Matura próbna – Matematyka – Marzec 2021

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Spróbujmy doprowadzić całość do dobrze znanej nam postaci ogólnej, dzięki czemu będziemy mogli za chwilę skorzystać z delty. Wymnażając więc to co jest po lewej stronie i przenosząc wszystkie wyrazy z prawej na lewą stronę, otrzymamy:
$$3x(x+1)\gt x^2+x+24 \\
3x^2+3x\gt x^2+x+24 \\
2x^2+2x-24\gt0$$

Możemy jeszcze (choć nie musimy) podzielić wszystko przez \(2\), dzięki czemu będziemy bazować na mniejszych liczbach. Otrzymamy wtedy nierówność:
$$x^2+x-12\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=1,\;c=-12\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot1\cdot(-12)=1-(-48)=1+48=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-7}{2\cdot1}=\frac{-8}{2}=-4 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+7}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=1\), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-4\) oraz \(x=3\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz do postaci równania kwadratowego (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie założeń.
Jak to w równaniach wymiernych zazwyczaj bywa - musimy zacząć od wypisania założeń. Wartość w mianowniku nie może być równa zero, stąd też:
$$3x-2\neq0 \\
3x\neq2 \\
x\neq\frac{2}{3}$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązywanie najprościej będzie zacząć od wymnożenia obydwu stron równania przez to, co znalazło się w mianowniku, czyli \(3x-2\), zatem:
$$\frac{6x-1}{3x-2}=3x+2 \quad\bigg/\cdot(3x-2) \\
6x-1=(3x+2)(3x-2)$$

Po prawej stronie otrzymaliśmy mnożenie, w którym możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Możemy więc zapisać, że:
$$6x-1=(3x)^2-2^2 \\
6x-1=9x^2-4 \\
9x^2-6x-3=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem korzystając z delty możemy zapisać, że:
Współczynniki: \(a=9,\;b=-6,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-3)=36-(-108)=36+108=144 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)-12}{2\cdot9}=\frac{6-12}{18}=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-6)+12}{2\cdot9}=\frac{6+12}{18}=\frac{18}{18}=1$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Musimy jeszcze sprawdzić, czy otrzymane wyniki nie wykluczają się z założeniami. W pierwszym kroku zapisaliśmy sobie, że \(x\neq\frac{2}{3}\) i akurat w tym przypadku to założenie nie wpływa na rozwiązanie zadania. Możemy więc zapisać, że rozwiązaniem naszego równania są dwie liczby: \(x=-\frac{1}{3}\) oraz \(x=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąś relację związaną z podobieństwem trójkątów np. \(\frac{a}{b}=\frac{r}{b-r}\) (patrz: Krok 3.) albo \(\frac{a}{b}=\frac{a-r}{r}\) lub inną podobną.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że pole trójkąta jest sumą pól dwóch mniejszych trójkątów (np. jeżeli wierzchołki trójkąta oznaczymy jako ABC, to pole tego trójkąta będzie równe sumie pól AOC oraz ABO).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że promień okręgu tworzy ze styczną kąt prosty. To oznacza, że na rysunku powstanie nam taka oto sytuacja:


Co więcej, możemy w takim razie podpisać dwa odcinki jako \(a-r\) oraz \(b-r\):


Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy teraz zauważyć, że na rysunku mamy tak naprawdę dwa podobne trójkąty prostokątne. Skąd wiemy, że są one podobne? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt (obydwa mają kąt prosty, obydwa mają wspólny kąt ostry między bokiem \(b\) oraz przeciwprostokątną, zatem i trzecia miara kątów musi być wspólna).


Krok 3. Wykorzystanie cech podobieństwa trójkątów.
Korzystając z cech trójkątów podobnych możemy zapisać, że stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta musi być taki sam, jak stosunek długości przyprostokątnych drugiego trójkąta, zatem:
$$\frac{a}{b}=\frac{r}{b-r}$$

Długości boków są zawsze dodatnie, więc bez obaw możemy teraz wykonać mnożenie na krzyż:
$$a\cdot(b-r)=br \\
ab-ar=br \\
ab=ar+br \\
ab=r(a+b) \\
r=\frac{ab}{a+b}$$

Otrzymaliśmy pożądaną postać, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy podniesiesz obie strony równania do kwadratu i otrzymasz postać \(sin^2α+2sinα\cdot cosα+cos^2α=\frac{49}{25}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Do zadania możemy podejść standardowo i korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy wyznaczyć wartości sinusa i cosinusa. Ale istnieje znacznie sprytniejszy sposób na poznanie wartości wyrażenia \(2sinα cosα\). Taki zapis powinien nam się kojarzyć ze wzorami skróconego mnożenia i to będzie właśnie klucz do rozwiązania zadania.

Jeżeli podniesiemy obie strony równania \(sin\alpha+cos\alpha=\frac{7}{5}\) do kwadratu, to otrzymamy:
$$(sinα+cosα)^2=\left(\frac{7}{5}\right)^2$$

Korzystając po lewej stronie ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), otrzymamy:
$$sin^2α+2sinα\cdot cosα+cos^2α=\frac{49}{25}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:
$$sin^2α+cos^2α+2sinα\cdot cosα=\frac{49}{25} \\
1+2sinα\cdot cosα=1\frac{24}{25} \\
2sinα\cdot cosα=\frac{24}{25}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz, że wysokość trójkąta \(BCD\) da się obliczyć z równania \(5^2+h^2=13^2\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABD\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(BCD\) (patrz: Krok 4.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Dorysowując wskazaną w zadaniu przekątną BD otrzymamy tak naprawdę dwa trójkąty - prostokątny \(ABD\) oraz równoramienny \(BCD\).


Chcąc poznać pole całego czworokąta, musimy poznać pola tych dwóch trójkątów.

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABD\).
Tutaj sprawa jest prosta - korzystamy ze standardowego wzoru na pole trójkąta:
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}ah \\
P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot13\cdot10 \\
P_{ABD}=65$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(BCD\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że wysokość przecina podstawę trójkąta na dwie równe części. Skoro tak, to powstanie nam taka oto sytuacja:


Widzimy wyraźnie, że powstały nam tutaj dwa podobne trójkąty prostokątne, zatem wysokość trójkąta \(BCD\) obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+h^2=13^2 \\
25+h^2=169 \\
h^2=144 \\
h=12 \quad\lor\quad h=-12$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo wysokość musi być dodatnia, zatem \(h=12\).

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(BCD\).
Znamy już wysokość tego trójkąta, czyli \(h=12\). Wiemy też, że podstawa ma długość \(a=10\), zatem:
$$P_{BCD}=\frac{1}{2}ah \\
P_{BCD}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12 \\
P_{BCD}=60$$

Krok 5. Obliczenie pola czworokąta.
Na koniec została już tylko formalność. Pole czworokąta \(ABCD\) jest sumą pól trójkątów \(ABD\) oraz \(BCD\), zatem:
$$P_{ABCD}=P_{ABD}+P_{BCD} \\
P_{ABCD}=65+60 \\
P_{ABCD}=125$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(f(x)\gt0\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro funkcja zapisana jest w postaci \(f(x)=x^2+bx+c\), to widzimy, że jej ramiona będą skierowane do góry, gdyż \(a=1\). Z treści zadania wynika, że ta funkcja nie ma miejsc zerowych, zatem w całości musi znajdować się nad osią \(OX\), co prowadzi nas do wniosku, że musi ona wyglądać mniej więcej w ten sposób:


Nie ma dla nas znaczenia, czy ta parabola będzie bardziej po lewej, czy prawej stronie - ważne, że w całości jest nad osią \(OX\).

Warto też zauważyć, że parabola przetnie oś \(OY\) dla dodatniej wartości współrzędnej \(y\). To z kolei oznacza, że na pewno współczynnik \(c\) jest liczbą dodatnią. W tym konkretnym zadaniu z tej własności nie skorzystamy (przynajmniej w zaprezentowanym przeze mnie rozwiązaniu), ale warto o tym pamiętać na przyszłość.

Krok 2. Wykorzystanie informacji na temat miejsc zerowych.
Co się musi stać, aby funkcja kwadratowa nie miała miejsc zerowych? Stanie się tak tylko wtedy, gdy obliczana delta będzie mniejsza od \(0\). Skoro tak, to:
$$b^2-4ac\lt0$$

Wiemy już, że \(a=1\), zatem:
$$b^2-4c\lt0 \\
b^2\lt4c$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Mamy wykazać, że \(1+c\gt b\). Póki co wiemy, że \(4c\) jest większe od \(b^2\). Spróbujmy zatem lekko przekształcić nierówność z treści zadania:
$$1+c\gt b \\
c\gt b-1 \quad\bigg/\cdot4 \\
4c\gt4b-4$$

I tu pojawia się mały problem, bo umiemy wykazać, że \(4c\gt b^2\), a nas proszą o wykazanie, że \(4c\gt4b-4\). Jak to teraz ugryźć? Jeżeli wykażemy, że \(b^2\) jest większe lub równe \(4b-4\), to będziemy pewni, że nierówność z treści zadania jest spełniona. Zapiszmy zatem, że:
$$b^2\ge 4b-4 \\
b^2-4b+4\ge0 \\
(b-2)^2\ge0$$

Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa lub równa zero i tak też otrzymaliśmy w powyższej nierówności. To oznacza, że nierówność z treści zadania jest prawdziwa.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy ułożysz równanie z wykorzystaniem wzoru na sumę \(S_{5}\), tak aby niewiadomymi były jedynie \(a_{1}\) oraz \(r\).
ALBO
• Gdy ułożysz równanie typu \(a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10\) (patrz: Krok 1.) albo \(a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r+a_{1}+3r+a_{1}+4r=10\).
ALBO
• Gdy skorzystasz z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego i zapiszesz, że np. \((a_{1}+4r)^2=(a_{1}+2r)(a_{1}+12r)\).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(a_{3}\) (patrz: Krok 1).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi: \(a_{1}\) oraz \(r\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz dowolne równanie z jedną niewiadomą: \(a_{1}\) lub \(r\) np. \((2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz, że \(r=0 \quad\lor\quad r=3\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(a_{1}=-4 \quad\lor\quad a_{1}=2\).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz \(a_{1}\) lub \(r\), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.

Krok 1. Obliczenie wartości \(a_{3}\).
Z treści zadania wiemy, że suma pierwszych pięciu wyrazów jest równa \(10\), czyli:
$$S_{5}=10 \\
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=10$$

Spróbujmy teraz każdy z tych wyrazów powiązać z \(a_{3}\). Dlaczego akurat z \(a_{3}\)? Jest to wyraz, który bardzo nam pasuje, bo nie dość, że jest środkowym wyrazem tej sumy (co jak się za chwilę okaże, ma spore znaczenie), to jeszcze występuje w ciągu geometrycznym. Z własności ciągów wiemy, że:
$$a_{1}=a_{3}-2r \\
a_{2}=a_{3}-r \\
a_{4}=a_{3}+r \\
a_{5}=a_{3}+2r$$

Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}-2r+a_{3}-r+a_{3}+a_{3}+r+a_{3}+2r=10$$

Wartości \(r\) występujące w równaniu tak naprawdę się nam skrócą i zostanie jedynie niewiadoma \(a_{3}\), zatem:
$$5a_{3}=10 \\
a_{3}=2$$

Krok 2. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Paradoksalnie, różnicę ciągu arytmetycznego obliczymy korzystając z informacji na temat ciągu geometrycznego. Rozpiszmy sobie wartości \(a_{5}\) i \(a_{13}\), powiązując je z \(a_{3}\) (którego wartość już znamy, bowiem \(a_{3}=2\)):
$$a_{5}=a_{3}+2r=2+2r \\
a_{13}=a_{3}+10r=2+10r$$

Wiemy, że \(a_{3}, a_{5}, a_{13}\) tworząc ciąg geometryczny. Możemy skorzystać z jednej z własności ciągów geometrycznych i zapisać, że w takim razie:
$$\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{a_{13}}{a_{5}} \\
\frac{2+2r}{2}=\frac{2+10r}{2+2r}$$

Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
$$(2+2r)\cdot(2+2r)=2\cdot(2+10r)$$

Po lewej stronie równania możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$4+8r+4r^2=4+20r \\
4r^2-12r=0 \\
r^2-3r=0$$

Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać. Oczywiście możemy to zrobić przy pomocy delty (pamiętając, że tutaj współczynnik \(c=0\)), ale wiemy już, że takie równania kwadratowe możemy rozwiązać w znacznie prostszy sposób, wyłączając \(r\) przed nawias:
$$r^2-3r=0 \\
r\cdot(r-3)=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r-3=0 \\
r=0 \quad\lor\quad r=3$$

Krok 4. Weryfikacja otrzymanego wyniku.
Otrzymaliśmy dwa wyniki, ale czy oba nam pasują? Z treści zadania wynika, że ciąg arytmetyczny jest rosnący, a to sprawia, że na pewno \(r\) nie może być równe \(0\), bo dla \(r=0\) nasz ciąg byłby stały. W związku z tym jedynym pasującym rozwiązaniem będzie \(r=3\).

Krok 5. Zapisanie wzoru ciągu.
Skorzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Widzimy, że musimy poznać jeszcze wartość \(a_{1}\), a skoro \(a_{3}=2\) oraz \(r=3\), to:
$$a_{1}=a_{3}-2r \\
a_{1}=2-2\cdot3 \\
a_{1}=2-6 \\
a_{1}=-4$$

Teraz możemy podstawić \(a_{1}=-4\) oraz \(r=3\) do wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, otrzymując:
$$a_{n}=-4+(n-1)\cdot3 \\
a_{n}=-4+3n-3 \\
a_{n}=3n-7$$