Matura – Matematyka – Maj 2018

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy liczyć deltę, to musimy doprowadzić nierówność do postaci ogólnej, czyli musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę:
$$2x^2-3x\gt5 \\
2x^2-3x-5\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=2,\;b=-3,\;c=-5\)
$$Δ=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)=9-(-40)=9+40=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)-7}{2\cdot2}=\frac{3-7}{4}=\frac{-4}{4}=-1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-3)+7}{2\cdot2}=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Z racji tego, iż współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni, to parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe \(x=-1\) oraz \(x=\frac{5}{2}\) (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)) i rysujemy parabolę:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Interesują nas wyniki większe od zera, zatem interesuje nas to co znalazło się nad osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności jest suma przedziałów:
$$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania: \(x^3+125=0 \lor x^2-64=0\).
ALBO
• Gdy wskażesz poprawnie jedno lub dwa rozwiązania równania.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Równanie przedstawione jest w postaci iloczynowej, zatem aby całość była równa zero, to któryś z nawiasów musi dać nam wartość równą zero. W związku z tym:
$$(x^3+125)(x^2-64)=0 \\
x^3+125=0 \quad\lor\quad x^2-64=0 \\
x^3=-125 \quad\lor\quad x^2=64 \\
x=-5 \quad\lor\quad x=8 \quad\lor\quad x=-8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy otrzymasz pożądaną postać \((a-b)^2\ge0\), ale nie uzasadnisz dlaczego ta nierówność jest prawdziwa.
ALBO
• Gdy w trakcie przekształcania uzyskasz zapis typu \((a+b)^2\ge4ab\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Ustalenie znaku liczb znajdujących się w mianownikach ułamków.
Za chwilę będziemy wykonywali różne operacje na tej nierówności, będziemy mnożyli i dzielili obustronnie, tak aby pozbyć się ułamków. Przy nierównościach musimy być jednak bardzo ostrożni, bowiem mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną będziemy musieli zmienić znak nierówności na przeciwny. Stąd też dobrze jest ustalić sobie jaka wartość kryje się pod \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\).

Z założeń wynika, że liczby \(a\) oraz \(b\) mają być dodatnie. W związku z tym wszystkie wyrażenia znajdujące się w mianownikach (czyli \(2a\), \(2b\) oraz \(a+b\)) także będą dodatnie. To oznacza, że mnożąc i dzieląc obustronnie tę nierówność nie będziemy musieli zmieniać znaku na przeciwny.

Krok 2. Przekształcenie nierówności.
Musimy naszą nierówność przekształcić w taki sposób, by finalnie otrzymać dowód na prawdziwość tej nierówności. Najlepiej będzie zacząć od pozbycia się ułamków, możemy to robić krok po kroku, by niczego nie zgubić:
$$\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\ge\frac{2}{a+b} \quad\bigg/\cdot2a \\
1+\frac{2a}{2b}\ge\frac{4a}{a+b} \quad\bigg/\cdot2b \\
2b+2a\ge\frac{8ab}{a+b} \quad\bigg/\cdot (a+b) \\
2b(a+b)+2a(a+b)\ge8ab \\
2ab+2b^2+2a^2+2ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2+4ab\ge8ab \\
2a^2+2b^2\ge4ab \quad\bigg/:2 \\
a^2+b^2\ge2ab \\
a^2-2ab+b^2\ge0 \\
(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(x+2r+2=2\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że odcinek będący sumą średnicy małego okręgu oraz odcinka \(x\) ma długość \(2\sqrt{2}-2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Skoro promień dużego okręgu jest równy \(2\), to otrzymamy następującą sytuację:



Krok 2. Ułożenie równania.
Na rysunku powstał nam kwadrat \(ABCD\), którego boki są równe długości promienia okręgu. Z własności przekątnych kwadratu wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Nasz kwadrat \(ABCD\) ma bok długości \(2\), a skoro tak, to odcinek \(AC\) będący przekątną tego kwadratu ma długość \(2\sqrt{2}\). To oznacza, że możemy zapisać iż:
$$x+r+r+2=2\sqrt{2} \\
x+2r+2=2\sqrt{2}$$

Krok 3. Analiza otrzymanego równania i zakończenie dowodzenia.
Wiemy, że \(x+2r+2=2\sqrt{2}\). Skoro \(x\) jest jakąś konkretną długością, to znaczy że odcinek \(2r+2\) jest mniejszy niż \(2\sqrt{2}\). W związku z tym:
$$2r+2\lt2\sqrt{2} \quad\bigg/:2 \\
r+1\lt\sqrt{2} \\
r\lt\sqrt{2}-1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(a\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy określisz zbiór wartości funkcji \(g\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyznaczenie wartości \(a\).
Skoro do funkcji \(f(x)=a^x\) należy punkt \(P=(2,9)\) to podstawiając \(x=2\) oraz \(y=9\) będziemy w stanie wyznaczyć wartość \(a\). Zatem:
$$f(x)=a^x \\
9=a^2 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo z założeń wynika, że \(a\gt0\). Zatem zostaje nam jedynie \(a=3\).

Krok 2. Określenie zbioru wartości funkcji \(g\).
Funkcja wykładnicza w postaci \(f(x)=3^x\) przyjmuje zawsze wartości dodatnie. Zbiorem wartości funkcji \(f\) byłby więc przedział \((0;+\infty)\).

Nasza funkcja \(g\) jest przekształceniem funkcji \(f\), a dokładnie jest przesunięta o dwie jednostki w dół. To oznacza, że zbiorem wartości funkcji \(g\) będzie przedział \((-2;+\infty)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12=162\).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{1}+11r=30\) oraz \(\frac{2a_{1}+11r}{2}\cdot12=162\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Z treści zadania wynika, że:
$$a_{12}=30 \\
S_{12}=162$$

Korzystając zatem ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego będziemy w stanie wyznaczyć wartość pierwszego wyrazu tego ciągu:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot n \\
S_{12}=\frac{a_{1}+a_{12}}{2}\cdot12 \\
162=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot12 \\
162=(a_{1}+30)\cdot6 \quad\bigg/:6 \\
27=a_{1}+30 \\
a_{1}=-3$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz współrzędne punktu \(C\) w postaci \(C=(x;2x+3)\) (patrz: Krok 1.) lub \(C=(\frac{y-3}{2};y)\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość boku \(AB\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(AB\), czyli \(a=\frac{1}{3}\).
2 pkt
• Gdy skorzystasz ze wzorów na długość odcinka, wyznaczysz wartości każdego z trzech odcinków i zapiszesz odpowiednie równanie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, ale będziesz mieć cały czas dwie niewiadome \(x\) oraz \(y\), bo nie dostrzeżesz że np. współrzędną igrekową można było zapisać jako \(2x+3\).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(BC\), czyli \(a=-3\).
3 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa w którym będzie tylko jedna niewiadoma (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie współrzędnych punktu \(C\).
Wiemy, że punkt \(C\) leży na prostej \(y=2x+3\). Co wynika ze znajomości tego wzoru? Wynika to, że podstawiając do wzoru argument \(x\) funkcja przyjmuje wartość \(2x+3\). Z tego też względu współrzędne punktu \(C\) możemy zapisać jako \(C=(x;2x+3)\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \\
|AB|=\sqrt{(10-4)^2+(5-3)^2} \\
|AB|=\sqrt{6^2+2^2} \\
|AB|=\sqrt{36+4} \\
|AB|=\sqrt{40}$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(BC\).
Analogicznie jak w poprzednim kroku, podstawiamy do wzoru na długość odcinka współrzędne punktów \(B\) oraz \(C\).
$$|BC|=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x+3-5)^2} \\
|BC|=\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}$$

Całości dalej rozpisywać nie musimy, a to dlatego że za chwilę będziemy korzystać z Twierdzenia Pitagorasa i tam być może pewne poszczególne długości zaczną się upraszczać.

Krok 4. Obliczenie długości boku \(AC\).
I podobnie jak w poprzednich krokach, tym razem wyznaczymy długość boku \(AC\).
$$|AC|=\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x+3-3)^2} \\
|AC|=\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}$$

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnej iksowej punktu \(C\).
Skoro trójkąt \(ABC\) ma być prostokątny, to znaczy że możemy dla niego zastosować Twierdzenie Pitagorasa. Pojawia się jednak pytanie - który bok jest przeciwprostokątną, bo tak wprost nigdzie nie jest to napisane. Wynika to tak naprawdę z nazewnictwa kąta prostego, zapisanego w treści zadania jako kąt \(ABC\). Zgodnie z zasadami nazewnictwa kątów wiemy, że w takiej sytuacji kąt prosty musi być przy wierzchołku \(B\). To oznacza, że przeciwprostokątną będzie prosta \(AC\). W związku z tym:
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
(\sqrt{40})^2+\left(\sqrt{(x-10)^2+(2x-2)^2}\right)^2=\left(\sqrt{(x-4)^2+(2x)^2}\right)^2 \\
40+(x-10)^2+(2x-2)^2=(x-4)^2+(2x)^2 \\
40+x^2-20x+100+4x^2-8x+4=x^2-8x+16+4x^2 \\
5x^2-28x+144=5x^2-8x+16 \\
-28x+144=-8x+16 \\
-20x=-128 \\
x=6,4$$

Krok 6. Wyznaczenie współrzędnej igrekowej punktu \(C\).
Wiemy już, że \(x=6,4\). Teraz możemy podstawić naszego iksa do wyrażenia \(2x+3\) i tym samym obliczymy współrzędną igrekową punktu \(C\):
$$y=2x+3 \\
y=2\cdot6,4+3 \\
y=12,8+3 \\
y=15,8$$

To oznacza, że współrzędne punktu \(C\) wynoszą: \(C=(6,4;15,8)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz kiedy liczba jest podzielna przez \(3\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zaczniesz wypisywanie zdarzeń sprzyjających i wypiszesz przynajmniej cztery takie zdarzenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wypiszesz wszystkie zdarzenia elementarne (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.) oraz zaczniesz wypisywanie zdarzeń sprzyjających i wypiszesz przynajmniej cztery takie zdarzenia lub przynajmniej napiszesz kiedy liczba jest podzielna przez \(3\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=49\) (patrz: Krok 1.) oraz liczbę zdarzeń sprzyjających \(|A|=16\) (patrz: Krok 2.), ale nie obliczysz prawdopodobieństwa.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
W pierwszym zbiorze znajduje się siedem liczb. W drugim zbiorze znajduje się także siedem liczb. Skoro losujemy jedną liczbę z pierwszego zbioru i potem drugą liczbę ze zbioru drugiego, to wszystkich możliwych kombinacji mamy zgodnie z regułą mnożenia: \(|Ω|=7\cdot7=49\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Sprzyjającym zdarzeniem jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(3\). Dana liczba jest podzielna przez \(3\), gdy suma jej cyfr dzieli się przez \(3\). Musimy więc ostrożnie wypisać takie pary liczb:
$$(100,11), (100,14), \\
(200,10), (200,13), (200,16), \\
(300,12), (300,15), \\
(400,11), (400,14), \\
(500,10), (500,13), (500,16), \\
(600,12), (600,15), \\
(700,11), (700,14)$$

Takich par jest dokładnie \(16\), zatem możemy zapisać, że \(|A|=16\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{49}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie typu \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=ah\).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli \(P_{p}\)) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako \(P_{śb}\)). Skoro więc \(P_{p}=P_{śb}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{śb} \\
P_{c}=2P_{p}+3P_{p} \\
P_{c}=5P_{p} \\
45\sqrt{3}=5P_{p} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4 \\
36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3} \\
a^2=36 \\
a=6 \quad\lor\quad a=-6$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:
$$P_{śb}=a\cdot H \\
9\sqrt{3}=6\cdot H \\
H=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3} \\
V=\frac{27}{2}\cdot3 \\
V=\frac{81}{2}$$