Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Wrzesień 2020
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Liczba \((\sqrt{5}+2\sqrt{3})^2\) jest równa:
Zadanie 2. (1pkt) Liczbę \(\sqrt[4]{9\cdot\sqrt{3}}\) można zapisać w postaci:
Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(2log5+3log2\) jest równa:
Zadanie 4. (1pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \(\frac{5(4-x)}{2}\lt x\) jest liczba:
Zadanie 5. (1pkt) W zestawie 250 liczb występują jedynie liczby 4 i 2. Liczba 4 występuje 128 razy, a liczba 2 występuje 122 razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby 3. Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
Zadanie 6. (1pkt) Na początku miesiąca komputer kosztował 3500zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o 10%, a w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o 15%. Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa:
Zadanie 7. (1pkt) Funkcje liniowe f i g określone wzorami \(f(x)=-4x+12\) i \(g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
Zadanie 8. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-(x+9)^2+m\) jest przedział \((-\infty;-5\rangle\). Wtedy:
Zadanie 9. (1pkt) Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=\frac{1}{3}x^2+4x+7\) jest prosta o równaniu:
Zadanie 10. (1pkt) Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\).
Stąd wynika, że:
Zadanie 11. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(\frac{x^2-3x}{x^2+x}=0\) jest liczba:
Zadanie 12. (1pkt) Do okręgu o środku w punkcie \(S=(2;4)\) należy punkt \(P=(1;3)\). Długość tego okręgu jest równa:
Zadanie 13. (1pkt) Prosta \(l\) jest równoległa do prostej \(y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \(l\) leży punkt \(P=(0;7)\). Zatem równanie prostej \(l\) ma postać:
Zadanie 14. (1pkt) Punkt \(S=(4;8)\) jest środkiem odcinka PQ, którego koniec P leży na osi OY, a koniec Q - na osi OX. Wynika stąd, że:
Zadanie 15. (1pkt) Przyprostokątna AC trójkąta prostokątnego ABC ma długość 6, a wysokość CD dzieli go na dwa takie trójkąty ADC i CDB, że pole trójkąta ADC jest 4 razy większe od pola trójkąta CDB (zobacz rysunek).
Przyprostokątna BC trójkąta prostokątnego ABC jest równa:
Zadanie 16. (1pkt) Punkty \(P=(-3;4)\) i \(O=(0;0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia tej prostej do osi OX (zobacz rysunek).
Wtedy tangens kąta \(\alpha\) jest równy:
Zadanie 17. (1pkt) Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy:
Zadanie 18. (1pkt) W ciągu arytmetycznym \((a_{n})\) określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), są dane dwa wyrazy: \(a_{1}=2\) i \(a_{2}=5\). Stąd wynika, że n-ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem:
Zadanie 19. (1pkt) Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Funkcja \(f\) dla argumentu \(x=-3\) przyjmuje wartość:
Zadanie 20. (1pkt) Wielkości x i y są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej)
Stąd wynika, że:
Zadanie 21. (1pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania:
Zadanie 22. (1pkt) Dane są punkty A=(4;1), B=(1;3), C=(4;-1). Pole trójkąta ABC jest równe:
Zadanie 23. (1pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od 2020 i podzielnych przez 4?
Zadanie 24. (1pkt) Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o 9 większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest:
Zadanie 25. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 12. Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(-2x^2+5x+3\le0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot3=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\le\)) i szkicujemy wykres paraboli:
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą od zera lub równą zero, czyli patrzymy na to co znalazło się pod osią lub na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór:
$$x\in(-\infty;-\frac{1}{2}\rangle\cup\langle3;+\infty)$$
Zadanie 27. (2pkt) Dany jest trzywyrazowy ciąg (x+2, 4x+2, x+11). Oblicz wszystkie wartości x, dla których ten ciąg jest geometryczny.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze wzoru na sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:
$$(4x+2)^2=(x+2)(x+11)$$
Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22 \\
16x^2+16x+4=x^2+13x+22 \\
15x^2+3x-18=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:
Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=9+1080=1089 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-\frac{6}{5} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$
Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszły nam dwie różne wartości \(x\). Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\).
Zadanie 28. (2pkt) Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a+b)+b^2\gt3ab\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcić nierówność do postaci \((a-b)^2\gt0\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(\Delta=0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0$$
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie 29. (2pkt) Dwa okręgi o promieniach r=2 i R=6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej k. Wykaż, że prosta l przechodząca przez środki S i P tych okręgów przecina prostą k pod kątem \(\alpha=30°\) (zobacz rysunek).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z podobieństwa trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Całą sytuację możemy sprowadzić do schematu znanego z trójkątów podobnych:
Warto też pamiętać, że jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że tworzą one z promieniem okręgu kąt prosty (można więc powiedzieć, że dzięki temu mamy na rysunku podobne trójkąty prostokątne).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Z własności figur podobnych wiemy, że stosunek przeciwprostokątnej \(x\) względem przyprostokątnej o długości \(2\), musi być taki sam jak przeciwprostokątnej o długości \(x+8\) względem przyprostokątnej o długości \(6\). Możemy zatem ułożyć takie oto równanie:
$$\frac{x}{2}=\frac{x+8}{6}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$x\cdot 6=2\cdot(x+8) \\
6x=2x+16 \\
4x=16 \\
x=4$$
Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(x=4\), to cała przeciwprostokątna naszego trójkąta ma długość równą \(12\). Wiemy też, że przyprostokątna ma długość \(6\), czyli, że jest ona dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Powinno nam to zasugerować, że ten trójkąt jest klasycznym trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\), bowiem to właśnie w nim mamy taką sytuację, że jedna przyprostokątna jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, co mogłoby zakończyć nasze dowodzenie.
Aby jednak pokazać wprost, że ten kąt ma miarę \(30°\) wystarczy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:
$$sin\alpha=\frac{6}{12} \\
sin\alpha=\frac{1}{2}$$
Z małej tabelki trygonometrycznej odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość równą \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\), co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie 30. (2pkt) Rozwiąż równanie \((x^3+8)(x^2-9)=0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przyrównasz wartości w nawiasach do zera, ale same równania rozwiążesz błędnie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
To równanie możemy potraktować tak samo, jak standardowe równanie w postaci iloczynowej, czyli możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Zapisując to bardziej przejrzyście możemy powiedzieć, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-2, x=3\).
Zadanie 31. (2pkt) W pudełku jest 8 kul, z czego 5 białych i 3 czarne. Do tego pudełka dołożono n kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała jest równe \(\frac{11}{12}\). Oblicz n.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że wszystkich kul w pudełku jest \(36\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wiemy, że na początku mamy 8 kul, do których dorzucono potem \(n\) kul. Wszystkich kul mamy więc łącznie:
$$|Ω|=8+n$$
Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuli białej. Na początku takich kul było 5, ale dorzucono do tego jeszcze \(n\) kul, więc wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=5+n\).
Krok 3. Obliczenie wartości n.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{11}{12}\). Podstawiając wypisane dane do wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymamy:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\
\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}$$
Najprościej będzie teraz wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$11\cdot(8+n)=12\cdot(5+n) \\
88+11n=60+12n \\
n=28$$
Zadanie 32. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym podstawa AB ma długość 12, a każde z ramion AC i BC ma długość równą 10. Punkt D jest środkiem ramienia BC (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta \(\alpha\), jaki środkowa AD tworzy z ramieniem AC trójkąta ABC.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 2.) lub \(ADC\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AD\) (patrz: Krok 7.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że ich wysokość przecina podstawę w połowie jej długości, zatem mamy taką oto sytuację:
Powstał nam trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest wysokość naszego trójkąta \(ABC\), zatem:
$$6^2+H^2=10^2 \\
36+H^2=100 \\
H^2=64 \\
H=8 \quad\lor\quad H=-8$$
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=8\).
Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Skoro podstawa trójkąta ma długość \(a=12\), a wysokość to \(H=8\), to pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8 \\
P=6\cdot8 \\
P=48$$
Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta, która pada na ramię trójkąta.
Spróbujmy teraz obliczyć długość wysokości trójkąta, która pada nie na podstawę, tylko na ramię. Pole powierzchni jest już nam znane, wiemy że \(P=48\). W tym przypadku podstawa będzie miała długość ramienia, czyli \(a=10\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
48=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
48=5\cdot h \\
h=9,6$$
Krok 4. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mamy w tym momencie taką oto sytuację:
Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|EB|^2+9,6^2=12^2 \\
|EB|^2+92,16=144 \\
|EB|^2=51,84 \\
|EB|=7,2 \quad\lor\quad |EB|=-7,2$$
Długość odcinka nie może być ujemna, więc zostaje nam \(|EB|=7,2\).
Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(ED\).
Długość odcinka \(ED\) jest różnicą między długością odcinka \(EB\) oraz \(DB\), zatem:
$$|ED|=7,2-5 \\
|ED|=2,2$$
Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem w trójkącie \(AED\):
$$9,6^2+2,2^2=|AD|^2 \\
92,16+4,84=|AD|^2 \\
|AD|^2=97 \\
|AD|=\sqrt{97} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{97}$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{97}\).
Krok 8. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
Spoglądamy teraz na trójkąt \(ADC\). Jego pole powierzchni jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot9,6 \\
P=24$$
Wiedząc jakie jest pole tego trójkąta oraz znając długości odcinków \(AC\) oraz \(AD\), możemy teraz obliczyć poszukiwaną wartość \(sin\alpha\). W tym celu musimy skorzystać z tak zwanego wzoru na pole powierzchni trójkąta "z sinusem":
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha \\
24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
24=5\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}=\frac{24\cdot\sqrt{97}}{5\sqrt{97}\cdot\sqrt{97}}=\frac{24\sqrt{97}}{5\cdot97}=\frac{24\sqrt{97}}{485}$$
Zadanie 33. (4pkt) Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa 12. Oblicz objętość tego stożka.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między \(r\) i \(l\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz promień podstawy stożka (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość tworzącej stożka.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:
$$P_{b}=\pi rl \\
P_{p}=\pi r^2$$
Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=3\cdot P_{p} \\
\pi rl=3\cdot(\pi r^2) \\
\pi rl=3\pi r^2 \\
rl=3r^2 \\
l=3r$$
Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.
Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco:
Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.
Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$r^2+12^2=(3r)^2 \\
r^2+144=9r^2 \\
8r^2=144 \\
r^2=18 \\
r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$
Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.
Krok 4. Obliczenie objętości stożka.
Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \\
V=72\pi$$
Zadanie 34. (5pkt) Prosta o równaniu \(y=-2x+7\) jest symetralną odcinka \(PQ\), gdzie \(P=(4;5)\). Oblicz współrzędne punktu \(Q\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz odległość punktu \(P=(4;5)\) od prostej \(y=−2x+7\), która wynosi \(d=\frac{6\sqrt{5}}{5}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz odległość punktu \(P=(4;5)\) od prostej \(y=−2x+7\), która wynosi \(d=\frac{6\sqrt{5}}{5}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu przecięcia się prostych (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równania pozwalające obliczyć współrzędne punktu \(Q\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(PQ\).
Symetralna jest prostą prostopadłą, która przechodzi przez środek odcinka. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-2\), to prosta przechodząca przez odcinek \(PQ\) (możemy ją nawet roboczo nazwać prostą \(PQ\)) będzie mieć współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).
Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(PQ\).
Wiemy już, że współczynnik \(a\) prostej \(PQ\) jest równy \(a=\frac{1}{2}\), czyli że prosta \(PQ\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Wiemy też, że prosta ta przechodzi przez punkt \(P=(4;5)\), zatem podstawiając \(x=4\) oraz \(y=5\) poznamy brakujący współczynnik \(b\):
$$5=\frac{1}{2}\cdot4+b \\
5=2+b \\
b=3$$
To oznacza, że prosta \(PQ\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+3\).
Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się prostych.
Skoro znamy równanie prostej \(PQ\) i znamy równanie symetralnej, to możemy obliczyć miejsce przecięcia się tych prostych, czyli współrzędne środka odcinka \(PQ\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne przecięcia się tych prostych, zatem:
\begin{cases}
y=-2x+7 \\
y=\frac{1}{2}x+3
\end{cases}
Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-2x+7=\frac{1}{2}x+3 \\
2\frac{1}{2}x=4 \\
x=1,6$$
Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(x=1,6\) do dowolnego z równań z układu (np. pierwszego) otrzymamy:
$$y=-2\cdot(1,6)+7 \\
y=3,8$$
To oznacza, że środek odcinka \(PQ\) znajduje się w punkcie \(S=(1,6; 3,8)\).
Krok 5. Obliczenie współrzędnych punktu \(Q\).
Znamy współrzędne punktu \(P\) oraz środka \(S\), stąd też możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(Q\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową punktu \(Q\):
$$x_{S}=\frac{x_{P}+x_{Q}}{2} \\
1,6=\frac{4+x_{Q}}{2} \\
3,2=4+x_{Q} \\
x_{Q}=-0,8 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{P}+y_{Q}}{2} \\
3,8=\frac{5+y_{Q}}{2} \\
7,6=5+y_{Q} \\
y_{Q}=2,6$$
To oznacza, że \(Q=(-0,8; 2,6)\) lub jak kto woli \(Q=\left(-\frac{4}{5};\frac{13}{5}\right)\).
Poprzednie
Zakończ
Następne
przecież znamy dwa ramiona trójkąta ADC więc, aby obliczyć sinus alfa wystarczy podstawić 5 ( skoro ad spada w połowie cd to cd wynosi 5) I 10 i jest wynik.Nie rozumiem w ogóle po co 15 działań i jeszcze jakaś chora odpowiedz..
Ale trójkąt ADC nie jest prostokątny, więc to nie jest takie proste :D
Najtrudniejsze zadania jakie widziałem na maturach