Matura - Matematyka - Maj 2011

Poniżej znajduje się arkusz maturalny z matematyki (matura podstawowa – maj 2011). Jest to arkusz interaktywny, co oznacza że możesz na nim zaznaczać odpowiedzi, otrzymując na koniec nie tylko wynik, ale także wskazanie poprawnych i błędnych odpowiedzi. Jeżeli chcesz tylko przejrzeć zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku lub też pobrać ten arkusz w formie pliku PDF, to na dole strony znajdziesz stosowne linki. Powodzenia!

Uwaga! Nie uzupełniłeś jeszcze wszystkich zadań.
Napewno chcesz zakończyć test?

Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2011

Arkusz maturalny zawiera 23 zadania zamknięte oraz 10 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 50 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.

W przypadku zadań zamkniętych musisz wybrać jedną z czterech odpowiedzi ABCD. Zadania otwarte rozwiąż na kartce papieru, a następnie przydziel sobie za nie odpowiednią liczbę punktów zgodnie z punktacją, która wyświetli się na ekranie. Zadania otwarte mają dodatkowo możliwość podejrzenia proponowanego rozwiązania, tak abyś mógł/a jak najrzetelniej przyznać sobie punkty za zadanie.

Jeżeli nie masz pewności jak rozwiązać dane zadanie, to możesz je opuścić i wrócić niego w dowolnej chwili. Kiedy uzupełnisz wszystkie zadania kliknij w przycisk zakończ. Na ekranie pojawi Ci się wtedy liczba zdobytych punktów oraz będziesz mieć możliwość przejrzenia swoich odpowiedzi wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Jeżeli jesteś gotowy/a to możesz przejść do pierwszego zadania.

Zadanie 1. (1pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba $π$.

$|x+1|\gt5$

$|x-1|\lt2$

$|x+\frac{2}{3}|\le4$

$|x-\frac{1}{3}|\ge3$

Zadanie 2. (1pkt) Pierwsza rata, która stanowi $9\%$ ceny roweru, jest równa $189zł$. Rower kosztuje:

$1701zł$

$2100zł$

$1890zł$

$2091zł$

Zadanie 3. (1pkt) Wyrażenie $5a^2-10ab+15a$ jest równe iloczynowi:

$5a^2(1-10b+3)$

$5a(a-2b+3)$

$5a(a-10b+15)$

$5(a-2b+3)$

Zadanie 4. (1pkt) Układ równań $\begin{cases}
4x+2y=10 \\
6x+ay=15
\end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli:

$a=-1$

$a=0$

$a=2$

$a=3$

Zadanie 5. (1pkt) Rozwiązanie równania $x(x+3)-49=x(x-4)$ należy do przedziału:

$(-\infty;3)$

$(10;+\infty)$

$(-5;-1)$

$(2;+\infty)$

Zadanie 6. (1pkt) Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności $\frac{3}{8}+\frac{x}{6}\lt\frac{5x}{12}$ jest:

$1$

$2$

$-1$

$-2$

Zadanie 7. (1pkt) Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: $3(x-1)(x-5)\le0$ i $x\gt1$.

Zadanie 8. (1pkt) Wyrażenie $\log_{4}(2x-1)$ jest określone dla wszystkich liczb $x$ spełniających warunek:

$x\le\frac{1}{2}$

$x\gt\frac{1}{2}$

$x\le0$

$x\gt0$

Zadanie 9. (1pkt) Dane są funkcje liniowe $f(x)=x-2$ oraz $g(x)=x+4$ określone dla wszystkich liczb rzeczywistych $x$. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji $h(x)=f(x)\cdot g(x)$.

Zadanie 10. (1pkt) Funkcja liniowa określona jest wzorem $f(x)=-\sqrt{2}x+4$. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba:

$-2\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2\sqrt{2}$

Zadanie 11. (1pkt) Dany jest nieskończony ciąg geometryczny $(a_{n})$, w którym $a_{3}=1$ i $a_{4}=\frac{2}{3}$. Wtedy:

$a_{1}=\frac{2}{3}$

$a_{1}=\frac{4}{9}$

$a_{1}=\frac{3}{2}$

$a_{1}=\frac{9}{4}$

Zadanie 12. (1pkt) Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny $(a_{n})$ o wyrazach dodatnich. Wtedy:

$a_{4}+a_{7}=a_{10}$

$a_{4}+a_{6}=a_{3}+a_{8}$

$a_{2}+a_{9}=a_{3}+a_{8}$

$a_{5}+a_{7}=2a_{8}$

Zadanie 13. (1pkt) Kąt $α$ jest ostry i $cosα=\frac{5}{13}$. Wtedy:

$sinα=\frac{12}{13}$ oraz $tgα=\frac{12}{5}$

$sinα=\frac{12}{13}$ oraz $tgα=\frac{5}{12}$

$sinα=\frac{12}{5}$ oraz $tgα=\frac{12}{13}$

$sinα=\frac{5}{12}$ oraz $tgα=\frac{12}{13}$

Zadanie 14. (1pkt) Wartość wyrażenia $\frac{sin^2 38°+cos^2 38°-1}{sin^2 52°+cos^2 52°+1}$ jest równa:

$\frac{1}{2}$

$0$

$-\frac{1}{2}$

$1$

Zadanie 15. (1pkt) W prostopadłościanie $ABCDEFGH$ mamy: $|AB|=5$, $|AD|=4$, $|AE|=3$. Który z odcinków $AB$, $BG$, $GE$, $EB$ jest najdłuższy?

matura z matematyki

$AB$

$BG$

$GE$

$EB$

Zadanie 16. (1pkt) Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $α$ ma miarę:

matura z matematyki

$80°$

$100°$

$110°$

$120°$

Zadanie 17. (1pkt) Wysokość rombu o boku długości $6$ i kącie ostrym $60°$ jest równa:

$3\sqrt{3}$

$3$

$6\sqrt{3}$

$6$

Zadanie 18. (1pkt) Prosta $k$ ma równanie $y=2x-3$. Wskaż równanie prostej $l$ równoległej do prostej $k$ i przechodzącej przez punkt $D$ o współrzędnych $(-2,1)$.

$y=-2x+3$

$y=2x+1$

$y=2x+5$

$y=-x+1$

Zadanie 19. (1pkt) Styczną do okręgu $(x-1)^2+y^2-4=0$ jest prosta o równaniu:

$x=1$

$x=3$

$x=0$

$x=4$

Zadanie 20. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe $54$. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

$\sqrt{6}$

$3$

$9$

$3\sqrt{3}$

Zadanie 21. (1pkt) Objętość stożka o wysokości $8$ i średnicy podstawy $12$ jest równa:

$124π$

$96π$

$64π$

$32π$

Zadanie 22. (1pkt) Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi:

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{9}$

$\frac{1}{12}$

$\frac{1}{18}$

Zadanie 23. (1pkt) Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: "Ile osób liczy twoja rodzina?" Wyniki przedstawiono w tabeli:
$$
\begin{array}{c|c}
\text{Liczba osób w rodzinie} & \text{Liczba uczniów} \\
\hline
3 & 6 \\
4 & 12 \\
x & 2
\end{array}
$$

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa $4$. Wtedy liczba $x$ jest równa:

$3$

$4$

$5$

$7$

Zadanie 24. (2pkt) Rozwiąż nierówność $3x^2-10x+3\le0$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Najprościej będzie wyliczyć to tzw. metodą delty.
Współczynniki: $a=3,\;b=-10,\;c=3$
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot3\cdot3=100-36=64 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-8}{2\cdot3}=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+8}{2\cdot3}=\frac{10+8}{6}=\frac{18}{6}=3$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik $a$ jest dodatni (dokładnie to jest równy $3$), więc parabola będzie mieć ramiona skierowane ku górze. Zaznaczamy na osi miejsca zerowe obliczone przed chwilą i szkicujemy wykres paraboli:
matura z matematyki

Punkty $x=\frac{1}{3}$ oraz $x=3$ mają zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak $\le$.

Krok 3. Odczytanie rozwiązania.
Z wykresu możemy odczytać, że funkcja przyjmuje wartości mniejsze lub równe zero dla przedziału $x\in\langle\frac{1}{3};3\rangle$ i taka też jest nasza ostateczna odpowiedź.

Zadanie 25. (2pkt) Uzasadnij, że jeżeli $a+b=1$ i $a^2+b^2=7$, to $a^4+b^4=31$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych $a$ oraz $b$.
1 pkt
• Gdy osiągniesz znaczny postęp w rozwiązaniu zadania np. obliczysz że $2ab=-6$ (lub $ab=-3$), albo że $2a^2b^2=18$ (lub $a^2b^2=9$) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zbudujesz układ równań i z niego wyliczysz że jedna z liczb jest równa $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ albo $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyjaśnienie:

Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.

Krok 1. Rozpisanie wartości $a^4+b^4$ przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$

Aby lepiej zrozumieć co za chwilę zrobimy, możemy tą powyższą rozpiskę przedstawić jako równanie:
$$(a^2+b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$

Odejmując teraz obustronnie $2a^2b^2$ otrzymamy informację, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$

Wartość $a^2+b^2$ jest równa $7$, a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-2a^2b^2$$

Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że $2a^2b^2$ jest równe $18$, to otrzymalibyśmy działanie $49-18$, czyli $31$, co zakończyłoby dowód.

Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia $a+b$ i obliczenie wartości $2a^2b^2$.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Z treści zadania wiemy, że $a+b=1$ oraz że $a^2+b^2=7$, co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab \\
2ab=-6$$

Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro $2ab=-6$, to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2 \\
2a^2b^2=18$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość $2a^2b^2$, więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-18=31$$

Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość $a^4+b^4$ jest faktycznie równa $31$.

Zadanie 26. (2pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.
matura z matematyki

Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) zbiór wartości funkcji $f$,
b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja $f$ jest malejąca.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz poprawnie zbiór wartości funkcji (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy zapiszesz poprawnie przedział, w którym funkcja jest malejąca (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie zbioru wartości funkcji $f$.
Odczytujemy jakie wartości na osi igreków przyjmuje nasza funkcja i widzimy wyraźnie, że wszystkie wartości funkcji mieszczą się w przedziale $\langle-2;3\rangle$.

Krok 2. Ustalenie miejsc w których funkcja $f$ jest malejąca.
Teraz szukamy na osi iksów takich argumentów, dla których ta funkcja jest malejąca. Jest tylko jeden taki przedział (więc siłą rzeczy będzie on maksymalnej długości), a tym przedziałem jest $\langle-2;2\rangle$.

Zadanie 27. (2pkt) Liczby $x$, $y$, $19$ tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny, przy czym $x+y=8$. Oblicz $x$ i $y$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności ciągu wyprowadzisz równanie z dwiema niewiadomymi np. $y=\frac{x+19}{2}$ (patrz: Krok 2.) albo $x+2r=19$.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obliczenie wartości drugiego (środkowego) wyrazu ciągu.
Jedną z bardziej przydatnych własności ciągów arytmetycznych jest ta, która mówi o tym, że drugi wyraz ciągu będzie średnią arytmetyczną wyrazu pierwszego i trzeciego. Wynika to z poniższej zależności:
$$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$

W związku z tym:
$$a_{2}=\frac{a_{2-1}+a_{2+1}}{2} \\
a_{2}=\frac{a_{1}+a{3}}{2} \\
y=\frac{x+19}{2}$$

Krok 2. Utworzenie odpowiedniego układu równań.
Równanie obliczone w pierwszym kroku i równanie $x+y=8$ z treści zadania tworzą układ równań, dzięki któremu bez problemu wyliczymy wartości $x$ oraz $y$:
\begin{cases}
y=\frac{x+19}{2} \\
x+y=8
\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie układu równań.
Najprościej będzie rozwiązać ten układ metodą podstawiania, zwłaszcza że mamy już w pierwszym równaniu wyprowadzoną wartość $y$. Zatem podstawiając $y=\frac{x+19}{2}$ z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
$$x+\frac{x+19}{2}=8 \quad\bigg/\cdot2 \\
2x+x+19=16 \\
3x=-3 \\
x=-1$$

Do obliczenia pozostała nam jeszcze wartość $y$ i możemy ją wyliczyć z dowolnie wybranego równania:
$$x+y=8 \\
-1+y=8 \\
y=9$$

Zadanie 28. (2pkt) Kąt $α$ jest ostry i $\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2$. Oblicz wartość wyrażenia $sinα\cdot cosα$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do wspólnego mianownika (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy sprowadzisz wyrażenie do postaci $sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα$ (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy narysujesz trójkąt prostokątny, podstawisz stosunki odpowiednich długości boków do całości wyrażenia i tym samym otrzymasz wyrażenie typu $a^2+b^2=2ab$.
ALBO
• Gdy sprowadzisz to wyrażenie do postaci w której występuje jedynie tangens.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Obustronne pomnożenie ułamków przez wartości w mianownikach.
Chcąc się pozbyć ułamków możemy pomnożyć to równanie obustronnie przez wartości znajdujące w mianownikach. Możemy to zrobić jednocześnie w ramach jednego działania (mnożąc od razu przez $sinα\cdot cosα$), ale aby lepiej wyjaśnić to zadanie może zróbmy sobie to powoli krok po kroku:
$$\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=2 \quad\bigg/\cdot cosα \\
sinα+\frac{cos^2α}{sinα}=2\cdot cosα \quad\bigg/\cdot sinα \\
sin^2α+cos^2α=2\cdot sinα\cdot cosα$$

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia $sinα\cdot cosα$.
Z "jedynki trygonometrycznej" wiemy, że $sin^2α+cos^2α=1$. To oznacza, że po lewej stronie równania otrzymanego w pierwszym kroku będziemy mieć jedynkę, zatem:
$$1=2\cdot sinα\cdot cosα \\
sinα\cdot cosα=\frac{1}{2}$$

Zadanie 29. (2pkt) Dany jest czworokąt $ABCD$, w którym $AB||CD$. Na boku $BC$ wybrano taki punkt $E$, że $|EC|=|CD|$ i $|EB|=|BA|$. Wykaż, że kąt $AED$ jest prosty.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz własność trójkąta równoramiennego i zapiszesz poprawnie relacje między kątami przy podstawie (patrz: Krok 2.).
Uwaga: W tym zadaniu jest bardzo wiele dróg prowadzących do rozwiązania, wszystko zależy od tego jakie oznaczenia sobie przyjmiemy i z jakich własności kątów/trójkątów/trapezów będziemy korzystać. Nie musisz więc otrzymać dokładnie takich samych wartości przejściowych jak w prezentowanym przykładzie aby otrzymać 1 punkt.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wynikiem.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Skoro podstawy tego czworokąta są równoległe to otrzymamy tak naprawdę trapez. Zadanie można udowodnić na wiele sposobów, ale najprostszy wykorzystuje informację, że suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu jest równa $180°$. To oznacza, że jeśli $|\sphericalangle ABC|=α$ to $|\sphericalangle BCD|=180°-α$ i tak też zaznaczmy sobie na naszym szkicowym rysunku:

matura z matematyki

Dodatkowo na niebiesko i zielono zaznaczyliśmy sobie pary boków równej długości (zgodnie z treścią zadania).

Krok 2. Obliczenie miar kątów $BEA$ oraz $CED$.
Rozpatrzmy sobie teraz dwa trójkąty - $ABE$ oraz $DCE$. Suma kątów w każdym z tych trójkątów jest równa oczywiście $180°$. Dodatkowo z treści zadania i z rysunku pomocniczego wynika, że są to trójkąty równoramienne, bo $|EC|=|CD|$ i $|EB|=|BA|$. Skoro tak, to z własności trójkątów równoramiennych wiemy, że kąty przy podstawach mają tą samą miarę, a więc:
$$|\sphericalangle BAE|=|\sphericalangle BEA| \\
\text{oraz} \\
|\sphericalangle CDE|=|\sphericalangle CED|$$

Co to oznacza? Jeśli w trójkącie $ABE$ jeden kąt między ramionami ma miarę $α$, to dwa pozostałe przy podstawie $|AE|$ mają łącznie $180°-α$. Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe, to $|\sphericalangle BEA|=\frac{180°-α}{2}$.

Analogicznie rozpatrzymy trójkąt $DCE$. Tutaj jeden kąt między ramionami ma miarę $180°-α$, więc dwa pozostałe przy podstawie $|DE|$ mają $180°-(180°-α)=α$. Skoro te dwa pozostałe kąty muszą być sobie równe sobie równe to $|\sphericalangle CED|=\frac{α}{2}$.

Krok 3. Obliczenie miary kąta $AED$.
Z twierdzenia o kątach przyległych wiemy, że:
$$|\sphericalangle BEA|+|\sphericalangle CED|+|\sphericalangle AED|=180°$$

Znamy wartości dwóch z tych kątów (wyliczyliśmy je w drugim kroku), więc bez problemu wyliczymy teraz wartość kąta $AED$.
$$\frac{180°-α}{2}+\frac{α}{2}+|\sphericalangle AED|=180° \quad\bigg/\cdot 2 \\
180°-α+α+2\cdot |\sphericalangle AED|=360° \\
2\cdot |\sphericalangle AED|=180° \\
|\sphericalangle AED|=90°$$

Zadanie 30. (2pkt) Ze zbioru liczb $\{1,2,3,...,7\}$ losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez $3$.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy wykonasz wszystkie kroki, ale otrzymasz wynik większy od $1$.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Bardzo ważną informacją jest to, że liczby losujemy ze zwracaniem. To oznacza, że w pierwszym losowaniu możemy wylosować jedną z siedmiu możliwości i w drugim także możemy wylosować jedną z siedmiu możliwości. Wszystkich możliwych kombinacji jest więc:
$$|Ω|=7\cdot7=49$$

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Musimy sobie teraz wypisać wszystkie zdarzenia sprzyjające, czyli takie w których suma wyników będzie podzielna przez $3$. Dobrze jest wypisać sobie wszystkie warianty w dość uporządkowany sposób, tak aby mieć pewność że uwzględnimy wszystkie możliwości:
$$(1,2), (1,5) \\
(2,1), (2,4), (2,7) \\
(3,3), (3,6) \\
(4,2), (4,5) \\
(5,1), (5,4), (5,7) \\
(6,3), (6,6) \\
(7,2), (7,5)$$

Łącznie wszystkich sprzyjających zdarzeń jest $16$, a więc $|A|=16$.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{16}{49}$$

Zadanie 31. (4pkt) Okrąg o środku w punkcie $S=(3,7)$ jest styczny do prostej o równaniu $y=2x-3$. Oblicz współrzędne punktu styczności.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy $a$ prostej prostopadłej, czyli $a=-\frac{1}{2}$ (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy obliczysz za pomocą odpowiedniego wzoru odległość punku $S$ od prostej o równaniu $y=2x-3$, czyli $|SA|=\frac{4}{\sqrt{5}}$.
ALBO
• Gdy zapiszesz, że $|SA|=\sqrt{(x-3)^2+(2x-10)^2}$
2 pkt
• Gdy ułożysz odpowiedni układ równań (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy z ułożonego układu równań otrzymasz postać równania z jedną niewiadomą (niezależnie od tego czy tą niewiadomą jest współrzędna $x$ czy $y$ (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy od razu zapiszesz równanie z użyciem jednej niewiadomej np. $\sqrt{(x-3)^2+(2x-10)^2}=\frac{4}{\sqrt{5}}$.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
matura z matematyki

Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt $A$ jest prostopadła do naszej prostej o równaniu $y=2x-3$ (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.

Krok 2. Ustalenie współczynnika $a$ prostej prostopadłej do prostej $y=2x-3$.
Aby proste opisane wzorem ogólnym $y=ax+b$ były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych $a$ musi być równy $-1$. Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy $a=2$, to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej $p$ będzie równy:
$$2\cdot a=-1 \\
a=-\frac{1}{2}$$

Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: $y=-\frac{1}{2}x+b$.

Krok 3. Obliczenie współczynnika $b$.
Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika $b$. Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu $S=(3,7)$ przez które ta prosta przechodzi.
$$y=-\frac{1}{2}x+b \\
7=-\frac{1}{2}\cdot3+b \\
7=-1,5+b \\
b=8\frac{1}{2}$$

Wzór naszej prostej prostopadłej to: $y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}$.

Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu $A$.
Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu $A$.
\begin{cases}
y=2x-3 \\
y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}
\end{cases}

Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
$$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \\
2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2} \\
\frac{5}{2}x=\frac{23}{2} \\
x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$

Znając wartość współrzędnej $x$ możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną $y$.
$$y=2x-3 \\
y=2\cdot4\frac{3}{5}-3 \\
y=9\frac{1}{5}-3 \\
y=6\frac{1}{5}$$

Współrzędne punktu styczności to: $A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)$.

Zadanie 32. (5pkt) Pewien turysta pokonał trasę $112$ km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o $3$ dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o $12$ km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

5pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma $x$ lub $y$ (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
$x$ - liczba pokonywanych kilometrów w ciągu dnia
$y$ - liczba dni wędrówki
$x\cdot y=112$

Mamy także informację, że jeśli turysta będzie podróżować o $3$ dni dłużej, czyli $y+3$, to mógłby pokonywać dziennie $12$ km mniej, czyli $x-12$. Trasa cały czas byłaby taka sama, więc:
$$(x-12)(y+3)=112$$

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z naszych rozważań możemy utworzyć następujący układ równań:
\begin{cases}
x\cdot y=112 \\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}\begin{cases}
y=\frac{112}{x} \\
(x-12)(y+3)=112
\end{cases}

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:
$$(x-12)\left(\frac{112}{x}+3\right)=112 \\
112+3x-\frac{1344}{x}-36=112 \\
3x-\frac{1344}{x}-36=0 \quad\bigg/\cdot x \\
3x^2-36x-1344=0 \quad\bigg/:3 \\
x^2-12x-448=0$$

Ostatnie dzielenie przez trzy nie było konieczne, ale dzięki niemu będziemy teraz działać na nieco mniejszych liczbach.

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: $a=1,\;b=-12,\;c=-448$
$$Δ=b^2-4ac=(-12)^2-4\cdot1\cdot(-448)=144+1792=1936 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1936}=44$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)-44}{2\cdot1}=\frac{12-44}{2}=\frac{-32}{2}=-16 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-12)+44}{2\cdot1}=\frac{12+44}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Wartość $x_{1}=-16$ musimy odrzucić, bo liczba pokonanych kilometrów nie może być ujemna. Stąd też końcową odpowiedzią jest $x=28$, czyli turysta pokonywał $28$ kilometrów dziennie.

Zadanie 33. (4pkt) Punkty $K$, $L$, i $M$ są środkami krawędzi $BC$, $HG$ i $AE$ sześcianu $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $1$ (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta $KLM$.
matura z matematyki
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją

0pkt

1pkt

2pkt

3pkt

4pkt

Punktacja

Wyjaśnienie

Wyjaśnienie punktacji:

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt $KLM$ jest równoboczny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka $|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}$ (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że $|AK|^2=\frac{5}{4}$.
3 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt $KLM$ jest równoboczny (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz długość jednego z jego boków, np. $|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$ (patrz: Krok 3.). Dopuszczalne jest także obliczenie kwadratów tych długości lub zapisanie długości w postaci $|MK|=\frac{\sqrt{6}}{2}$.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Wyjaśnienie:

Krok 1. Ustalenie tego, że trójkąt $KLM$ jest równoboczny.

Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki $AK$, $KG$ i $EL$ to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta $KLM$ są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty $AKM$, $GKL$ oraz $ELM$ są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.
matura z matematyki

Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta $KLM$ (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka $MK$. Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków $AM$ oraz $AK$. Z treści zadania wiemy, że $|AM|=1:2=\frac{1}{2}$. Brakuje nam jeszcze długości odcinka $AK$. Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:
matura z matematyki

Krok 2. Obliczenie długości odcinka $AK$.
Długość odcinka $AK$ wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta $ABK$:

$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|BK|^2=|AK|^2 \\
1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=|AK|^2 \\
1+\frac{1}{4}=|AK|^2 \\
|AK|^2=\frac{5}{4} \\
|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}} \quad\lor\quad |AK|=-\frac{5}{4}$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc $|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}$.

Krok 3. Obliczenie długości odcinka $MK$, czyli boku trójkąta równobocznego $KLM$.
Znamy długości odcinków $|AM|=\frac{1}{2}$ oraz $|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}$, możemy więc wrócić do trójkąta $AMK$ i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka $MK$ (czyli boku trójkąta równobocznego $KLM$).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AM|^2+|AK|^2=|MK|^2 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2=|MK|^2 \\
|MK|^2=\frac{1}{4}+\frac{5}{4} \\
|MK|^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\
|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$$

W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego $KLM$ ma miarę $a=\sqrt{\frac{3}{2}}$.

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta równobocznego $KLM$.
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, zatem:
$$P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$