Matura próbna – Matematyka – Nowa Era 2016

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy prawidłowo obliczysz miejsca zerowe wielomianu (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy poprawnie narysujesz wykresy funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie nierówności kwadratowej.
Skoro funkcja \(f(x)\) ma przyjmować większe wartości niż funkcja \(g(x)\), to musi zajść następująca nierówność:
$$\frac{1}{2}x^2+2x+2\gt-x+2 \\
\frac{1}{2}x^2+3x\gt0 \quad\bigg/\cdot2 \\
x^2+6x\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam klasyczna nierówność kwadratowa, której rozwiązywanie zaczniemy od wyznaczenia miejsc zerowych. Musimy więc sprawdzić kiedy \(x^2+6x\) jest równe \(0\), zatem:
$$x^2+6x=0 \\
x\cdot(x+6)=0 \\
x=0 \quad\lor\quad x=-6$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=0\) oraz \(x=-6\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-6)\cup(0;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wszystkie rozwiązania równania, łącznie z \(x=-m\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie rozwiązań równania.
Korzystając z własności postaci iloczynowej możemy przyrównać poszczególne wyrażenia do zera, otrzymując:
$$x=0 \quad\lor\quad 3x-6=0 \quad\lor\quad x^3+27=0 \quad\lor\quad x+m=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 3x=6 \quad\lor\quad x^3=-27 \quad\lor\quad x=-m \\
x=0 \quad\lor\quad x=2 \quad\lor\quad x=-3 \quad\lor\quad x=-m$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Chcemy, by nasze równanie miało trzy różne rozwiązania. Widzimy, że otrzymaliśmy już trzy konkretne wartości \(x=0, x=2, x=-3\), a to oznacza, że całe równanie będzie miało trzy rozwiązania tylko wtedy, gdy równanie \(x=-m\) "zdubluje się" z otrzymanym już wynikiem. Możemy więc zapisać, że równanie ma trzy rozwiązania, gdy (uwaga na znaki!):
$$m=0 \quad\lor\quad m=-2 \quad\lor\quad m=3$$

Możemy nawet zapisać, że \(m\in\{-2,0,3\}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór funkcji (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz ilość ryb po trzech latach (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji.
Przeanalizujmy sobie całą sytuację:
Po upływie roku populacja wyniesie: \(p_{1}=50000\cdot0,7\)
Po upływie dwóch lat populacja wyniesie: \(p_{2}=50000\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^2\)
Po upływie trzech lat populacja wyniesie: \(p_{3}=50000\cdot0,7\cdot0,7\cdot0,7=50000\cdot(0,7)^3\)
I tutaj możemy dostrzec już pewną prawidłowość, dzięki której będziemy w stanie zapisać, że po upływie \(t\) lat populacja wyniesie: \(p_{t}=50000\cdot(0,7)^t\)

Krok 2. Obliczenie ilości ryb po trzech latach.
Korzystając z uzyskanego wzoru lub z fragmentu naszej analizy możemy zapisać, że po upływie trzech lat liczba ryb wyniesie:
$$p_{3}=50000\cdot(0,7)^3 \\
p_{3}=50000\cdot0,343 \\
p_{3}=17150$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz wyrażenie do postaci \(4\cdot(p-1)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie wyrażenia na podstawie treści zadania.
Jeżeli przyjmiemy, że \(p\) jest dowolną liczbą pierwszą, to liczbą o dwa od niej mniejszą będzie liczba \(p-2\). W związku z tym skoro interesuje nas różnica kwadratów tych dwóch liczb, to musimy sprawdzić wartość wyrażenia:
$$p^2-(p-2)^2$$

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy powyższe wyrażenie rozpisać jako:
$$p^2-(p^2-4p+4)=p^2-p^2+4p-4=4p-4=4\cdot(p-1)$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Skoro liczba \(p\) jest tak zwaną liczbą pierwszą i \(p\gt2\) (bo tak wynika z treści zadania), to na pewno jest to liczba nieparzysta (bo wszystkie liczby pierwsze oprócz dwójki są nieparzyste). Skoro tak, to liczba \(p-1\) (która znalazła się w nawiasie naszego przekształconego wyrażenia) będzie liczbą parzystą. Na matematyce liczby parzyste zapisujemy jako \(2n\), gdzie \(n\) jest liczbą nieparzystą. Nasze wyrażenie moglibyśmy więc zapisać jako:
$$4\cdot2n=8n$$

Otrzymany w ten sposób wynik dowodzi, że ta liczba musi być podzielna przez \(8\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(CDS\) oraz \(ABS\) i wyznaczysz skalę ich podobieństwa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy na trójkąty \(ABS\) oraz \(CDS\). Są to trójkąty podobne i wiemy to na podstawie cechy kąt-kąt-kąt, co wynika wprost z własności kątów naprzemianległych oraz wierzchołkowych.


Krok 2. Obliczenie skali podobieństwa.
Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(CDS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|AB|}{|CD|}$$

Z treści zadania wynika, że \(|AB|=2|CD|\), zatem:
$$k=\frac{2|CD|}{|CD|} \\
k=2$$

Uwaga: Gdybyśmy przyjęli, że trójkąt \(ABS\) jest podstawowy, a trójkąt \(CDS\) jest podobny, to skala podobieństwa będzie równa \(k=\frac{1}{2}\) i jest to jak najbardziej poprawny tok rozwiązywania zadania. Różnica jest tylko taka, że w dalszych krokach trzeba konsekwentnie odnosić się do wybranej przez siebie figury podobnej.

Krok 3. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Zaznaczmy na rysunku poszukiwaną odległość punktu \(S\) od ramienia \(AD\) i zobaczmy co nam w tym momencie powstanie:


Tutaj kluczową obserwacją jest to, co wynika ze skali podobieństwa \(k=2\). Jeżeli wysokość trójkąta \(CDS\) ma długość \(h\), to wysokość trójkąta \(ABS\) będzie dwukrotnie dłuższa, czyli wyniesie \(2h\). To z kolei prowadzi nas do wniosku, że odcinek \(AD\) ma miarę równą \(h+2h=3h\).

Krok 4. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów.
Spójrzmy teraz na trójkąty \(ABD\) oraz \(PSD\). Te trójkąty są także podobne (wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bowiem odcinek \(PS\) jest równoległy do odcinka \(AB\)). Jeżeli więc odcinek \(PD\) jest trzykrotnie krótszy od odcinka \(AD\), to odcinek \(PS\) będzie także trzykrotnie krótszy od odcinka \(AB\).

Możemy to nawet zapisać matematycznie w formie proporcji. Jeżeli przyjmiemy, że trójkąt \(ABD\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(PSD\) jest trójkątem podobnym, to skala podobieństwa wyniesie:
$$k=\frac{|PD|}{|AD|} \\
k=\frac{h}{3h} \\
k=\frac{1}{3}$$

Z tego też względu każdy odcinek trójkąta podobnego \(PSD\) jest trzykrotnie krótszy od odpowiadającemu mu odcinkowi trójkąta podstawowego \(ABD\), zatem \(|PS|=\frac{1}{3}|AB|\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(BC\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania jest dostrzeżenie, że proste \(BC\) oraz \(AD\) są względem siebie równoległe. Jeżeli więc wyznaczymy współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\) (a nie jest to trudne, bo znamy współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\)), to będziemy bardzo blisko odnalezienia równania prostej przechodzącej przez przekątną \(AD\).

Oczywiście możemy wyznaczyć całe równanie prostej \(BC\) (np. z metody układu równań), ale nam wystarczy poznanie współczynnika \(a\) tej prostej, a dokonamy tego za pomocą prostego wzoru:
$$a=\frac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}} \\
a=\frac{3-0}{\sqrt{3}-0} \\
a=\frac{3}{\sqrt{3}} \\
a=\frac{3\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
a=\frac{3\sqrt{3}}{3} \\
a=\sqrt{3}$$

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(AD\).
Wiemy, że prosta \(AD\) jest równoległa do prostej \(BC\), zatem współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej będzie równy \(\sqrt{3}\). Możemy więc powiedzieć, że nasza prosta będzie się wyrażać równaniem \(y=\sqrt{3}x+b\). Musimy jeszcze poznać wartość współczynnika \(b\), a dokonamy tego podstawiając współrzędne punktu przez które ta prosta przechodzi, czyli punktu \(A=(-2\sqrt{3},0)\):
$$y=\sqrt{3}x+b \\
0=\sqrt{3}\cdot(-2\sqrt{3})+b \\
0=-2\cdot3+b \\
b=6$$

Skoro współczynnik \(b=6\), to nasza prosta \(AD\) wyraża się równaniem \(y=\sqrt{3}x+6\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz ciąg geometryczny i obliczysz wartość pierwszego wyrazu tego ciągu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie ciągu geometrycznego.
Patrząc się na opisaną sytuację powinniśmy dostrzec, że długości boków kolejnych kwadratów układają się w ciąg geometryczny w którym \(a_{4}=8\) (bo czwarty kwadrat ma długość boku równą \(8\)) oraz \(q=2\) (bo każdy kolejny kwadrat jest dwukrotnie większy).

Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Za chwilę do naszych obliczeń będziemy potrzebować wartości pierwszego wyrazu, zatem już teraz możemy ją wyznaczyć. Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego otrzymamy, że:
$$a_{4}=a_{1}\cdot q^3$$

Skoro \(a_{4}=8\) oraz \(q=2\), to:
$$8=a_{1}\cdot 2^3 \\
8=a_{1}\cdot8 \\
a_{1}=1$$

Krok 3. Obliczenie długości poszukiwanej łamanej.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
$$S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$$

Jest jednak pewne zastrzeżenie, które musimy sobie zrobić i to jest chyba główna pułapka w tym zadaniu. Jak podstawimy sobie do powyższego wzoru \(n=10\) to otrzymamy tak naprawdę informację o tym jaka jest suma długości pojedynczych boków pierwszych dziesięciu kwadratów (czyli tak na chłopski rozum dowiemy się ile to jest \(1+2+4+8+...\)). Tymczasem na naszą łamaną składają się aż trzy boki każdego kwadratu, zatem nas interesowałoby poznanie długości \(1+1+1+2+2+2+4+4+4+8+8+8...\) Z tego też względu długość naszej łamanej (oznaczmy ją sobie jako \(L\)) będzie trzykrotnie dłuższa od obliczonego \(S_{10}\). Całość możemy rozpisać następująco:
$$L=3\cdot S_{10} \\
L=3\cdot a_{1}\cdot\frac{1-q^{10}}{1-q} \\
L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
L=3\cdot1\cdot\frac{1-2^{10}}{1-2} \\
L=3\cdot\frac{1-1024}{-1} \\
L=3\cdot1023 \\
L=3069$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wypiszesz cztery komplety "trójek" z których da się ułożyć sprzyjające zdarzenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz wypiszesz cztery komplety "trójek" z których da się ułożyć sprzyjające zdarzenia (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz (lub wypiszesz) liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Skoro kule losowane są bez zwracania i losujemy trzy kule, to za pierwszym razem możemy wyciągnąć jedną z pięciu kul, za drugim razem jedną z czterech kul (bo jedna jest już odrzucona), a za trzecim razem jedną z trzech kul (bo dwie są już odrzucone). To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć \(|Ω|=5\cdot4\cdot3=60\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającymi zdarzeniami są wszystkie te sytuacje w których wylosowana liczba jest podzielna przez \(3\). Aby liczba była podzielna przez \(3\) to suma jej cyfr musi być podzielna przez \(3\). Musimy się więc najpierw zastanowić jakie komplety trzech cyfr dadzą nam oczekiwaną sumę. Przy okazji trzeba pamiętać, że liczby nie mogą się powtarzać (bo losowanie jest bez zwracania). W związku z tym pasującymi kompletami będą:
$$\{1,2,3\}, \{1,2,6\}, \{1,2,9\}, \{3,6,9\}$$

Ale to nie koniec. To, że mamy cztery komplety takich cyfr nie kończy obliczania liczby zdarzeń sprzyjających, bo tak przykładowo z kompletu cyfr \(1,2,3\) możemy otrzymać np. \(123, 132, 321\) i inne. Musimy się więc jeszcze zastanowić ile liczb z każdej takiej "trójki" cyfr możemy ułożyć. Z reguły mnożenia wynika, że z każdej takiej trójki ułożymy \(3\cdot2\cdot1=6\) liczb. Skoro mamy cztery takie komplety trójek, to łącznie wszystkich zdarzeń sprzyjających będziemy mieć \(4\cdot6=24\), stąd też możemy napisać, że \(|A|=24\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{24}{60}=\frac{2}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne wierzchołka \(C\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne środka odcinka \(AC\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Rozwiązywanie zadania rozpocznijmy od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia na nim danych z treści zadania:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Z rysunku wynika, że prosta o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\) przechodzi przez bok \(AC\). Widzimy też, że prosta \(BC\) jest prostopadła do tej prostej, a to pozwoli nam wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(BC\). Dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma \(a=\frac{1}{3}\), to druga prosta będzie mieć \(a=-3\), bo \(\frac{1}{3}\cdot(-3)=-1\). To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się wzorem \(y=-3x+b\). Do poznania pełnego wzoru musimy jeszcze tylko wyznaczyć współczynnik \(b\) tej prostej.

Współczynnik \(b\) prostej \(BC\) wyznaczymy podstawiając do postaci \(y=-3x+b\) współrzędne jednego z punktów, który do tej prostej należy. Podstawiając zatem współrzędne punktu \(B=(7,-2)\) otrzymamy:
$$y=-3x+b \\
-2=-3\cdot7+b \\
-2=-21+b \\
b=19$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-3x+19\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostej \(AC\) oraz prostej \(BC\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że tworząc układ równań składający się z dwóch prostych otrzymamy miejsce ich przecięcia się. W związku z tym musimy rozwiązać następujący układ równań:
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3} \\
y=-3x+19
\end{cases}$$

Ten układ równań najprościej będzie rozwiązać korzystając z metody podstawiania. Otrzymamy wtedy:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=-3x+19 \\
3\frac{1}{3}x=16\frac{2}{3} \\
\frac{10}{3}x=\frac{50}{3} \\
x=5$$

Znamy już wartość współrzędnej iksowej punktu \(C\), a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając \(x=5\) do dowolnego z równań (np. drugiego), zatem:
$$y=-3x+19 \\
y=-3\cdot5+19 \\
y=-15+19 \\
y=4$$

To oznacza, że \(C=(5;4)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(AC\), zatem korzystając ze wzoru na środek odcinka wyjdzie nam, że:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{C}}{2};\frac{y_{A}+y_{C}}{2}\right) \\
S=\left(\frac{-4+5}{2};\frac{1+4}{2}\right) \\
S=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$$

Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(BS\).
Znając współrzędne punktu \(B=(7,-2)\) oraz \(S=\left(\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)\) możemy bez problemu obliczyć poszukiwaną długość odcinka \(BS\):
$$|BS|=\sqrt{(x_{S}-x_{B})^2+(y_{S}-y_{B})^2} \\
|BS|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}-7\right)^2+\left(\frac{5}{2}-(-2)\right)^2} \\
|BS|=\sqrt{\left(-6\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}+2\right)^2} \\
|BS|=\sqrt{\left(-\frac{13}{2}\right)^2+\left(\frac{9}{2}\right)^2} \\
|BS|=\sqrt{\frac{169}{4}+\frac{81}{4}} \\
|BS|=\sqrt{\frac{250}{4}} \\
|BS|=\sqrt{\frac{25\cdot10}{4}} \\
|BS|=\frac{5\sqrt{10}}{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz poszukiwany przekrój (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy korzystając ze wzoru na pole trójkąta poprawnie zapiszesz równanie typu \(\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4)=48\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(BD\), czyli przekątnej podstawy (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale nie zaznaczysz na rysunku poszukiwanego przekroju.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Na początek nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i przy okazji wykonajmy jeden z celów tego zadania, czyli zaznaczmy poszukiwaną figurę:


Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(BD\).
Odcinek \(BD\) jest podstawą naszego trójkąta, który znalazł się w przekroju. Jeżeli oznaczymy sobie tę długość jako \(d\), to z treści zadania wynika, że wysokość tego trójkąta \(OC'\) ma długość \(d+4\). Skoro pole trójkąta jest równe \(48\), to otrzymamy następujące równanie:
$$P=\frac{1}{2}ah \\
48=\frac{1}{2}\cdot d\cdot(d+4) \\
48=\frac{1}{2}d^2+2d \quad\bigg/\cdot2 \\
96=d^2+4d \\
d^2+4d-96=0$$

Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, które możemy rozwiązać obliczając klasyczną deltę:
Współczynniki: \(a=1,\;b=4,\;c=-96\)
$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-96)=16-(-384)=16+384=400 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{400}=20$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-20}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12 \\
d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+20}{2\cdot1}=\frac{16}{2}=8$$

Otrzymaliśmy dwie możliwości, ale ujemny wynik musimy odrzucić, bo długość przekątnej podstawy musi być liczbą dodatnią. W związku z tym \(d=8\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(OCC'\). Dolna podstawa będzie miała długość połowy przekątnej (którą przed chwilą wyznaczyliśmy). Możemy nawet zapisać, że:
$$|OC|=\frac{1}{2}d \\
|OC|=\frac{1}{2}\cdot8 \\
|OC|=4$$

Praktycznie znamy też długość przeciwprostokątnej tego trójkąta, bo z treści zadania wynika, że jest ona o \(4\) dłuższa od przekątnej podstawy, zatem:
$$|OC'|=d+4 \\
|OC'|=8+4 \\
|OC'|=12$$

Znając miary dwóch boków trójkąta \(OCC'\) możemy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczyć długość trzeciego boku, który jest jednocześnie wysokością naszego graniastosłupa:
$$|OC|^2+H^2=|OC'|^2 \\
4^2+H^2=12^2 \\
16+H^2=144 \\
H^2=128 \\
H=\sqrt{128} \quad\lor\quad H=-\sqrt{128}$$

Wysokość nie może być oczywiście ujemna, zatem zostaje nam \(H=\sqrt{128}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(H=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt{2}\).

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Wiemy już, że w podstawie znajduje się kwadrat o przekątnej długości \(d=8\). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\sqrt{2}}{2} \\
a=4\sqrt{2}$$

Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=4\sqrt{2}\), wiemy też że wysokość bryły jest równa \(H=8\sqrt{2}\), zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=a^2\cdot H \\
V=(4\sqrt{2})^2\cdot8\sqrt{2} \\
V=16\cdot2\cdot8\sqrt{2} \\
V=256\sqrt{2}$$