że \(a\) oraz \(b\) to liczby parzyste, które są bohaterami naszego zadania. Zazwyczaj liczby parzyste opisujemy jednomianem \(2n\), ale tutaj skoro mogą to być dwie różne liczby, to możemy zapisać sobie, że \(a=2n\) oraz \(b=2m\), gdzie \(n\) oraz \(m\) są liczbami całkowitymi.
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie równania.
Zgodnie z treścią zadania interesuje nas następujące działanie:
$$(a-b)^2+a^2-b^2= \\
=a^2-2ab+b^2+a^2-b^2= \\
=2a^2-2ab$$
Podstawiając teraz \(a=2n\) oraz \(b=2m\) otrzymamy:
$$2\cdot(2n)^2-2ab=2\cdot4n^2-2\cdot2n\cdot2m=8n^2-8nm=8n\cdot(n-m)$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Powiedzieliśmy sobie, że \(n\) oraz \(m\) to liczby całkowite. Różnica liczb całkowitych \(n-m\) jest liczbą całkowitą. Jeżeli tą całkowitą liczbę pomnożymy jeszcze przez \(n\) stojące przed nawiasem, to cały czas będziemy mieć całkowity wynik. W związku z tym, że na początku wyrażenia znalazła się jeszcze ósemka, a cała reszta jest liczbą całkowitą, to mamy dowód, że otrzymana liczba jest podzielna przez \(8\).
Zadanie 27. (2pkt) Dany jest trójkąt o bokach długości \(a\), \(b\) i \(c\). Uzasadnij, że suma obwodów kół o średnicach \(a\) i \(b\) jest większa od obwodu koła o średnicy \(c\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz obwody kół i zapiszesz, że np. \(πa+πb\gt πc\), ale nie uzasadnisz dlaczego tak się dzieje.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wzorów na obwód koła.
Standardowo obwód koła obliczamy ze wzoru \(Obw=2πr\). W tym zadaniu skorzystamy z jednej z odmian tego wzoru, bo operować będziemy na długościach średnicy, a nie długości promienia. Skoro każdy promień ma długość \(2r\), to wzór na obwód koła możemy zapisać jako \(Obw=πd\) (gdzie \(d\) to długość średnicy).
Podstawmy zatem do tego wzoru poszczególne długości średnic. Suma obwodów kół o średnicach \(a\) oraz \(b\) będzie równa:
$$Obw_{a+b}=πa+πb=π(a+b)$$
Suma obwodu koła o średnicy \(c\) będzie równa:
$$Obw_{c}=πc$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Jedną z własności trójkątów jest to, że suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku (w przeciwnym wypadku nie da się stworzyć trójkąta). Możemy więc powiedzieć, że z własności trójkątów wynika, że \(a+b\gt c\). To właśnie dlatego \(π(a+b)\) jest większe od \(πc\), co należało udowodnić.
Zadanie 28. (2pkt) Na trójkącie opisano okrąg. Wierzchołki trójkąta podzieliły ten okrąg na łuki, których długości pozostają w stosunku \(10:6:4\). Odczytaj z tablic i zapisz przybliżoną wartość cosinusa najmniejszego kąta tego trójkąta.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miarę poszukiwanego kąta (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Aby dobrze zrozumieć istotę tego zadania to narysujmy sobie taki prowizoryczny okrąg z zaznaczonym trójkątem:
Najmniejszym kątem w tym trójkącie jest zaznaczony na zielono kąt \(β\). Tutaj kluczem do rozwiązania zadania jest dostrzeżenie, że ten kąt opiera się na tym samym łuku co kąt środkowy \(α\), którego miarę jesteśmy w stanie obliczyć.
Krok 2. Obliczenie miary kąta środkowego \(α\).
Z powyższego rysunku wynika, że cały łuk ma długość \(10+6+4=20\) jednostek. Najmniejszy kąt środkowy jest oparty na \(4\) jednostkach z \(20\), zatem jego miara będzie równa \(\frac{4}{20}\) kąta pełnego, czyli:
$$α=\frac{4}{20}\cdot360°=72°$$
Krok 3. Obliczenie miary kąta wpisanego β.
Z własności kątów środkowych i wpisanych, które są oparte na tym samym łuku wiemy, że miara kąta wpisanego będzie dwukrotnie mniejsza od miary kąta środkowego, zatem:
$$β=72°:2 \\
β=36°$$
Krok 4. Podanie przybliżonej wartości cosinusa kąta \(β\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać przybliżoną wartość cosinusa naszego kąta \(β\). Z tablic możemy odczytać, że:
$$cos36°\approx0,8090\approx0,81$$
Zadanie 29. (3pkt) Dwa przystające okręgi: jeden o środku \(P=(4,5)\), drugi o środku \(Q=(8,9)\), są styczne zewnętrznie. Zapisz równanie osi symetrii figury złożonej z tych okręgów, nieprzechodzącej przez ich środki.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz środek odcinka \(PQ\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz środek odcinka \(PQ\) (patrz: Krok 2.) oraz wyznaczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro okręgi są przystające to znaczy, że mamy tak naprawdę dwa identyczne okręgi (o tej samej długości promienia). Zaznaczając w układzie współrzędnych dane z treści zadania otrzymamy następującą sytuację:
Krok 2. Wyznaczenie środka odcinka \(PQ\).
Skoro okręgi są przystające to punkt styczności \(S\) jest środkiem odcinka \(PQ\), bo \(PS=r\) oraz \(SQ=r\). Za chwilę współrzędne tego punktu przydadzą nam się do dalszych obliczeń, zatem już teraz możemy sobie wyznaczyć jego współrzędne, korzystając ze wzoru dostępnego w tablicach matematycznych:
$$S=\left(\frac{x_{P}+x_{Q}}{2};\frac{y_{P}+y_{Q}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{4+8}{2};\frac{5+9}{2}\right) \\
S=\left(\frac{12}{2};\frac{14}{2}\right) \\
S=(6;7)$$
Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(PQ\).
Za chwilę będziemy poszukiwać równania prostej prostopadłej do prostej \(PQ\), zatem przyda nam się znajomość współczynnika kierunkowego prostej \(PQ\). Oczywiście możemy wyznaczyć sobie całe równanie prostej \(PQ\) (np. metodą układu równań), ale nam tak naprawdę potrzebny będzie tylko ten współczynnik kierunkowy, który obliczymy ze wzoru:
$$a=\frac{y_{Q}-y_{P}}{x_{Q}-x_{P}} \\
a=\frac{9-5}{8-4} \\
a=\frac{4}{4} \\
a=1$$
Krok 4. Wyznaczenie równania osi symetrii.
Oś symetrii zapiszemy w postaci kierunkowej \(y=ax+b\). Ustalmy najpierw jaki jest współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej. Jest to prosta prostopadła do prostej \(PQ\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc prosta \(PQ\) ma \(a=1\), to oś symetrii musi mieć ten współczynnik równy \(-1\), bo \(-1\cdot1=-1\). Wiemy już zatem, że oś symetrii będzie wyrażać się równaniem \(y=-1x+b\), czyli \(y=-x+b\). Do ustalenia pozostał nam jeszcze współczynnik \(b\), a jego wartość poznamy podstawiając współrzędne punktu \(S=(6;7)\), przez który ta oś przechodzi:
$$y=-x+b \\
7=-6+b \\
b=13$$
To oznacza, że oś symetrii możemy opisać równaniem \(y=-x+13\).
Zadanie 30. (4pkt) W pojemniku znajdują się koperty ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi od \(100\) do \(999\), przy czym każda koperta ma inny numer. Z pojemnika losowo wybieramy jedną kopertę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania koperty oznaczonej liczbą parzystą, w której co najmniej jedna cyfra jest czwórką. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że jest \(450\) liczb trzycyfrowych parzystych.
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz obliczysz liczbę zdarzeń niesprzyjających (Krok 2. - II sposób).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz, że można policzyć oddzielnie ilość liczb z jedną, dwiema i trzema czwórkami i poprawnie obliczysz przynajmniej część z tych zdarzeń sprzyjających (np. tych w których jest tylko jedna czwórka lub dwie czwórki) (Krok 2. - I sposób).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy podczas obliczania pomylisz się o jedno zdarzenie elementarne (np. pisząc, że liczb trzycyfrowych jest \(899\)), ale cała reszta jest zrobiona poprawnie.
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy przy zliczaniu zdarzeń sprzyjających, ale cała reszta jest zrobiona poprawnie.
ALBO
• Gdy nie przedstawisz wyniku w postaci ułamka nieskracalnego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Nasze losowanie polega na tym, że losujemy jedną z kilkuset dostępnych kopert. Musimy więc teraz dobrze ustalić ile jest tych wszystkich kopert (czyli ile tak naprawdę jest liczb trzycyfrowych), bo wbrew pozorom nie będzie ich \(999-100=899\). To bardzo często popełniany błąd w tego typu zadaniach. Tak jak liczb np. od \(1\) do \(10\) nie jest \(10-1=9\), tylko \(10\), tak naszych kopert będziemy mieć \(900\). Możemy więc zapisać, że \(|Ω|=900\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniami sprzyjającymi (czyli takimi, które spełniają warunki naszego zadania) będą wszystkie te liczby które są parzyste i które mają przynajmniej jedną czwórkę. Obliczenie ile jest takich liczb może sprawiać problemy, bo nie jest to takie proste do wyznaczenia. Rozpiszmy więc sobie wszystko bardzo dokładnie:
I sposób - analizując poszczególne możliwości.
Zacznijmy od rozpisania sytuacji w których jest tylko jedna czwórka w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić w rzędzie setek \(4■■\). Wtedy w rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu pozostałych cyfr (\(0,1,2,3,5,6,7,8,9\), czyli bez czwórki), a w rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\), bo liczba musi być parzysta). To oznacza, że tutaj zgodnie z regułą mnożenia będziemy mieć \(1\cdot9\cdot4=36\) zdarzeń sprzyjających.
2. Czwórka może wystąpić w rzędzie dziesiątek \(■4■\). W takiej sytuacji w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra, oprócz \(4\) oraz \(0\), bo nie ma takich liczb jak \(042\)). W rzędzie jedności możemy mieć jedną z czterech cyfr (\(2,6,8,0\)). Zgodnie z regułą mnożenia mamy więc \(8\cdot1\cdot4=32\) zdarzenia sprzyjające.
3. Czwórka może wystąpić w rzędzie jedności \(■■4\). Tutaj w rzędzie setek możemy mieć jedną z ośmiu cyfr (pasuje każda cyfra oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (każda oprócz \(4\)). W związku z tym mamy tutaj \(8\cdot9\cdot1=72\) zdarzenia sprzyjające.
Teraz policzmy ile jest zdarzeń w których mamy dwie czwórki w całym zapisie:
1. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i dziesiątek \(44■\). Tutaj cyfrą jedności może być być jedna z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). Mamy zatem \(4\) zdarzenia sprzyjające.
2. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie setek i jedności \(4■4\). Tutaj cyfrą dziesiątek może być jedna z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). Mamy zatem \(9\) zdarzeń sprzyjających.
3. Czwórka może wystąpić jednocześnie w rzędzie dziesiątek i jedności \(■44\). Tutaj cyfrą setek może być jedna z ośmiu cyfr (bez \(0\) oraz bez \(4\)). Mamy zatem \(8\) zdarzeń sprzyjających.
No i jest jeszcze jedna możliwość, czyli wszystkie cyfry naszej liczby są równe \(4\), dzięki czemu powstanie liczba \(444\). Mamy więc jeszcze jedną dodatkową możliwość.
W związku z tym wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=36+32+72+4+9+8+1=162$$
II sposób - nieco sprytniejszy, opierający się na tym ile zdarzeń nie jest sprzyjających.
Jak widać powyżej, obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających było dość trudne i bardzo łatwo jest tutaj o pomyłkę. Okazuje się, że znacznie szybciej dałoby się policzyć ile zdarzeń NIE jest sprzyjających.
1. Na pewno zdarzeniami niesprzyjającymi są wszystkie liczby nieparzyste, które stanowią połowę wszystkich zdarzeń elementarnych. Takich zdarzeń będzie więc \(450\).
2. Liczby nieparzyste odkładamy już na bok i ich nie analizujemy. Wśród pozostałych zdarzeń (czyli wśród liczb parzystych) zdarzeniami niesprzyjającymi będą teraz te liczby w których nie użyto cyfry \(4\). W takich liczbach w rzędzie setek możemy mieć więc \(8\) różnych cyfr (wszystkie cyfry oprócz \(4\) oraz \(0\)). W rzędzie dziesiątek możemy mieć jedną z dziewięciu cyfr (wszystkie oprócz \(4\)). W rzędzie jedności będziemy mieć jedną z czterech cyfr (\(0,2,6,8\)). To oznacza, że parzystych liczb w których nie ma czwórki będzie łącznie \(8\cdot9\cdot4=288\).
W związku z tym wszystkich zdarzeń niesprzyjających mamy \(450+288=738\). Skoro zdarzeń elementarnych mamy \(900\), a zdarzeń niesprzyjających jest \(738\), to zdarzeń sprzyjających będziemy mieć:
$$|A|=900-738=162$$
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{162}{900}=\frac{18}{100}=\frac{9}{50}$$
Zadanie 31. (5pkt) Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(1\), a dwudziesty wyraz tego ciągu jest równy \(13\). Oblicz sumę tych wszystkich wyrazów ciągu, które są mniejsze od \(33\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie zapiszesz układ równań (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu i różnicy ciągu (patrz: Krok 1.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz nierówność z której można wyznaczyć liczbę wyrazów mniejszych od \(33\) (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy poprawnie zinterpretujesz, że jest \(49\) wyrazów mniejszych od \(33\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu i różnicy ciągu.
Korzystając ze wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r \\
a_{20}=a_{1}+19r$$
Wiemy, że wartość \(a_{2}=1\) oraz że \(a_{20}=13\). Układając więc z tych wszystkich informacji układ równań będziemy w stanie obliczyć wartość \(a_{1}\) oraz \(r\):
$$\begin{cases}
a_{1}+r=1 \\
a_{1}+19r=13
\end{cases}$$
Ten układ równań możemy rozwiązać na dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu odjąć te dwa równania stronami, otrzymując:
$$-18r=-12 \\
r=\frac{2}{3}$$
Znając wartość różnicy ciągu możemy już bez przeszkód obliczyć wartość \(a_{1}\) podstawiając \(r=\frac{2}{3}\) do jednego z równań (np. pierwszego):
$$a_{1}+r=1 \\
a_{1}+\frac{2}{3}=1 \\
a_{1}=\frac{1}{3}$$
Krok 2. Zapisanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego i znając wartość \(a_{1}=\frac{1}{3}\) oraz \(r=\frac{2}{3}\) możemy zapisać, że wzorem ogólnym naszego ciągu arytmetycznego jest:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{n}=\frac{1}{3}+(n-1)\cdot\frac{2}{3} \\
a_{n}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}n-\frac{2}{3} \\
a_{n}=\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie liczby wyrazów, które są mniejsze od \(33\).
Chcąc się dowiedzieć ile wyrazów jest mniejszych od \(33\) musimy rozwiązać prostą nierówność:
$$\frac{2}{3}n-\frac{1}{3}\lt33 \quad\bigg/\cdot3 \\
2n-1\lt99 \\
2n\lt100 \\
n\lt50$$
Otrzymany wynik oznacza, że dopóki \(n\) jest mniejsze od \(50\), to wartość ciągu jest mniejsza od \(33\). To oznacza, że będziemy mieć \(49\) wyrazów mniejszych od \(33\) (będą to wyrazy od pierwszego do czterdziestego dziewiątego).
Krok 4. Obliczenie sumy \(49\) wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do obliczenia poszukiwanej sumy skorzystamy ze wzoru:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Znamy wszystkie potrzebne wartości, zatem podstawiając \(a_{1}=\frac{1}{3}\), \(r=\frac{2}{3}\) oraz \(n=49\) otrzymamy:
$$S_{49}=\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+(49-1)\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49 \\
S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+48\cdot\frac{2}{3}}{2}\cdot49 \\
S_{49}=\frac{\frac{2}{3}+32}{2}\cdot49 \\
S_{49}=\frac{32\frac{2}{3}}{2}\cdot49 \\
S_{49}=16\frac{1}{3}\cdot49 \\
S_{49}=800\frac{1}{3}$$
Zadanie 32. (5pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(10\) (rysunek niżej). Przez środki krawędzi \(AB\), \(AD\) i \(AE\) poprowadzono płaszczyznę \(p\), a przez wierzchołki \(B\), \(D\) i \(E\) − płaszczyznę \(q\) (rys.). Oblicz różnicę wysokości powstałych ostrosłupów o wspólnym wierzchołku \(A\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że ostrosłupy \(KLMA\) i \(BEDA\) są prawidłowe, czyli że mają w podstawie trójkąt równoboczny.
2 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że objętość ostrosłupa \(KLMA\) da się obliczyć na dwa sposoby, obracając całą bryłę - raz gdy w podstawie jest trójkąt \(AKM\) i drugi raz gdy w podstawie jest trójkąt \(MKL\).
3 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz wysokość jednego z ostrosłupów (patrz: Krok 3. lub Krok 5.).
4 pkt
• Gdy poprawnie wyznaczysz wysokość obydwu ostrosłupów (patrz: Krok 3. oraz Krok 5.).
ALBO
• Gdy końcowy wynik jest niepoprawny jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Uwaga: To zadanie jest bardzo nieprecyzyjne. Można odnieść wrażenie, że pytają się nas w zadaniu o to jaka jest różnica między odcinkiem \(AE\) oraz \(AL\), bo są to jak najbardziej wysokości powstałych ostrosłupów, które padają na podstawy \(AKM\) oraz \(ABD\). Zarówno jeden jak i drugi ostrosłup ma wierzchołek w punkcie \(A\), więc wszystko jest zgodne z treścią zadania. Jak tak byśmy podeszli do zadania, to wysokości ostrosłupów są bardzo proste do policzenia, bowiem \(|AE|=10\), a skoro \(L\) jest środkiem odcinka \(AE\) to \(|AL|=5\). Różnica wysokości wyniosłaby więc \(5\).
Nieprecyzyjność tego zadania wynika z tego, że intencją autora było to, że wierzchołek \(A\) uznano za "górny wierzchołek", czyli że te dwa ostrosłupy powinny być obrócone w taki sposób, że w podstawie pierwszego znajduje się trójkąt \(MKL\), a w podstawie drugiego znajduje się trójkąt \(BDE\). Wtedy wysokość poprowadzona z wierzchołka \(A\) padałaby na te dwie płaszczyzny.
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z głównych trudności w tym zadaniu jest prawidłowe odszukanie poszukiwanych ostrosłupów (o czym wspomniałem powyżej). Narysujmy więc sobie te dwa ostrosłupy oddzielnie i zróbmy to od razu tak, jak zazwyczaj rysujemy ostrosłupy (czyli podstawy \(MKL\) oraz \(DBE\) na dole, a wierzchołek \(A\) na górze).
Krok 2. Obliczenie długości boków \(BD\), \(BE\) oraz \(DE\).
Jak spojrzymy się na rysunek z treści zadania to możemy zauważyć, że boki \(BD\), \(BE\) oraz \(DE\) są przekątnymi kwadratów, które znalazły się w podstawie lub ścianie bocznej sześcianu. Z własności kwadratów wiemy, że przekątne kwadratów o boku \(a\) mają długość \(a\sqrt{2}\). Skoro więc krawędź kwadratu ma długość \(10\), to wszystkie te trzy boki będą miały długość \(10\sqrt{2}\).
Krok 3. Obliczenie wysokości dużego ostrosłupa.
Zacznijmy od policzenia wysokości dużego ostrosłupa. Tutaj też możemy sporządzić prosty rysunek, zaznaczając przy okazji trójkąt prostokątny z którego obliczymy poszukiwaną wysokość:
Widzimy wyraźnie, że dolna przyprostokątna naszego trójkąta prostokątnego ma długość \(\frac{2}{3}\) wysokości trójkąta równobocznego, który znalazł się w podstawie. Wysokość takich trójkątów obliczamy ze wzoru \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$BP=\frac{2}{3}h_{p} \\
BP=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
BP=\frac{2}{3}\cdot\frac{10\sqrt{2}\sqrt{3}}{2} \\
BP=\frac{10\sqrt{6}}{3}$$
Teraz znając dwie długości boków w trójkącie prostokątnym \(BPA\) możemy bez problemu obliczyć poszukiwaną wysokość z Twierdzenia Pitagorasa:
$$\left(\frac{10\sqrt{6}}{3}\right)^2+H^2=10^2 \\
\frac{100\cdot6}{9}+H^2=100 \\
\frac{600}{9}+H^2=\frac{900}{9} \\
H^2=\frac{300}{9} \\
H^2=\frac{100}{3} \\
H=\sqrt{\frac{100}{3}} \quad\lor\quad H=-\sqrt{\frac{100}{3}}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{\frac{100}{3}}\), co możemy jeszcze uprościć do następującej postaci:
$$H=\sqrt{\frac{100}{3}} \\
H=\frac{10}{\sqrt{3}} \\
H=\frac{10\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$
Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa ostrosłupów.
Jeżeli spojrzymy na nasze ostrosłupy, które narysowaliśmy sobie w pierwszym kroku, to powinniśmy dostrzec, że są one ostrosłupami podobnymi, bo każdy wymiar drugiego ostrosłupa jest dwukrotnie mniejszy od wymiaru pierwszego ostrosłupa. Jeżeli więc potraktujemy pierwszy ostrosłup jako bryłę podstawową, a drugi jako bryłę podobną, bo możemy zapisać, że skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\).
Krok 5. Obliczenie wysokości małego ostrosłupa.
Skoro skala podobieństwa tych ostrosłupów jest równa \(k=\frac{1}{2}\), to także wysokość małego ostrosłupa będzie dwukrotnie mniejsza od wysokości ostrosłupa dużego. W związku z tym:
$$H_{m}=\frac{1}{2}H \\
H_{m}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
H_{m}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$
Krok 6. Obliczenie różnicy między wysokością dużego i małego ostrosłupa.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze obliczyć różnicę wysokości dwóch ostrosłupów, zatem:
$$H-H_{m}=\frac{10\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}$$
Poprzednie
Zakończ
Następne