Matura poprawkowa – Matematyka – Wrzesień 2020

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=-2,\;b=5,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=5^2-4\cdot(-2)\cdot3=25-(-24)=25+24=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5-7}{2\cdot(-2)}=\frac{-12}{-4}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-5+7}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\le\)) i szkicujemy wykres paraboli:


Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesuje nas przedział dla których zbiór argumentów przyjmuje wartość mniejszą od zera lub równą zero, czyli patrzymy na to co znalazło się pod osią lub na osi. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest zbiór:
$$x\in(-\infty;-\frac{1}{2}\rangle\cup\langle3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające ze wzoru na sumę sześciu pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:
$$(4x+2)^2=(x+2)(x+11)$$

Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:
$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22 \\
16x^2+16x+4=x^2+13x+22 \\
15x^2+3x-18=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:

Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=9+1080=1089 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-\frac{6}{5} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Wyszły nam dwie różne wartości \(x\). Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcić nierówność do postaci \((a-b)^2\gt0\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(\Delta=0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:
$$a^2+ab+b^2\gt3ab \\
a^2-2ab+b^2\gt0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:
$$(a-b)^2\gt0$$

Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z podobieństwa trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Całą sytuację możemy sprowadzić do schematu znanego z trójkątów podobnych:


Warto też pamiętać, że jedną z własności stycznych do okręgu jest to, że tworzą one z promieniem okręgu kąt prosty (można więc powiedzieć, że dzięki temu mamy na rysunku podobne trójkąty prostokątne).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(x\).
Z własności figur podobnych wiemy, że stosunek przeciwprostokątnej \(x\) względem przyprostokątnej o długości \(2\), musi być taki sam jak przeciwprostokątnej o długości \(x+8\) względem przyprostokątnej o długości \(6\). Możemy zatem ułożyć takie oto równanie:
$$\frac{x}{2}=\frac{x+8}{6}$$

Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$x\cdot 6=2\cdot(x+8) \\
6x=2x+16 \\
4x=16 \\
x=4$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Skoro \(x=4\), to cała przeciwprostokątna naszego trójkąta ma długość równą \(12\). Wiemy też, że przyprostokątna ma długość \(6\), czyli, że jest ona dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej. Powinno nam to zasugerować, że ten trójkąt jest klasycznym trójkątem o kątach \(30°, 60°, 90°\), bowiem to właśnie w nim mamy taką sytuację, że jedna przyprostokątna jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, co mogłoby zakończyć nasze dowodzenie.

Aby jednak pokazać wprost, że ten kąt ma miarę \(30°\) wystarczy skorzystać z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:
$$sin\alpha=\frac{6}{12} \\
sin\alpha=\frac{1}{2}$$

Z małej tabelki trygonometrycznej odczytujemy, że sinus przyjmuje wartość równą \(\frac{1}{2}\) dla kąta \(30°\), co kończy nasze dowodzenie.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przyrównasz wartości w nawiasach do zera, ale same równania rozwiążesz błędnie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

To równanie możemy potraktować tak samo, jak standardowe równanie w postaci iloczynowej, czyli możemy przyrównać wartości w nawiasach do zera. Otrzymamy zatem:
$$x^3+8=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x^3=-8 \quad\lor\quad x^2=9 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$

Zapisując to bardziej przejrzyście możemy powiedzieć, że równanie ma trzy rozwiązania: \(x=-3, x=-2, x=3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że wszystkich kul w pudełku jest \(36\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Wiemy, że na początku mamy 8 kul, do których dorzucono potem \(n\) kul. Wszystkich kul mamy więc łącznie:
$$|Ω|=8+n$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie kuli białej. Na początku takich kul było 5, ale dorzucono do tego jeszcze \(n\) kul, więc wszystkich zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=5+n\).

Krok 3. Obliczenie wartości n.
Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe \(\frac{11}{12}\). Podstawiając wypisane dane do wzoru na prawdopodobieństwo, otrzymamy:

$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|} \\
\frac{11}{12}=\frac{5+n}{8+n}$$

Najprościej będzie teraz wykonać mnożenie na krzyż, zatem:
$$11\cdot(8+n)=12\cdot(5+n) \\
88+11n=60+12n \\
n=28$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\) (patrz: Krok 2.) lub \(ADC\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(AD\) (patrz: Krok 7.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABC\).
Z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że ich wysokość przecina podstawę w połowie jej długości, zatem mamy taką oto sytuację:


Powstał nam trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest wysokość naszego trójkąta \(ABC\), zatem:
$$6^2+H^2=10^2 \\
36+H^2=100 \\
H^2=64 \\
H=8 \quad\lor\quad H=-8$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(H=8\).

Krok 2. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
Skoro podstawa trójkąta ma długość \(a=12\), a wysokość to \(H=8\), to pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8 \\
P=6\cdot8 \\
P=48$$

Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta, która pada na ramię trójkąta.
Spróbujmy teraz obliczyć długość wysokości trójkąta, która pada nie na podstawę, tylko na ramię. Pole powierzchni jest już nam znane, wiemy że \(P=48\). W tym przypadku podstawa będzie miała długość ramienia, czyli \(a=10\), zatem:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
48=\frac{1}{2}\cdot10\cdot h \\
48=5\cdot h \\
h=9,6$$

Krok 4. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Mamy w tym momencie taką oto sytuację:


Krok 5. Obliczenie długości odcinka \(EB\).
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$|EB|^2+9,6^2=12^2 \\
|EB|^2+92,16=144 \\
|EB|^2=51,84 \\
|EB|=7,2 \quad\lor\quad |EB|=-7,2$$

Długość odcinka nie może być ujemna, więc zostaje nam \(|EB|=7,2\).

Krok 6. Obliczenie długości odcinka \(ED\).
Długość odcinka \(ED\) jest różnicą między długością odcinka \(EB\) oraz \(DB\), zatem:
$$|ED|=7,2-5 \\
|ED|=2,2$$

Krok 7. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
Ponownie skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem w trójkącie \(AED\):
$$9,6^2+2,2^2=|AD|^2 \\
92,16+4,84=|AD|^2 \\
|AD|^2=97 \\
|AD|=\sqrt{97} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{97}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{97}\).

Krok 8. Obliczenie wartości \(sin\alpha\).
Spoglądamy teraz na trójkąt \(ADC\). Jego pole powierzchni jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot5\cdot9,6 \\
P=24$$

Wiedząc jakie jest pole tego trójkąta oraz znając długości odcinków \(AC\) oraz \(AD\), możemy teraz obliczyć poszukiwaną wartość \(sin\alpha\). W tym celu musimy skorzystać z tak zwanego wzoru na pole powierzchni trójkąta "z sinusem":
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha \\
24=\frac{1}{2}\cdot10\cdot\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
24=5\sqrt{97}\cdot sin\alpha \\
sin\alpha=\frac{24}{5\sqrt{97}}=\frac{24\cdot\sqrt{97}}{5\sqrt{97}\cdot\sqrt{97}}=\frac{24\sqrt{97}}{5\cdot97}=\frac{24\sqrt{97}}{485}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między \(r\) i \(l\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz promień podstawy stożka (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość tworzącej stożka.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.
Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:
$$P_{b}=\pi rl \\
P_{p}=\pi r^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:
$$P_{b}=3\cdot P_{p} \\
\pi rl=3\cdot(\pi r^2) \\
\pi rl=3\pi r^2 \\
rl=3r^2 \\
l=3r$$

Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco:


Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.

Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$r^2+12^2=(3r)^2 \\
r^2+144=9r^2 \\
8r^2=144 \\
r^2=18 \\
r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.

Krok 4. Obliczenie objętości stożka.
Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \\
V=72\pi$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz odległość punktu \(P=(4;5)\) od prostej \(y=−2x+7\), która wynosi \(d=\frac{6\sqrt{5}}{5}\).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(PQ\) (patrz: Krok 3.) oraz wyznaczysz odległość punktu \(P=(4;5)\) od prostej \(y=−2x+7\), która wynosi \(d=\frac{6\sqrt{5}}{5}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu przecięcia się prostych (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równania pozwalające obliczyć współrzędne punktu \(Q\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błędy rachunkowe.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.


Krok 2. Wyznaczenie wartości współczynnika \(a\) prostej \(PQ\).
Symetralna jest prostą prostopadłą, która przechodzi przez środek odcinka. Z własności prostych prostopadłych wiemy, że aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). Skoro więc nasza pierwsza prosta ma współczynnik \(a=-2\), to prosta przechodząca przez odcinek \(PQ\) (możemy ją nawet roboczo nazwać prostą \(PQ\)) będzie mieć współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), bo \(-2\cdot\frac{1}{2}=-1\).

Krok 3. Wyznaczenie równania prostej \(PQ\).
Wiemy już, że współczynnik \(a\) prostej \(PQ\) jest równy \(a=\frac{1}{2}\), czyli że prosta \(PQ\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+b\). Wiemy też, że prosta ta przechodzi przez punkt \(P=(4;5)\), zatem podstawiając \(x=4\) oraz \(y=5\) poznamy brakujący współczynnik \(b\):
$$5=\frac{1}{2}\cdot4+b \\
5=2+b \\
b=3$$

To oznacza, że prosta \(PQ\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{2}x+3\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia się prostych.
Skoro znamy równanie prostej \(PQ\) i znamy równanie symetralnej, to możemy obliczyć miejsce przecięcia się tych prostych, czyli współrzędne środka odcinka \(PQ\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że rozwiązaniem układu równań dwóch prostych są współrzędne przecięcia się tych prostych, zatem:
\begin{cases}
y=-2x+7 \\
y=\frac{1}{2}x+3
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania otrzymamy:
$$-2x+7=\frac{1}{2}x+3 \\
2\frac{1}{2}x=4 \\
x=1,6$$

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą wartość \(x=1,6\) do dowolnego z równań z układu (np. pierwszego) otrzymamy:
$$y=-2\cdot(1,6)+7 \\
y=3,8$$

To oznacza, że środek odcinka \(PQ\) znajduje się w punkcie \(S=(1,6; 3,8)\).

Krok 5. Obliczenie współrzędnych punktu \(Q\).
Znamy współrzędne punktu \(P\) oraz środka \(S\), stąd też możemy bez przeszkód wyznaczyć współrzędne punktu \(Q\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową punktu \(Q\):
$$x_{S}=\frac{x_{P}+x_{Q}}{2} \\
1,6=\frac{4+x_{Q}}{2} \\
3,2=4+x_{Q} \\
x_{Q}=-0,8 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{P}+y_{Q}}{2} \\
3,8=\frac{5+y_{Q}}{2} \\
7,6=5+y_{Q} \\
y_{Q}=2,6$$

To oznacza, że \(Q=(-0,8; 2,6)\) lub jak kto woli \(Q=\left(-\frac{4}{5};\frac{13}{5}\right)\).