Matura – Matematyka – Maj 2015

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
To bardzo ważny krok. Jeśli chcemy rozwiązać to zadanie np. metodą delty, to musimy doprowadzić nierówność do postaci typu \(ax^2+bx+c\), tak aby po prawej stronie znalazło się zero. Stąd też pierwszą czynnością jaką musimy zrobić to wymnożyć przez siebie odpowiednie nawiasy i uporządkować zapis:
$$2x^2-4x\gt(x+3)(x-2) \\
2x^2-4x\gt x^2-2x+3x-6 \\
x^2-5x+6\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-5,\;c=6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a więc interesującym nas przedziałem będzie:
$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz pod \(x\) i \(y\) konkretne wartości liczbowe.
1 pkt
• Gdy obliczysz deltę (patrz: I sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niej żadnych wniosków.
ALBO
• Gdy skorzystasz ze wzorów skróconego mnożenia i otrzymasz zapis typu \((2x-2y)^2+y^2\ge0\) (patrz: II sposób Krok 1.) i nie wyciągniesz z niego żadnych wniosków.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Do zadania można podejść na kilka sposobów, więc rozważmy sobie dwa najprostsze rozwiązania.

I sposób:
W tej metodzie potraktujemy tę nierówność tak jak każdą inną. To, że znajdują się w niej wartości \(y\) na razie nam nie przeszkadza (potraktujemy je jak zwykłe liczby).

Krok 1. Obliczenie delty.
Współczynniki: \(a=4,\;b=-8y,\;c=5y^2\)
$$Δ=b^2-4ac=(-8y)^2-4\cdot4\cdot5y^2=64y^2-80y^2=-16y^2$$

Zastanówmy się teraz jaka jest ta delta. Jakiejkolwiek liczby nie podstawimy pod \(y\) to wartość \(y^2\) będzie dodatnia lub równa zero (gdy \(y=0\)). Pomnożenie tej liczby jeszcze przez \(-16\) sprawi, że wynik zawsze będzie niedodatni (ujemny gdy \(y\neq0\) lub równy zero gdy \(y=0\)). Wniosek z tego taki, że \(Δ\le0\).

Krok 2. Interpretacja otrzymanej delty.
Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Skoro \(Δ\le0\), to znaczy że ta funkcja ma maksymalnie jedno miejsce zerowe (gdy \(Δ=0\)), a cała reszta wykresu zawsze będzie przebiegać nad osią \(Ox\). To oznacza, że ta funkcja nigdy nie przyjmie wartości ujemnych, co kończy nasz dowód.



II sposób:
Możemy też spróbować przedstawić tę nierówność przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Gdyby udało nam się powiązać niektóre wyrazy w taki sposób, że dałoby się je pokazać w formie pewnej potęgi, to udowodnilibyśmy, że "coś" podniesione do potęgi jest zawsze większe od zera.
Krok 1. Zapisanie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Aby móc tego dokonać musimy rozbić \(5y^2\) na sumę \(4y^2+y^2\), zatem:
$$4x^2-8xy+5y^2\ge0 \\
4x^2-8xy+4y^2+y^2\ge0 \\
(2x-2y)^2+y^2\ge0$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
Kwadrat liczby jest zawsze liczbą nieujemną. Niezależnie więc co podstawimy pod \(x\) i \(y\) to \((2x-2y)^2\ge0\) oraz \(y^2\ge0\). Suma dwóch liczb nieujemnych także daje liczbę nieujemną, więc dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór na pole rombu i/lub kwadratu w zależności od długości przekątnej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wzór na pole któregoś z "małych trójkątów" np.:
Pole trójkąta: \(KLE\), \(LME\), \(MNE\) oraz \(NKE\) jest równe \(P=\frac{1}{12}a^2\).
Pole trójkąta: \(NLM\), \(LNK\), \(KMN\), \(KLM\), jest równe \(P=\frac{1}{6}a^2\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Generalnie naszym zadaniem jest porównanie pola powstałego rombu do pola dużego kwadratu. Do wyznaczenia pola rombu przydadzą nam się długości jego przekątnych. Jeżeli przyjęlibyśmy, że \(|AC|\) (czyli przekątna kwadratu) ma długość \(d\), to zgodnie z treścią zadania:
$$|KM|=\frac{1}{2}d \\
|LN|=\frac{2}{3}d$$

Krok 2. Obliczenie pola rombu i kwadratu.
Zarówno pole rombu jak i kwadratu możemy wyliczyć mnożąc przez siebie długości przekątnych i dzieląc wynik na \(2\).
Pole rombu:
$$P_{r}=\frac{1}{2}ef \\
P_{r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}d\cdot\frac{2}{3}d \\
P_{r}=\frac{1}{6}d^2$$

Pole kwadratu:
$$P_{k}=\frac{1}{2}ef \\
P_{k}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d \\
P_{k}=\frac{1}{2}d^2$$

Krok 3. Porównanie pola rombu i kwadratu.
Musimy sprawdzić jaki jest stosunek między tymi polami, tak więc:
$$\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{1}{6}d^2}{\frac{1}{2}d^2}=\frac{1}{3}$$

W ten sposób zadanie zostało udowodnione.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pierwszą współrzędną wierzchołka \(x_{W}=3\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz wartość \(f(0)\) oraz \(f(4)\), ale nie obliczysz wartości \(f(3)\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Funkcja będzie przyjmować największą i najmniejszą wartość w danym przedziale albo na krańcach tego przedziału albo w punkcie, który jest wierzchołkiem funkcji. Wartości krańcowe przedziałów są nam znane, więc potrzebujemy jeszcze wyznaczyć położenie wierzchołka (wystarczy nam jego współrzędna \(x\)).

Krok 1. Wyznaczenie współrzędnej \(x\) wierzchołka paraboli.
Współrzędną wierzchołka paraboli \(x_{W}\) dla funkcji określonej wzorem w postaci \(ax^2+bx+c\) obliczymy w następujący sposób:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-6)}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3$$

Sprawdzamy teraz, czy wierzchołek w ogóle znajduje się w naszym przedziale, który mamy przeanalizować. Tak się składa, że \(x=3\) mieści się w przedziale \(\langle0;4\rangle\), więc jak najbardziej uwzględnimy go w naszych obliczeniach.

Krok 2. Obliczenie wartości \(f(0)\), \(f(4)\) oraz \(f(3)\).
Zgodnie z tym co napisaliśmy sobie na początku, największych i najmniejszych wartości zawsze spodziewamy się na krańcach przedziału albo w punkcie który jest wierzchołkiem. Sprawdźmy więc jakie wartości przyjmuje ta funkcja dla tych trzech argumentów, a następnie wybierzemy z nich najmniejszą i największą wartość.
$$f(0)=0^2-6\cdot0+3=0-0+3=3 \\
f(4)=4^2-6\cdot4+3=16-24+3=-5 \\
f(3)=3^2-6\cdot3+3=9-18+3=-6$$

Najmniejszą wartością tej funkcji w przedziale \(\langle0;4\rangle\) jest więc \(-6\) (dla \(x=3\)), a największą jest \(3\) (dla \(x=0\)).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz wzór prostej \(AB\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie w którym niewiadoma jest pierwsza współrzędna punktu \(P\), np.: \(\frac{50-p}{19}=\frac{p-(43)}{12}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie wzoru prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).
Aby poznać wzór tej prostej musimy stworzyć prosty układ równań. Do wzoru ogólnego w postaci \(y=ax+b\) podstawimy współrzędne punktu \(A\), a następnie punktu \(B\). Otrzymamy w ten sposób:
\begin{cases}
-12=-43a+b \\
19=50a+b
\end{cases}

Możemy ten układ rozwiązać w dowolny sposób, ale najprościej jest odjąć go od siebie stronami, dzięki czemu pozbędziemy się \(b\), zatem:
$$-31=-93a \\
a=\frac{1}{3}$$

Znając współczynnik \(a\) możemy teraz podstawić go do któregoś z równań i wyznaczyć w ten sposób współczynnik \(b\).
$$19=50\cdot\frac{1}{3}+b \\
\frac{57}{3}=\frac{50}{3}+b \\
b=\frac{7}{3}$$

Wzór prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\) to: \(y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}\).

Krok 2. Obliczenie pierwszej współrzędnej punktu \(P\).
Skoro nasza prosta przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\), to znaczy że \(P=(x;0)\). Musimy wyznaczyć współrzędną \(x\) punktu \(P\), więc wystarczy przyrównać wzór naszej prostej do zera:
$$\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}=0 \quad\bigg/\cdot3 \\
x+7=0 \\
x=-7$$

To oznacza, że pierwszą współrzędną jest \(x=-7\), a pełne współrzędne tego punktu to \(P=(-7;0)\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz układ równań z dwoma niewiadomymi (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą np. \(\frac{17}{2}=4(2x+1)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Stworzenie układu równań.
Oznaczmy sobie nasz poszukiwany ułamek jako \(\frac{x}{y}\). Na podstawie treści zadania możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
\frac{x+\frac{1}{2}x}{y+\frac{1}{2}x}=\frac{4}{7} \\
\frac{x+1}{y+1}=\frac{1}{2}
\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań.
Układ możemy próbować rozwiązać na wiele sposobów, ale chyba najprościej będzie zacząć od mnożenia na krzyż w pierwszym i drugim równaniu.
\begin{cases}
7\cdot(x+\frac{1}{2}x)=4\cdot(y+\frac{1}{2}x) \\
2\cdot(x+1)=1\cdot(y+1)
\end{cases}\begin{cases}
7x+\frac{7}{2}x=4y+2x \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+2=y+1
\end{cases}\begin{cases}
14x+7x=8y+4x \\
2x+1=y \quad\bigg/\cdot(-8)
\end{cases}\begin{cases}
17x=8y \\
-16x-8=-8y
\end{cases}

Dzięki sprytnemu pomnożeniu obu stron przez \(-8\) możemy teraz dodać do siebie obie strony równania i pozbyć się w ten sposób niewiadomej \(y\). Oczywiście można też byłoby zastosować tutaj metodę podstawiania i podstawić \(y=2x+1\) z drugiego równania do równania pierwszego. Finalnie uzyskamy ten sam efekt:
$$x-8=0 \\
x=8$$

Krok 3. Obliczenie wartości mianownika poszukiwanego ułamka.
Znamy już wartość licznika (\(x=8\)), więc podstawmy go pod dowolnie wybrane równanie z układu równań i obliczmy w ten sposób niewiadomą \(y\):
$$17x=8y \\
17\cdot8=8y \\
y=17$$

To oznacza, że poszukiwanym ułamkiem jest \(\frac{8}{17}\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).

Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$

Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$

Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$

Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od \(1\).
1 pkt
• Gdy obliczysz jedynie liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet ulgowy kupiło \(49\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że bilet normalny kupiło \(14\) osób (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz że co najmniej jeden bilet kupiło \(90\) osób (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) i zapiszesz poprawnie liczbę osób które kupiły jeden z biletów (patrz: Krok 1. oraz 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że biletu nie kupiło \(25\) osób.
3 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych \(|Ω|=115\) oraz obliczysz, że \(25\) osób nie kupiło biletu.
ALBO
• Gdy popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Będziemy wybierać jedną ze \(115\) osób, stąd też \(|Ω|=115\).

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Naszym zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie osoby, która nie kupiła biletu. W związku z tym musimy teraz określić ile osób nie kupiło biletu. Można to zrobić na kilka sposobów (mniej lub bardziej matematycznych). Przykładowo:

I sposób: Skoro sprzedano \(76+41=117\) biletów, a \(27\) osób ma jeden i drugi bilet, to znaczy że osób które kupiły ten bilet jest \(117-27=90\). W związku z tym biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

II sposób: Możemy też wykonać prosty rysunek w którym zobrazujemy sobie całą sytuację:



Najpierw wpisujemy liczbę \(27\), bo tyle osób ma dwa bilety, a następnie obliczamy ile osób ma tylko bilet ulgowy lub tylko bilet normalny. Po zsumowaniu wartości wychodzi nam, że bilet kupiło: \(49+27+14=90\) osób, czyli biletu nie kupiło \(115-90=25\) osób. Zatem \(|A|=25\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{25}{115}=\frac{5}{23}$$

Pamiętaj o tym, by przedstawić to rozwiązanie właśnie w formie nieskracalnego ułamka (jest to wyszczególnione w treści zadania).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na sumę \(n\)-początkowych wyrazów i utworzysz za jego pomocą równanie z dwiema niewiadomymi np. \(11a_{1}+55r=187\) (patrz: Krok 2.) albo \(\frac{2a_{1}+10r}{2}\).
ALBO
• Gdy do ułożenia równania wykorzystasz wzór na średnią arytmetyczną i utworzysz w ten sposób równanie z dwiema niewiadomymi np. \(a_{1}+\frac{10}{3}r=12\).
ALBO
• Gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
2 pkt
• Gdy zgodnie do wybranego sposobu obliczeń utworzysz układ równań (patrz: Krok 2.)
3 pkt
• Gdy obliczysz \(a_{1}=2\) i \(r=3\) oraz gdy zapiszesz zależność \({a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k}\).
4 pkt
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale popełnisz błąd rachunkowy i konsekwentnie do niego podasz błędny wynik.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania i stworzenie z nich układu równań.
Na początek zajmijmy się ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania wynika, że:
\begin{cases}
S_{11}=187 \\
\frac{a_{1}+a_{3}+a_{9}}{3}=12
\end{cases}

Krok 2. Wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) wiemy, że:
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{9}=a_{1}+8r \\
a_{11}=a_{1}+10r$$

Ze wzoru \(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n\) wynika, że:
$$S_{11}=\frac{a_{1}+a_{11}}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{a_{1}+a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=\frac{2a_{1}+10r}{2}\cdot11 \\
S_{11}=(a_{1}+5r)\cdot11 \\
S_{11}=11a_{1}+55r$$

Podstawiając te wszystkie przekształcenia do układu równań otrzymamy:
\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \\
\frac{a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+8r}{3}=12
\end{cases}\begin{cases}
11a_{1}+55r=187 \quad\bigg/:11 \\
\frac{3a_{1}+10r}{3}=12 \quad\bigg/\cdot3
\end{cases}\begin{cases}
a_{1}+5r=17 \quad\bigg/\cdot(-3) \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}\begin{cases}
-3a_{1}-15r=-51 \\
3a_{1}+10r=36
\end{cases}

Dzięki pomnożeniu przez \(-3\) możemy teraz dodać oba równania stronami i pozbyć się niewiadomej \(a_{1}\). Oczywiście dobrą metodą na rozwiązanie tego równania byłoby też podstawienie do drugiego równania \(a_{1}=17-5r\). Po dodaniu równań stronami otrzymamy:
$$-5r=-15 \\
r=3$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego i trzeciego wyrazu.
Podstawiając \(r=3\) do dowolnego z równań otrzymamy:
$$3a_{1}+10r=36 \\
3a_{1}+10\cdot3=36 \\
3a_{1}=6 \\
a_{1}=2$$

Obliczmy jeszcze wartość trzeciego wyrazu tego ciągu (przyda nam się podczas wykonywania działań na ciągu geometrycznym).
$$a_{3}=a_{1}+2r \\
a_{3}=2+2\cdot3 \\
a_{3}=8$$

Krok 4. Zapisanie wzoru na \(a_{k}\) wyraz ciągu.
$$a_{k}=a_{1}+(k-1)r \\
a_{k}=2+(k-1)\cdot3 \\
a_{k}=2+3k-3 \\
a_{k}=3k-1$$

Krok 5. Obliczenie wartości \(k\).
Skoro \(a_{1}, a_{3}, a_{k}\) to trzy kolejne wyrazu ciągu geometrycznego, to zajdzie między nimi relacja:
$${a_{3}}^2=a_{1}\cdot a_{k} \\
8^2=2\cdot(3k-1) \\
64=6k-2 \\
66=6k \\
k=11$$