Matura – Matematyka – Czerwiec 2023 (stara matura) – Odpowiedzi

C

Nie damy rady sprowadzić tych dwóch liczb do jednakowej podstawy potęgi, ale możemy sprowadzić je do jednakowego wykładnika. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$6^{30}:4^{15}=6^{30}:(2^2)^{15}= \\
=6^{30}:2^{30}=3^{30}$$

A

Korzystając z działań na pierwiastkach i potęgach, moglibyśmy całość rozpisać w następujący sposób:
$$\sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt[6]{x}=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{3}}\cdot x^{\frac{1}{6}}= \\
=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=x^{\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6}}=x^{1}=x$$

D

Do rozwiązania zadania skorzystamy ze wzoru na kapitalizację odsetek:
$$K_{n}=K\cdot(1+p)^n$$

\(K_{n}\) to kwota po naliczeniu odsetek
\(K\) to kapitał początkowy
\(p\) to oprocentowanie w okresie pojedynczej kapitalizacji
\(n\) to liczba kapitalizacji

Z treści zadania wynika, że:
\(K=30000\)
\(p=0,07\)
\(n=2\)

Dlaczego \(p=0,07\)?
Oprocentowanie lokaty w skali roku wynosi \(7\%\), czyli \(0,07\).

Dlaczego \(n=2\)?
Lokata jest na \(2\) lata, a odsetki naliczane są raz w roku. W związku z tym w trakcie całej lokaty odsetki będą naliczone \(2\cdot1=2\) razy.

Nie pozostaje nam nic innego jak podstawić poszczególne dane do wzoru:
$$K_{2}=30000\cdot(1+0,07)^{2} \\
K_{2}=30000\cdot(1,07)^{2} \\
K_{2}=30000\cdot1,1449 \\
K_{2}=34347$$

Skoro więc włożyliśmy na lokatę \(30000zł\), a po dwóch latach mamy na koncie \(34347zł\), to odsetki wyniosły:
$$34347zł-30000zł=4347zł$$

A

Obydwa logarytmy mają jednakową podstawę, zatem możemy skorzystać z działań na logarytmach i zapisać, że:
$$log_{2}\frac{1}{8}+log_{2}4=log_{2}\left(\frac{1}{8}\cdot4\right)= \\
=log_{2}\frac{1}{2}=-1$$

Jeśli nie umiemy podać z pamięci wartości \(log_{2}\frac{1}{2}\), to możemy standardowo zapisać, że rozwiązaniem tego logarytmu jest \(x\) i całość wyglądałaby w ten oto sposób:
$$log_{2}\frac{1}{2}=x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=\frac{1}{2}$$

Teraz musimy sprowadzając potęgi do jednakowej podstawy, otrzymamy:
$$2^x=\frac{1}{2} \\
2^x=2^{-1} \\
x=-1$$

C

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, całość możemy rozpisać w następujący sposób:
$$(1+\sqrt{5})^2-(1-\sqrt{5})^2=1+2\sqrt{5}+5-(1-2\sqrt{5}+5)= \\
=1+2\sqrt{5}+5-1+2\sqrt{5}-5=4\sqrt{5}$$

B

Mamy dość nietypową (jak na poziom podstawowy) nierówność trzeciego stopnia. W tym zadaniu należy się po prostu wykazać sprytem i sprawdzić, co się stanie gdy podstawimy poszczególne propozycje odpowiedzi do naszej nierówności. Przeanalizujmy każdą z podanych liczb.
· dla \(x=-20\) w trzecim nawiasie otrzymamy \(0\), co sprawi, że lewa strona nierówności będzie równa \(0\). Czyli to nie będzie poprawna odpowiedź, ponieważ chcemy, by ta wartość była mniejsza od \(0\).
· dla \(x=-23\) wszystkie nawiasy przyjmą wartość ujemną. Iloczyn trzech liczb ujemnych daje ujemny wynik, więc to jest sytuacja, która nas interesuje i to zatem będzie poprawna odpowiedź.
· dla \(x=20\) wszystkie nawiasy przyjmą wartość dodatnią. Iloczyn trzech liczb dodatnich daje dodatni wynik, więc to nie jest sytuacja, która by nas interesowała.
· dla \(x=23\) wszystkie nawiasy przyjmą wartość dodatnią. Iloczyn trzech liczb dodatnich daje dodatni wynik, więc to nie jest sytuacja, która by nas interesowała.

To oznacza, że jednym z rozwiązań tej nierówności będzie \(x=-23\).

C

Dziedzinę funkcji odczytujemy z osi \(Ox\). Widzimy, że funkcja przyjmuje swoje wartości dla argumentów od \(-5\) do \(-1\) (kropki są niezamalowane, więc nawiasy będą otwarte) oraz od \(1\) do \(5\) (i tu także kropki są niezamalowane, więc nawiasy będą otwarte. W takim razie dziedziną funkcji \(f\) będzie zbiór \((-5;-1)\cup(1;5)\).

B

Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\). Widzimy, że funkcja przyjmuje wartości od \(-3\) do \(-1\) oraz \(1\) do \(3\). I tu uwaga, choć kropki są niezamalowane, to trzeba zwrócić uwagę na to, że te wartości są jak przyjmowane przez funkcję (np. wartość \(y=-3\) jest przyjmowana dla argumentu \(x=-4,5\), czy też wartość \(y=-1\) jest przyjmowana dla argumentu \(x=-2\)). Stąd też moglibyśmy zapisać, że zbiorem wartości naszej funkcji jest \(\langle-3;-1\rangle\cup\langle1;3\rangle\).

C

Chcąc poznać wartość funkcji \(f\) dla argumentu \(4\), wystarczy podstawić do wzoru \(x=4\), dzięki czemu otrzymamy:
$$f(4)=\frac{4^2+4}{4-2}=\frac{16+4}{2}=\frac{20}{2}=10$$

D

Znając współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi nasza prosta, możemy wyznaczyć pełne równanie prostej - w tym celu możemy skorzystać albo z bardzo rozbudowanego wzoru z tablic, albo też ze znacznie popularniejszej metody budowy układu równań. Nas jednak interesuje jedynie poznanie współczynnika \(a\), którego wartość możemy poznać wykorzystując następujący wzór:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając znane współrzędne punktóW \(A\) oraz \(B\), otrzymamy:
$$a=\frac{3-(-1)}{4-(-3)} \\
a=\frac{3+1}{4+3} \\
a=\frac{4}{7}$$

A

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, a z własności prostych wiemy, że nie mają one punktów wspólnych tylko wtedy, gdy są względem siebie równoległe (i gdy oczywiście nie są to proste równoległe, które się na siebie nakładają). Aby dwie proste były względem siebie równoległe, muszą mieć jednakowy współczynnik kierunkowy \(a\). W przypadku funkcji \(f(x)\) współczynnik \(a\) jest opisany wyrażeniem \(2m+3\), natomiast dla funkcji \(g(x)\) współczynnik \(a=-1\) (ponieważ przed iksem mamy jedynie minus). Skoro te współczynniki mają być sobie równe, to:
$$2m+3=-1 \\
2m=-4 \\
m=-2$$

D

Jeżeli współczynnik \(a\) jest mniejszy od zera, to ramiona paraboli będą skierowane do dołu, czyli nasz wybór możemy już ograniczyć do wykresów z odpowiedzi B oraz D.

Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że wykresy z odpowiedzi B oraz D mają w innych miejscach swój wierzchołek. Funkcja B przyjmuje swoją największą wartość dla jakiegoś ujemnego argumentu, natomiast funkcja D swoją największą wartość przyjmuje dla dodatniego argumentu. Mówiąc bardziej matematycznie - w na wykresie B mamy sytuację, w której współrzędna wierzchołka \(p\lt0\), natomiast na wykresie D mamy \(p\gt0\).

Wiemy, że współrzędną \(p\) możemy opisać wzorem \(p=\frac{-b}{2a}\). Z treści zadania wynika, że współczynnik \(b\gt0\) (czyli jest dodatni). Skoro więc w liczniku mamy \(-b\), to licznik będzie ujemny. W mianowniku mamy \(2a\) i wiemy, że \(a\) jest ujemne. To oznacza, że mianownik też będzie ujemny. Iloraz dwóch ujemnych liczb daje wynik dodatni, co prowadzi nas do wniosku, że \(p\gt0\). Taką sytuację mamy na wykresie z odpowiedzi D i to ona będzie tą przez nas poszukiwaną.

B

Idea zadania polega tak naprawdę na tym, by sprawdzić kiedy \(\frac{n-2}{3}\) jest mniejsze od 10, czyli musimy rozwiązać następującą nierówność:
$$\frac{n-2}{3}\lt10 \\
n-2\lt30 \\
n\lt32$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być dodatnią liczbą naturalną, mniejszą od \(32\). To oznacza, że pasują nam wszystkie liczby od \(1\) do \(31\) włącznie, czyli tym samym wyszło nam, że ten ciąg ma \(31\) wyrazów mniejszych od \(10\).

C

Zadanie jest dość podchwytliwe. Musimy zwrócić uwagę, że wzorem funkcji jest \(-2^{n}\), a nie \((-2)^{n}\). To ogromna różnica, bo zapis \(-2^{n}\) oznacza, że do potęgi będziemy podnosić liczbę \(2\), a przed wynikiem dostawimy minus.

Aby dowiedzieć się jaki to jest ciąg, najprościej będzie wypisać sobie trzy pierwsze wyrazy tego ciągu:
\(a_{1}=-2^{1}=-2 \\
a_{2}=-2^{2}=-4 \\
a_{3}=-2^{3}=-8\)

Już po tej rozpisce widać, że to nie może być ciąg arytmetyczny, bo drugi wyraz jest o \(2\) mniejszy od pierwszego, a trzeci wyraz jest o \(4\) mniejszy od wyrazu drugiego. To będzie ciąg geometryczny o ilorazie równym \(2\), ponieważ:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{-4}{-2}=2$$

C

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego zachodzi następująca zależność:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$

Podstawiając dane wyrazy z treści zadania, otrzymamy:
$$4=\frac{1+a+5}{2} \\
4=\frac{6+a}{2} \\
8=6+a \\
a=2$$

A

Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znamy wartości dwóch sąsiednich wyrazów ciągu, więc bez problemu możemy obliczyć iloraz:
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}} \\
q=\frac{-7,5}{3,75} \\
q=-2$$

Krok 2. Obliczenie wartości trzeciego wyrazu.
Do obliczenia sumy potrzebna nam będzie wartość \(a_{3}\). Możemy więc zapisać, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q \\
a_{3}=(-7,5)\cdot(-2) \\
a_{3}=15$$

Krok 3. Obliczenie sumy trzech początkowych wyrazów.
Moglibyśmy oczywiście skorzystać ze specjalnego wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, ale skoro znamy wartości wszystkich interesujących nas wyrazów, to wystarczy je po prostu do siebie dodać, zatem:
$$S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3} \\
S_{3}=3,75+(-7,5)+15 \\
S_{3}=11,25$$

A

Kluczem do sukcesu będzie wyłączenie \(cos\alpha\) przed nawias. Otrzymamy dzięki temu następującą sytuację:
$$cos\alpha-cos\alpha\cdot sin^2\alpha=cos\alpha\cdot(1-sin^2\alpha)= \\
=cos\alpha\cdot cos^2\alpha=cos^3\alpha$$

B

Krok 1. Obliczenie wartości sinusa.
Z jedynki trygonometrycznej wynika, że \(sin^2α+cos^2α=1\). Podstawiając zatem podaną w treści zadania wartość cosinusa, otrzymamy:
$$sin^2α+\left(\frac{2}{3}\right)^2=1 \\
sin^2α+\frac{4}{9}=1 \\
sin^2α=\frac{5}{9} \\
sinα=\sqrt{\frac{5}{9}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{5}{9}}$$

Ujemną wartość sinusa odrzucamy, ponieważ dla kątów ostrych sinus przyjmuje wartości dodatnie. Stąd też zostaje nam \(sinα=\sqrt{\frac{5}{9}}\), co możemy jeszcze rozpisać jako \(sinα=\frac{\sqrt{5}}{3}\).

Krok 2. Obliczenie wartości tangensa.
Znając wartość sinusa oraz cosinusa, możemy bez problemy wyznaczyć wartość tangensa:
$$tgα=\frac{sinα}{cosα} \\
tgα=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}:\frac{2}{3} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{3}{2} \\
tgα=\frac{\sqrt{5}}{2}$$

B

Krok 1. Wyznaczenie miar kątów \(ACB\) oraz \(DAC\).
Kąt \(ACD\) jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt wpisany \(ADC\). Z własności kątów wpisanych opartych na tym samym łuku wynika, że ich miary będą jednakowe, stąd też \(|\sphericalangle ACD|=20°\).

Analogicznie jest w przypadku kąta \(DAC\), który jest oparty na tym samym łuku co znany nam kąt \(DBC\), zatem miary tych kątów także będą jednakowe, czyli \(|\sphericalangle DAC|=20°\)

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(AKD\).
Spójrzmy na trójkąt \(AKD\). Znamy już miary dwóch kątów tego trójkąta, czyli \(20°\) oraz \(40°\). W takim razie, skoro suma miar kątów w trójkącie jest równa \(180°\), to kąt \(AKD\) ma miarę:
$$|\sphericalangle AKD|=180°-20°-40°=120°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(DKC\).
Kąt \(DKC\) jest kątem przyległym do kąta \(AKD\), a wiemy, że suma miar kątów przyległych jest równa \(180°\). W takim razie:
$$|\sphericalangle AKD|=180°-120°=60°$$

A

Krok 1. Obliczenie wartości \(sin135°\).
W tym zadaniu skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku "z sinusem", czyli:
$$P=a\cdot b\cdot\sin\alpha$$

Widzimy więc, że za chwilę będziemy musieli podać wartość \(sin135°\), a tej nie znajdziemy w tablicach trygonometrycznych. Chcąc się dowiedzieć ile jest równy \(sin135°\), musimy skorzystać ze wzorów redukcyjnych, np.:
$$sin(90°+\alpha)=cos\alpha$$

Moglibyśmy więc zapisać, że:
$$sin135°=sin(90°+45°)=cos45°$$

Z tablic trygonometrycznych możemy odczytać, że \(cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\), co prowadzi nas do wniosku, że \(sin135°=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Krok 2. Obliczenie długości boku \(AB\).
Teraz możemy już skorzystać z zapisanego wcześniej wzoru na pole równoległoboku. Długość boku \(AB\) (którą oznaczymy sobie jako \(a\)) jest jedyną niewiadomą w naszym zapisie, zatem:
$$40\sqrt{6}=a\cdot10\cdot\sin135° \\
4\sqrt{6}=a\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\bigg/\cdot2 \\
8\sqrt{6}=a\cdot\sqrt{2} \\
a=\frac{8\sqrt{6}}{\sqrt{2}} \\
a=\frac{8\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
a=8\sqrt{3}$$

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AD\).
W tym zadaniu musimy skorzystać z twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej. Z tego twierdzenia wynika, że między poszczególnymi bokami na siecznej oraz stycznej zajdzie następująca równość:
$$|DC|\cdot|DB|=|AD|^2$$

Podstawiając teraz dane z treści zadania do wzoru, otrzymamy:
$$3\cdot7=|AD|^2 \\
21=|AD|^2 \\
|AD|=\sqrt{21} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{21}$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok ma zawsze dodatnią miarę, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{21}\).

Krok 2. Obliczenie długości odległości punktu \(A\) od prostej \(l\).
Odległość punktu \(A\) od prostej \(l\) to jednocześnie długość odcinka \(AC\). Korzystając zatem z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ACD\), moglibyśmy zapisać, że:
$$|AC|^2+3^2=(\sqrt{21})^2 \\
|AC|^2+9=21 \\
|AC|^2=12 \\
|AC|=\sqrt{12} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{12}$$

Długość odcinka musi być oczywiście dodatnia, stąd też wynika, że \(|AC|=\sqrt{12}\).

D

Aby wykresy dwóch funkcji liniowych były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Widzimy, że w funkcji \(f(x)\) współczynnik \(a=-1\) (ponieważ przed iksem stoi jedynie minus). To oznacza, że współczynnik \(a\) funkcji \(g(x)\) musi być równy \(1\), ponieważ \(1\cdot(-1)=-1\). To prowadzi nas do wniosku, że funkcja \(g(x)\) musi wyrażać się wzorem \(g(x)=x+b\).

Nie znamy jeszcze wartości współczynnika \(b\). Wiemy jednak, że wykres funkcji \(g\) przechodzi przez punkt \(P=(0,-1)\), który to punkt znajduje się na osi \(Oy\). Z własności współczynnika \(b\) funkcji liniowej wynika, że skoro wykres przecina oś \(Oy\) dla \(y=-1\), to tym samym \(b=-1\).

W takim razie wyszło nam, że funkcję \(g\) możemy opisać wzorem \(g(x)=x+(-1)\), czyli \(g(x)=x-1\).

B

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania wygląda mniej więcej w ten sposób:


Kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że zadanie można oprzeć na obliczaniu środków odcinków. Punkt \(P\) jest środkiem odcinka \(AS\) (znamy współrzędne \(A\) oraz \(P\), więc tak właśnie wyliczymy \(S\)), a jak już poznamy współrzędne punktu \(S\), to ponownie skorzystamy ze wzoru na środek odcinka i obliczymy współrzędne punktu \(B\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(S\).
Spójrzmy najpierw na odcinek \(AS\), którego środkiem będzie punkt \(P\). W zadaniu skorzystamy ze wzoru na środek odcinka, czyli:
$$P=\left(\frac{x_{A}+x_{S}}{2};\frac{y_{A}+y_{S}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne \(P\) środka odcinka oraz znamy też współrzędne punktu \(A\), więc możemy wyznaczyć poszukiwane współrzędne punktu \(S\). Dla lepszej przejrzystości obliczeń możemy obliczyć oddzielnie współrzędne \(x_{S}\) oraz \(y_{S}\), zatem:
$$x_{P}=\frac{x_{A}+x_{S}}{2} \\
3=\frac{1+x_{S}}{2} \\
6=1+x_{S} \\
x_{S}=5$$

$$y_{P}=\frac{y_{A}+y_{S}}{2} \\
1=\frac{7+y_{S}}{2} \\
2=7+y_{S} \\
y_{S}=-5$$

To oznacza, że \(S=(5;-5)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(B\).
Teraz spoglądamy na odcinek \(AB\), którego środkiem jest nasz wyznaczony przed chwilą punkt \(S\). Analogicznie więc do poprzedniego kroku, korzystamy ze wzoru na środek odcinka i wyznaczamy w ten sposób współrzędne punktu \(B\):
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
5=\frac{1+x_{B}}{2} \\
10=1+x_{B} \\
x_{B}=9$$

$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-5=\frac{7+y_{B}}{2} \\
-10=7+y_{B} \\
y_{B}=-17$$

To oznacza, że \(B=(9;-17)\).

C

Krok 1. Obliczenie długości odcinka \(AB\).
Skorzystamy ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, ponieważ znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\).
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając do tego wzoru współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), otrzymamy:
$$|AB|=\sqrt{(3-(-1))^2+(-3-5)^2} \\
|AB|=\sqrt{4^2+(-8)^2} \\
|AB|=\sqrt{16+64} \\
|AB|=\sqrt{80}$$

W otrzymanym wyniku możemy się jeszcze pokusić o wyłączenie czynnika przed znak pierwiastka, rozpisując całość jako:
$$\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot5}=4\sqrt{5}$$

Nie mniej jednak, jak się za chwilę okaże, postać \(\sqrt{80}\) będzie wygodniejsza do dalszych obliczeń.

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności przekątnych kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem skoro nasza przekątna ma długość \(\sqrt{80}\), to możemy zapisać, że:
$$a\sqrt{2}=\sqrt{80} \\
a=\sqrt{40}$$

Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
Pole kwadratu o boku \(a=\sqrt{40}\), jest równe:
$$P=a^2 \\
P=(\sqrt{40})^2 \\
P=40$$

B

Krok 1. Ustalenie współrzędnych punktu \(S\).
Przekształcenie punktu względem osi \(Ox\) sprawia, że zmienia się (na znak przeciwny) współrzędna \(y\). Współrzędna \(x\) w takiej sytuacji pozostaje niezmieniona. To oznacza, że punkt \(S\) ma współrzędne \(S=(3,-7)\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości \(a\) oraz \(b\).
Musimy teraz przyrównać \(3a-1\) do \(3\) oraz \(b+7\) do \(-7\), zatem:
$$3a-1=3 \\
3a=4 \\
a=\frac{4}{3}$$

$$b+7=-7 \\
b=-14$$

D

Krok 1. Obliczenie pola podstawy.
Objętość ostrosłupa możemy obliczyć ze wzoru:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$

Podstawiając dane z treści zadania, otrzymamy:
$$2\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot8 \\
6\sqrt{3}=P_{p}\cdot8 \\
P_{p}=\frac{6\sqrt{3}}{8} \\
P_{p}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie ostrosłupa jest trójkąt równoboczny (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Wzór na pole takiego trójkąta to:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Podstawiając teraz obliczone przed chwilą pole podstawy, otrzymamy:
$$\frac{3\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
a^2=3 \\
a=\sqrt{3} \quad\lor\quad a=-\sqrt{3}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(a=\sqrt{3}\).

C

Krok 1. Obliczenie długości przekątnej \(AD\).
Zaznaczona na rysunku przekątna \(AD\) jest tak zwaną dłuższą przekątną sześciokąta. Długość takich przekątnych jest dwa razy większa niż boku sześciokąta, co dobrze widać na poniższym szkicu:


To prowadzi nas do wniosku, że:
$$|AD|=2\cdot5 \\
|AD|=10$$

Krok 2. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(ADD'\). Jest to trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów ostrych jest kąt o mierze \(45°\). W takim razie jest to klasyczny trójkąt prostokątny równoramienny o kątach \(45°, 45°, 90°\). Przyprostokątne w takich trójkątach mają jednakową miarę, stąd też możemy zapisać, że \(|DD'|=10\).

Krok 3. Obliczenie pola ściany bocznej.
Ściana boczna jest prostokątem o wymiarach \(5\times10\), stąd też jej pole powierzchni będzie równe:
$$P=5\cdot10 \\
P=50$$

A

Jeżeli każdą z liczb zwiększymy o \(4\), to także o \(4\) zwiększy nam się średnia arytmetyczna. Skoro więc na początku średnia była równa \(s\), to teraz będzie ona równa \(s+4\).

D

Aby suma cyfr była równa \(3\), to nasza liczba musi się składać albo z trzech jedynek, albo z dwójki, jedynki i zera, albo też z trójki i dwóch zer. Takimi liczbami będą zatem:
$$111, 102, 120 \\
201, 210 \\
300$$

Łącznie jest to \(6\) liczb.

\(x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)\)

Krok 1. Doprowadzenie nierówności do postaci ogólnej.
Zanim zaczniemy jakiekolwiek obliczenia, musimy wykonać odpowiednie przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie mieć jedynie \(0\), zatem:
$$x(2x-1)\lt2x \\
2x^2-x-2x\lt0 \\
2x^2-3x\lt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Musimy teraz wyznaczyć miejsca zerowe, czyli sprawdzić, kiedy \(2x^2-3x=0\). Moglibyśmy oczywiście wyznaczyć te miejsca zerowe za pomocą delty (pamiętając, że w tej sytuacji współczynnik \(c=0\)), ale takie równania kwadratowe da się rozwiązać znacznie szybciej - wystarczy wyłączyć \(x\) przed nawias. Całość wyglądałaby następująco:
$$2x^2-3x=0 \\
x(2x-3)=0$$

Teraz postępujemy jak przy postaci iloczynowej, czyli przyrównujemy do zera to co jest przed nawiasem oraz to, co jest w nawiasie, zatem:
$$x=0 \quad\lor\quad 2x-3=0 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=3 \\
x=0 \quad\lor\quad x=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik kierunkowy \(a\) jest dodatni (bo \(a=2\)), zatem parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry. Zaznaczamy więc na osi wyznaczone miejsca zerowe (kropki będą niezamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)) i rysujemy parabolę:


Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy wartości mniejszych od zera, czyli zerkamy na to, co znajduje się pod osią. To oznacza, że rozwiązaniem tej nierówności będzie przedział:
$$x\in\left(0;\frac{3}{2}\right)$$

\(x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{3}{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7}\)

Chcąc rozwiązać to równanie, wystarczy przyrównać wartości w nawiasach do zera i rozwiązać powstałe równania kwadratowe:
$$2x^2+3x=0 \quad\lor\quad x^2-7=0 \\
x(2x+3)=0 \quad\lor\quad x^2=7 \\
x=0 \quad\lor\quad 2x+3=0 \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7} \\
x=0 \quad\lor\quad 2x=-3 \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7} \\
x=0 \quad\lor\quad x=-\frac{3}{2} \quad\lor\quad x=\sqrt{7} \quad\lor\quad x=-\sqrt{7}$$

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Kluczem do sukcesu w tym zadaniu będzie przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę i rozbicie liczby \(4\) na sumę \(1+3\), co pozwoli później "zwinąć" zapisy przy wykorzystaniu wzorów skróconego mnożenia. Całość obliczeń będzie wyglądać następująco:
$$a^2+3b^2+4\gt2a+6b \\
a^2+3b^2+4-2a-6b\gt0 \\
a^2-2a+1+3b^2-6b+3\gt0 \\
(a-1)^2+3\cdot(b^2-2b+1)\gt0 \\
(a-1)^2+3\cdot(b-1)^2\gt0$$

Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy \(0\). Z założeń z treści zadania wynika, że \(b\neq a\), co prowadzi nas do wniosku, że przynajmniej jeden z nawiasów podniesiony do kwadratu da liczbę dodatnią, co z kolei sprawi, że suma po lewej stronie będzie na pewno dodatnia, co należało udowodnić.

\(f(x)=-\frac{3}{4}(x-2)(x+2)\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Kluczem do sukcesu jest dostrzeżenie, że punkt \(B\) informuje nas tak naprawdę o tym, że miejscem zerowym tej funkcji jest \(x=2\). Z własności wykresów funkcji kwadratowych wiemy, że wierzchołek paraboli znajduje się w równej odległości od miejsc zerowych. Skoro tak, to parabola z treści zadania wyglądać będzie następująco:


Dzięki tej obserwacji jesteśmy w stanie stwierdzić, że w takim razie drugim miejscem zerowym tej funkcji będzie \(x=-2\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji.
W zadaniu nie jest sprecyzowane w jakiej postaci ma być zapisany ten wzór, więc możemy posłużyć się dowolną postacią, a skoro znamy już miejsca zerowe, to najprościej będzie skorzystać z postaci iloczynowej typu:
$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$$

Podstawiając miejsca zerowe \(x_{1}=2\) oraz \(x_{2}=-2\), otrzymamy:
$$f(x)=a(x-2)(x-(-2)) \\
f(x)=a(x-2)(x+2)$$

Do pełnego wzoru brakuje nam już tylko wartości współczynnika \(a\). Poznamy go podstawiając do wzoru współrzędne punktu \(A\), zatem:
$$3=a(0-2)(0+2) \\
3=a\cdot(-2)\cdot2 \\
3=-4a \\
a=-\frac{3}{4}$$

To oznacza, że nasza funkcja wyraża się wzorem \(f(x)=-\frac{3}{4}(x-2)(x+2)\).

\(Obw=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeśli jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to znaczy, że przyprostokątne \(AB\) oraz \(AC\) mają jednakową miarę. Wiemy też, że punkt \(D\) dzieli bok \(AB\) na dwie równe części, co sprawia, że sytuacja z treści zadania wygląda następująco:


Krok 2. Obliczenie długości boków trójkąta.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
$$x^2+(2x)^2=25 \\
x^2+4x^2=25 \\
5x^2=25 \\
x^2=5 \\
x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam zatem \(x=\sqrt{5}\).

Przyprostokątne oznaczyliśmy jako \(2x\), zatem każda z przyprostokątnych będzie mieć długość \(2\sqrt{5}\). Długość przeciwprostokątnej moglibyśmy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa, ale skoro jest to trójkąt prostokątny równoramienny, to znaczy, że jest to po prostu trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\). Przeciwprostokątna w takich trójkątach jest \(\sqrt{2}\) razy większa od przyprostokątnych, zatem:
$$c=2\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=2\sqrt{10}$$

Krok 3. Obliczenie obwodu trójkąta.
Znamy już długości wszystkich boków trójkąta, zatem obwód będzie równy:
$$Obw=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{10} \\
Obw=4\sqrt{5}+2\sqrt{10}$$

\(P(A)=\frac{1}{7}\)

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Losujemy dwie liczby spośród ośmiu, ale losowanie odbywa się bez zwracania. To oznacza, że w pierwszym losowaniu wybieramy spośród ośmiu liczb, ale już w drugim tylko spośród siedmiu. W takim razie, zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich zdarzeń elementarnych będziemy mieć
$$|Ω|=8\cdot7=56$$

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczb, których suma jest dzielnikiem liczby \(8\). Dzielnikami tej liczby są \(1, 2, 4\) oraz \(8\). Sumy równej \(1\) oraz \(2\) nie uda nam się uzyskać w żaden sposób. Sumę równą \(4\) otrzymamy losując pary:
$$(1;3), (3;1)$$

Wariantu \((2;2)\) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek. Sumę równą \(8\) otrzymamy losując pary:
$$(1;7), (2;6), (3;5), \\
(5;3), (6;2), (7;1)$$

Wariantu \((4;4)\) nie rozważamy, bo nie da się wylosować dwóch czwórek. W związku z tym zdarzeń sprzyjających mamy \(|A|=2+6=8\).

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{56}=\frac{1}{7}$$

\(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\) oraz \(P=56,25\)

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na trapez kluczowe dane z treści zadania, otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Wyznaczenie równania prostej prostopadłej \(AB\).
Chcąc poznać współrzędne punktu \(A\), musimy ustalić najpierw jakie jest równanie prostej, która przechodzi przez podstawę \(AB\). Ta prosta będzie prostopadła do osi symetrii, czyli do prostej \(y=-\frac{4}{3}x+15\). Z własności prostych prostopadłych wiemy, że dwie proste są względem siebie prostopadłe tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy \(-1\). Skoro tak, to nasza prosta prostopadła musi mieć współczynnik \(a=\frac{3}{4}\), ponieważ \(\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac{4}{3}\right)=-1\). Możemy zatem już stwierdzić, że nasza prosta \(AB\) wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x+b\).

Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(b\). Aby go poznać, wystarczy podstawić do wyznaczonego równania \(y=\frac{3}{4}x+b\) współrzędne punktu \(B, który do tej prostej należy. Otrzymamy w tedy:
$$8=\frac{3}{4}\cdot\frac{23}{2}+b \\
8=\frac{69}{8}+b \\
b=-\frac{5}{8}$$

To oznacza, że prosta AB wyraża się równaniem \(y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{8}\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych środka odcinka \(AB\).
Oś symetrii przecina podstawę \(AB\) na dwie równe części. To prowadzi nas do wniosku, że miejsce przecięcia się tej osi z wyznaczoną przed chwilą prostą \(AB\) będzie jednocześnie środkiem odcinka \(AB\). Aby poznać to miejsce przecięcia się tych prostych, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases}
y=\frac{3}{4}x-\frac{5}{8} \\
y=-\frac{4}{3}x+15
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$\frac{3}{4}x-\frac{5}{8}=-\frac{4}{3}x+15 \\
\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=15+\frac{5}{8} \\
\frac{9}{12}x+\frac{16}{12}x=15\frac{5}{8} \\
\frac{25}{12}x=\frac{125}{8} \quad\bigg/\cdot\frac{12}{25} \\
x=7\frac{1}{2}$$

Znamy już współrzędną \(x\). Teraz chcąc poznać współrzędną \(y\) musimy podstawić wyznaczony \(x=7\frac{1}{2}\) do wybranego równania z układu równań (np. z pierwszego). Otrzymamy wtedy:
$$y=\frac{3}{4}\cdot7\frac{1}{2}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{3}{4}\cdot\frac{15}{2}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{45}{8}-\frac{5}{8} \\
y=\frac{40}{8} \\
y=5$$

To oznacza, że \(S=\left(7\frac{1}{2};5\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(A\).
Znamy współrzędne środka odcinka \(AB\) oraz znamy współrzędne punktu \(B\). Interesujące nas współrzędne punktu \(A\) możemy zatem poznać korzystając ze wzoru na środek odcinka:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Dla lepszej przejrzystości obliczeń, wyznaczmy osobno współrzędną \(x_{A}\) oraz \(y_{A}\), zatem:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
7\frac{1}{2}=\frac{x_{A}+\frac{23}{2}}{2} \\
15=x_{A}+\frac{23}{2} \\
15=x_{A}+11\frac{1}{2} \\
x_{A}=3\frac{1}{2}$$

$$y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
5=\frac{y_{A}+8}{2} \\
10=y_{A}+8 \\
y_{A}=2$$

To oznacza, że \(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\).

Krok 5. Obliczenie długości podstawy \(AB\).
Do obliczenia pola powierzchni potrzebujemy długości odcinka \(AB. Skorzystamy w tym celu z następującego wzoru:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}$$

Podstawiając znane współrzędne \(A=\left(3\frac{1}{2};2\right)\) oraz \(B=\left(\frac{23}{2};8\right)\), otrzymamy
$$|AB|=\sqrt{(\frac{23}{2}-3\frac{1}{2})^2+(8-2)^2} \\
|AB|=\sqrt{8^2+6^2} \\
|AB|=\sqrt{64+36} \\
|AB|=\sqrt{100} \\
|AB|=10$$

Krok 6. Obliczenie wysokości trapezu.
Wysokość trapezu to długość odcinka \(SF\). Podstawiając do wzoru na długość odcinka współrzędne \(S=\left(7\frac{1}{2};5\right)\) oraz \(F=(3,11)\), otrzymamy:
$$|SF|=\sqrt{(3-7\frac{1}{2})^2+(11-5)^2} \\
|SF|=\sqrt{(-4,5)^2+6^2} \\
|SF|=\sqrt{20,25+36} \\
|SF|=\sqrt{56,25} \\
|SF|=7,5$$

To oznacza, że \(h=7,5\).

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni trapezu, zatem możemy zapisać, że:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h \\
P=\frac{1}{2}(10+5)\cdot7,5 \\
P=\frac{1}{2}\cdot15\cdot7,5 \\
P=56,25$$