Matura poprawkowa z matematyki (poziom podstawowy) - Sierpień 2012
Arkusz maturalny zawiera 25 zadań zamkniętych oraz 9 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.
Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.
Zadanie 1. (1pkt) Długość boku kwadratu \(k_{2}\) jest o \(10\%\) większa od długości boku kwadratu \(k_{1}\). Wówczas pole kwadratu \(k_{2}\) jest większe od pola kwadratu \(k_{1}\):
Zadanie 2. (1pkt) Iloczyn \(9^{-5}\cdot3^{8}\) jest równy:
Zadanie 3. (1pkt) Liczba \(\log_{3}27-\log_{3}1\) jest równa:
Zadanie 4. (1pkt) Liczba \((2-3\sqrt{2})^2\) jest równa:
Zadanie 5. (1pkt) Liczba \(-2\) jest miejscem zerowym funkcji liniowej \(f(x)=mx+2\). Wtedy:
Zadanie 6. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x+4|\le7\).
Zadanie 7. (1pkt) Dana jest parabola o równaniu \(y=x^2+8x-14\). Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa:
Zadanie 8. (1pkt) Wskaż fragment wykresu funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest \(\langle-2,+\infty)\).
Zadanie 9. (1pkt) Zbiorem rozwiązań nierówności \(x(x+6)\lt0\) jest:
Zadanie 10. (1pkt) Wielomian \(W(x)=x^6+x^3-2\) jest równy iloczynowi:
Zadanie 11. (1pkt) Równanie \(\frac{(x+3)(x-2)}{(x-3)(x+2)}=0\) ma:
Zadanie 12. (1pkt) Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{n}{(-2)^n}\) dla \(n\ge1\). Wówczas:
Zadanie 13. (1pkt) W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są: \(a_{1}=36\), \(a_{2}=18\). Wtedy:
Zadanie 14. (1pkt) Kąt \(α\) jest ostry i \(sinα=\frac{7}{13}\). Wtedy \(tgα\) jest równy:
Zadanie 15. (1pkt) W trójkącie prostokątnym dane są długości boków (zobacz rysunek). Wtedy:
Zadanie 16. (1pkt) Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(14\). Bok \(AB\) tego prostokąta ma długość \(6\). Długość boku \(BC\) jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Punkty \(A\), \(B\) i \(C\) leżą na okręgu o środku \(S\) (zobacz rysunek). Miara zaznaczonego kąta wpisanego \(ACB\) jest równa:
Zadanie 18. (1pkt) Długość boku trójkąta równobocznego jest równa \(24\sqrt{3}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy:
Zadanie 19. (1pkt) Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu \(y=-\frac{1}{3}x+2\).
Zadanie 20. (1pkt) Punkty \(B=(-2,4)\) i \(C=(5,1)\) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Pole tego kwadratu jest równe:
Zadanie 21. (1pkt) Dany jest okrąg o równaniu \((x+4)^2+(y-6)^2=100\). Środek tego okręgu ma współrzędne:
Zadanie 22. (1pkt) Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe:
Zadanie 23. (1pkt) Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem:
Zadanie 24. (1pkt) Pewna firma zatrudnia \(6\) osób. Dyrektor zarabia \(8000zł\), a pensje pozostałych pracowników są równe: \(2000zł, 2800zł, 3400zł, 3600zł, 4200zł\). Mediana zarobków tych \(6\) osób jest równa:
Zadanie 25. (1pkt) Ze zbioru \(\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\}\) wybieramy losowo jedną liczbę. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez \(4\). Wówczas:
Zadanie 26. (2pkt) Rozwiąż nierówność \(x^2-8x+7\ge0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Do obliczenia tej nierówności skorzystamy z metody delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-8,\;c=7\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot1\cdot7=64-28=36 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{36}=6$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)-6}{2\cdot1}=\frac{8-6}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-8)+6}{2\cdot1}=\frac{8+6}{2}=\frac{14}{2}=7$$
Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Ramiona paraboli będą skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy parabolę. Kropki przy miejscach zerowych będą zamalowane bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\).
Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wartości większe lub równe zero. W związku z tym rozwiązaniem będzie następujący przedział: \(x\in(-\infty;1\rangle\cup\langle7;+\infty)\).
Zadanie 27. (2pkt) Rozwiąż równanie \(x^3-6x^2-9x+54=0\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3-6x^2-9x+54=0 \\
x^2(x-6)-9(x-6)=0 \\
(x-6)(x^2-9)=0$$
Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Przyrównujemy wartości z obydwu nawiasów do zera i w ten sposób wyznaczamy rozwiązania naszego równania:
$$x-6=0 \quad\lor\quad x^2-9=0 \\
x=6 \quad\lor\quad x=3 \quad\lor\quad x=-3$$
Zadanie 28. (2pkt) Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego jest równy \(3\), czwarty wyraz tego ciągu jest równy \(15\). Oblicz sumę sześciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu arytmetycznego, czyli \(r=4\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Z treści zadania wiemy, że \(a_{1}=3\) oraz \(a_{4}=15\). Podstawiając te informacje do wzoru na czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć różnicę ciągu:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{4}=a_{1}+(4-1)r \\
15=3+3r \\
3r=12 \\
r=4$$
Krok 2. Obliczenie sumy sześciu początkowych wyrazów ciągu.
Znając wartość różnicy ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu możemy obliczyć sumę dowolnej liczby wyrazów:
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n \\
S_{6}=\frac{2\cdot3+(6-1)\cdot4}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{6+20}{2}\cdot6 \\
S_{6}=\frac{26}{2}\cdot6 \\
S_{6}=13\cdot6 \\
S_{6}=78$$
Zadanie 29. (2pkt) W trójkącie równoramiennym \(ABC\) dane są \(|AC|=|BC|=6\) i \(|\sphericalangle ACB|=30°\) (zobacz rysunek). Oblicz wysokość \(AD\) trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(A\) na bok \(BC\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz jakąkolwiek zależność z której można obliczyć długość odcinka \(AD\) np. \(sin30°=\frac{|AD|}{6}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Musimy zauważyć, że trójkąt \(ADC\) jest trójkątem prostokątnym (bo wysokość zawsze jest opuszczana pod kątem prostym). To dość ważna informacja, bo dzięki niej wiemy, że możemy skorzystać z funkcji trygonometrycznych. Skoro znamy miarę kąta jednego z kątów ostrych i znamy długość przeciwprostokątnej \(AC\), to możemy skorzystać z funkcji sinusa:
$$sin30°=\frac{|AD|}{|AC|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|AD|}{6} \\
|AD|=3$$
Zadanie 30. (2pkt) Dany jest równoległobok \(ABCD\). Na przedłużeniu przekątnej \(AC\) wybrano punkt \(E\) tak, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\). Uzasadnij, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest cztery razy większe od pola trójkąta \(DCE\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy w trakcie obliczeń otrzymasz jakąś kluczową zależność np. że \(P_{DCE}=\frac{1}{4}|AC|\cdot h\) (patrz: Krok 2.), albo zapiszesz, że pole trójkąta \(ABC\) lub \(ACD\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(DCE\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Tak naprawdę kluczem do sukcesu jest dorysowanie wspólnej wysokości trójkąta \(ACD\) oraz rozwartokątnego trójkąta \(DCE\) z wierzchołka \(D\). Warto też zauważyć, że pole trójkąta \(ACD\) jest dwa razy mniejsze od pola naszego równoległoboku.
Krok 2. Zapisanie wzoru na pole trójkąta \(DCE\) oraz \(ACD\).
Trójkąt \(DCE\) jest rozwartokątny, jego podstawą niech będzie \(|CE|\), a wysokością dorysowany odcinek \(h\). Otrzymamy więc:
$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot|CE|\cdot h$$
W treści zadania mamy podaną informację, że \(|CE|=\frac{1}{2}|AC|\) tak więc po podstawieniu tej informacji do powyższego wzoru otrzymamy:
$$P_{DCE}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}|AC|\cdot h \\
P_{DCE}=\frac{1}{4}\cdot|AC|\cdot h$$
Możemy jeszcze zapisać sobie wzór na pole trójkąta \(ACD\), bo przyda nam się on w kolejnym kroku:
$$P_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h$$
Krok 3. Zapisanie wzoru na pole równoległoboku \(ABCD\).
Nasz równoległobok ma dwa razy większą powierzchnię od trójkąta \(ACD\), zatem:
$$P_{ABCD}=2\cdot P_{ACD} \\
P_{ABCD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot h \\
P_{ABCD}=|AC|\cdot h$$
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
$$\frac{P_{ABCD}}{P_{DCE}}=\frac{|AC|\cdot h}{\frac{1}{4}|AC|\cdot h}=4$$
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że pole równoległoboku \(ABCD\) jest czterokrotnie większe od pola trójkąta \(DCE\), co kończy nasze dowodzenie.
Zadanie 31. (2pkt) Wykaż, że jeżeli \(c\lt0\), to trójmian kwadratowy \(y=x^2+bx+c\) ma dwa różne miejsca zerowe.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy rozwiążesz to zadanie podstawiając do wzoru konkretną liczbę \(c\).
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: Krok 1.), ale nie udowodnisz dlaczego jest ona zawsze dodatnia.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Obliczenie delty.
Najprościej to zadanie udowodnimy pomocą delty.
Współczynniki: \(a=1,\;b=b,\;c=c\)
$$Δ=b^2-4ac=b^2-4c$$
Krok 2. Analiza otrzymanej delty.
Wartość \(b^2\) jest zawsze dodatnia (lub równa zero), bo każda liczba podniesiona do kwadratu jest dodatnia (lub równa zero).
Wartość \(4c\) będzie zawsze ujemna, bo zakładamy \(c\lt0\).
W związku z tym mamy:
$$Δ=\text{(l. dodatnia)-(l. ujemna)=l. dodatnia}$$
Udało nam się w ten sposób udowodnić, że delta wyjdzie zawsze dodatnia, a to oznacza, że rzeczywiście ten trójmian będzie miał dwa różne miejsca zerowe.
Zadanie 32. (4pkt) Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\) oraz \(A=(2,1)\) i \(C=(1,9)\). Podstawa \(AB\) tego trójkąta jest zawarta w prostej \(y=\frac{1}{2}x\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(B\) z jedną niewiadomą \(x\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(CD\) w postaci \(y=-2x+11\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|AC|=\sqrt{65}\).
2 pkt
• Gdy w zależności od sposobu rozwiązywania ułożysz odpowiednie równanie bądź stworzysz układ równań, z którego da się obliczyć współrzędne punktu \(B\) - jest tu bardzo wiele różnych możliwości (np. mogą to być równania związane z długościami odcinków, z odległością punktu od prostej itd.).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz zapisane równanie lub układ równań do postaci ogólnej równania kwadratowego np. \(5x^2-44x+68=0\) (patrz: Krok 3.) lub \(\frac{5}{4}x^2-11x+17=0\) lub \(5y^2-22y+17=0\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu D=(\frac{22}{5};\frac{11}{5})\) (gdzie punkt \(D\) jest spodkiem wysokości opuszczonej z punktu \(C\)).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Nasz rysunek możemy wykonać dość dokładnie, dzięki czemu będziemy w stanie zweryfikować później poprawność naszych obliczeń.
Krok 2. Określenie współrzędnych punktu \(B\).
Współrzędne każdego punktu możemy określić jako \((x;y)\). Z treści zadania wiemy, że przez punkt \(B\) przechodzi prosta o równaniu \(y=\frac{1}{2}x\). Możemy więc podstawić wartość tego "igreka" za współrzędną \(y\) i zapisać współrzędne tego punktu jako: \(B=(x;\frac{1}{2}x)\).
Dzięki temu pozbyliśmy się niewiadomej \(y\), a to nam znacznie ułatwi dotarcie do końcowego rozwiązania.
Krok 3. Zapisanie równania wynikającego z trójkąta równoramiennego.
Skorzystamy ze wzorów na długość odcinków w układzie współrzędnych. Wiemy, że boki \(AC\) oraz \(BC\) mają tą samą długość, dlatego między miarami tych odcinków możemy postawić znak równości. Znamy współrzędne \(A\) i \(C\), zapisaliśmy też sobie współrzędne punktu \(B\) z wykorzystaniem jednej niewiadomej, zatem:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(1-2)^2+(9-1)^2=(1-x)^2+\left(9-\frac{x}{2}\right)^2 \\
1+64=1-2x+x^2+81-9x+\frac{x^2}{4} \\
65=x^2+\frac{1}{4}x^2-11x+82 \\
\frac{5}{4}x^2-11x+17=0 \quad\bigg/\cdot4 \\
5x^2-44x+68=0$$
Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=5,\;b=-44,\;c=68\)
$$Δ=b^2-4ac=(-44)^2-4\cdot5\cdot68=1936-1360=576 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)-24}{2\cdot5}=\frac{44-24}{10}=\frac{20}{10}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-44)+24}{2\cdot5}=\frac{44+24}{10}=\frac{68}{10}$$
Krok 5. Analiza otrzymanych rozwiązań i określenie końcowych współrzędnych punktu \(B\).
Dla \(x=2\) otrzymaliśmy współrzędną punktu \(A\). To nie jest więc to rozwiązanie, które nas interesuje, choć też jest dla nas ważne, bo przy okazji potwierdza poprawność naszych obliczeń (wszak punkt \(A\) także leży na prostej \(y=\frac{1}{2}x\)).
Współrzędne punktu \(B\) otrzymaliśmy z drugiego rozwiązania, czyli \(x=\frac{68}{10}\). Brakuje nam jeszcze współrzędnej \(y\), ale zgodnie z tym co zapisaliśmy sobie w drugim kroku i zgodnie z równaniem prostej przechodzącej przez ten punkt:
$$y=\frac{1}{2}x \\
y=\frac{1}{2}\cdot\frac{68}{10} \\
y=\frac{68}{20}$$
Otrzymane wyniki możemy jeszcze skrócić i wyłączyć z nich całość, tak więc:
$$x=\frac{68}{10}=6\frac{4}{5} \\
y=\frac{68}{20}=3\frac{2}{5}$$
Poszukiwane współrzędne to \(B=\left(6\frac{4}{5};3\frac{2}{5}\right)\).
Zadanie 33. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy, czyli \(a=4\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SE|=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa, czyli \(|SF|=2\sqrt{14}\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość krawędzi podstawy jak i wysokości ostrosłupa oraz ściany bocznej (patrz: Krok 2. oraz 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(tgα=\sqrt{6}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną \(AC\), bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie \(ACS\).
Warto zauważyć, że skoro \(ACS\) jest trójkątem równobocznym, to \(|AC|=|AS|=|SD|=8\).
Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo \(|AC|=8\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta \(ACS\) ma długość \(a=8\).
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=4\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SF\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(FDS\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt \(F\) znajduje się w połowie długości odcinka \(AD\), bo \(ADS\) jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka \(AD\) wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
$$|FD|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2} \\
|FD|=2\sqrt{2}$$
Skoro znamy długość \(|FD|=2\sqrt{2}\), wiemy też, że \(|SD|=8\), to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość \(|SF|\):
$$|FD|^2+|SF|^2=|SD|^2 \\
(2\sqrt{2})^2+|SF|^2=8^2 \\
4\cdot2+|SF|^2=64 \\
8+|SF|^2=64 \\
|SF|^2=56 \\
|SF|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}$$
Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{2\cdot14} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{28} \\
sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}$$
Zadanie 34. (5pkt) Kolarz pokonał trasę \(114km\). Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o \(9,5\frac{km}{h}\), to pokonałby tę trasę w czasie o \(2\) godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń i zapisanie układu równań.
W całym zadaniu przyda nam się znajomość wzoru \(v=\frac{s}{t}\) i umiejętność jego zamiany na pożądaną formę.
\(v\) - średnia prędkość kolarza (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas jazdy kolarza (w godzinach)
\(s=114\) - pokonana trasa (w kilometrach)
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie treści zadania możemy zapisać dwa równania, które stworzą układ równań:
\begin{cases}
114=vt \\
(v-9,5)(t+2)=114
\end{cases}
Najprościej będzie podstawić wartość \(t=\frac{114}{v}\) z pierwszego równania do drugiego, dzięki czemu otrzymamy:
$$\require{cancel}
(v-9,5)\left(\frac{114}{v}+2\right)=114 \quad\bigg/\cdot v \\
(v-9,5)(114+2v)=114v \\
\cancel{114v}+2v^2-1083-19v=\cancel{114v} \\
2v^2-19v-1083=0$$
Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-19,\;c=-1083\)
$$Δ=b^2-4ac=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361-(-8664)=361+8664=9025 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9025}=95$$
$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)-95}{2\cdot2}=\frac{19-95}{4}=\frac{-76}{4}=-19 \\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-19)+95}{2\cdot2}=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28,5$$
Ujemną prędkość oczywiście odrzucamy, więc jedyną prawidłową odpowiedzią jest \(v=28,5\frac{km}{h}\).