Matura – Matematyka – Czerwiec 2022

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń musimy przenieść \(10x\) na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$-3x^2+8\ge10x \\
-3x^2-10x+8\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowej zaczynamy od obliczenia miejsc zerowych, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=-3,\;b=-10,\;c=8\)
$$Δ=b^2-4ac=(-10)^2-4\cdot(-3)\cdot8=100-(-96)=196 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{196}=14$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)-14}{2\cdot(-3)}=\frac{10-14}{-6}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-10)+14}{2\cdot(-3)}=\frac{10+14}{-6}=\frac{24}{-6}=-4$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) jest ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (kropki będą zamalowane, bo w nierówności wystąpił znak \(\ge\)) i mamy taką oto sytuację:



Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in\langle-4;\frac{2}{3}\rangle$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \((x-y)^2\gt0\) i nie uzasadnisz, dlaczego ta nierówność jest poprawna.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Przekształcając podaną nierówność, otrzymamy taką oto sytuację:
$$\frac{1}{25}x^2+2\cdot\frac{1}{5}x\cdot\frac{4}{5}y+\frac{16}{25}y^2\lt \frac{x^2+4y^2}{5} \quad\bigg/\cdot25 \\
x^2+8xy+16y^2\lt5x^2+20y^2 \\
-4x^2+8xy-4y^2\lt0 \\
-4(x^2-2xy+y^2)\lt0 \quad\bigg/:(-4) \\
x^2-2xy+y^2\gt0 \\
(x-y)^2\gt0$$

Z treści zadania wynika, że \(x\neq y\), a to oznacza, że różnica \(x-y\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, stąd też \((x-y)^2\) jest na pewno większe od zera, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci kanonicznej (bez wyznaczenia współczynnika \(a\)) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór funkcji w postaci ogólnej typu \(f(x)=ax^2+bx+8\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli funkcja kwadratowa ma tylko jedno miejsce zerowe równe \(2\), a w dodatku \(f(0)=8\), to wykres funkcji musi wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Krok 2. Zapisanie równania w postaci kanonicznej.
Z analizy rysunku wynika, że współrzędne wierzchołka paraboli to \(p=2\) oraz \(q=0\). Znając współrzędne wierzchołka, możemy przystąpić do wyznaczenia wzoru funkcji w postaci kanonicznej, zatem:
$$f(x)=a(x-p)^2+q \\
f(x)=a(x-2)^2+0 \\
f(x)=a(x-2)^2$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) i zapisanie wzoru funkcji.
Do pełnego wzoru brakuje nam tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Aby poznać jego wartość, wystarczy do wyznaczonego wzoru \(f(x)=a(x-2)^2\) podstawić współrzędne jednego z punktów, który należy do wykresu - w naszym przypadku będzie to punkt o współrzędnych \((0;8)\), zatem:
$$8=a(0-2)^2 \\
8=a\cdot(-2)^2 \\
8=4a \\
a=2$$

To oznacza, że wzorem tej funkcji będzie \(f(x)=2\cdot(x-2)^2\) i taka też jest odpowiedź do tego zadania.

Tak na marginesie - nie jest to konieczne, ale możemy też zapisać sobie ten wzór w postaci ogólnej (treść zadania nie precyzuje tego w jakiej postaci ma być podany wzór). W tym celu należy wykonać potęgowanie nawiasu (pamiętając przy okazji o wzorach skróconego mnożenia). Wyglądałoby to w następujący sposób:
$$f(x)=2\cdot(x-2)^2 \\
f(x)=2\cdot(x^2-4x+4) \\
f(x)=2x^2-8x+8$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które wynika z własności ciągów geometrycznych np. \((3x+2)^2=x\cdot(9x+16)\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następujące równanie:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając do tej zależności dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(3x+2)^2=x\cdot(9x+16) \\
9x^2+12x+4=9x^2+16x \\
12x+4=16x \\
4=4x \\
x=1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość boku \(AC\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AC\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długości dwóch boków. To oznacza, że brakującą długość \(AC\) obliczymy z twierdzenia Pitagorasa:
$$a^2+b^2=c^2 \\
a^2+24^2=26^2 \\
a^2+576=676 \\
a^2=100 \\
a=10 \quad\lor\quad a=-10$$

Ujemną długość odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna, zatem \(|AC|=10\).

Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Powinniśmy dostrzec, że trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(ACD\). Skąd to wiemy? Spójrzmy na trójkąt \(ABC\) - jeżeli kąt \(ABC\) oznaczymy jako \(\alpha\), to kąt \(CAB\) ma miarę \(90°-\alpha\). Skoro tak, to kąt \(DAC\) musi mieć miarę \(\alpha\), a tym samym kąt \(ACD\) ma miarę \(90°-\alpha\). W ten oto sposób wykazaliśmy, że obydwa trójkąty mają jednakowe miary, zatem są to trójkąty podobne (cecha kąt-kąt-kąt).


Krok 3. Obliczenie długości ramienia \(AD\).
W trójkątach podobnych stosunek długości boków sobie odpowiadających musi być jednakowy. Mówiąc obrazowo - jeżeli przeciwprostokątna trójkąta \(ABC\) jest \(2,6\) razy większa od przeciwprostokątnej \(ACD\) (bo \(26:10=2,6\)), to analogicznie długość dłuższej przyprostokątnej tego trójkąta jest \(2,6\) razy większa od naszego boku \(AD\). To prowadzi nas do wniosku, że:
$$|AD|=24:2,6 \\
|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$

Do tego samego wyniku dojdziemy układając proporcję wynikającą z podobieństwa trójkątów:
$$\frac{|AB|}{|AC|}=\frac{|BC|}{|AD|} \\
\frac{26}{10}=\frac{24}{|AD|}$$

Mnożąc teraz na krzyż, otrzymamy:
$$26\cdot|AD|=10\cdot24 \\
26|AD|=240 \\
|AD|=\frac{240}{26}=\frac{120}{13}=9\frac{3}{13}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę wszystkich zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.
Zdarzeniami elementarnymi są liczby dwucyfrowe większe od \(53\), czyli \(54,55,...,99\). I tu mamy największą trudność tego zadania, czyli musimy ustalić ile jest tych liczb, bo wcale nie jest ich \(99-54=45\). Takich liczb jest dokładnie \(46\). Dobrze to widać na poniższej rozpisce:
\(54,55,56,57,58,59\) to \(6\) liczb
\(60-69\) to \(10\) liczb
\(70-79\) to \(10\) liczb
\(80-89\) to \(10\) liczb
\(90-99\) to \(10\) liczb

Łącznie jest to \(|Ω|=46\) liczb.

Krok 2. Obliczenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym są liczby dwucyfrowe, większe od \(53\), które są podzielne przez \(7\). Takimi liczbami są:
$$56,63,70,77,84,91,98$$

Łącznie jest to \(|A|=7\) liczb.

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{7}{46}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że współrzędne punktu \(C\) to \(C=(x; x+10)\).
2 pkt
• Gdy wykonasz dwie czynności ocenione na 1 punkt.
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 2.) oraz wyznaczysz równanie prostej \(SC\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że współrzędne punktu \(C\) to \(C=(x; x+10)\) oraz zapiszesz równanie z dwiema niewiadomymi, bazujące na jednakowej długości ramion, wykorzystując wzór na długość odcinka.
4 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 5.), bez obliczenia współrzędnych punktu \(B\).
ALBO
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(B\) (patrz: Krok 2.) i zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, bazujące na jednakowej długości ramion, wykorzystując wzór na długość odcinka.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Z treści zadania wynika, że trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, bo boki \(AC\) oraz \(BC\) mają jednakową długość. Nanosząc dane z treści zadania otrzymamy taką oto sytuację:


Krok 2. Obliczenie współrzędnych punktu \(B\).
Środek odcinka \(AB\) o współrzędnych \(A=(x_{A};y_{A})\) oraz \(B=(x_{B};y_{B})\) możemy opisać wzorem:
$$S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)$$

Znamy współrzędne punktu \(A=(1,-3)\) oraz środek odcinka \(AB\), czyli \(S=(5,-1)\). W związku z tym bez problemy możemy obliczyć współrzędne punktu \(B\). Dla przejrzystości zapisu obliczmy każdą ze współrzędnych oddzielnie:
$$x_{S}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \\
5=\frac{1+x_{B}}{2} \\
10=1+x_{B} \\
x_{B}=9 \\
\quad \\
y_{S}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2} \\
-1=\frac{-3+y_{B}}{2} \\
-2=-3+y_{B} \\
y_{B}=1$$

To oznacza, że \(B=(9;1)\).

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\) prostej \(AB\).
Chcemy wyznaczyć współczynnik kierunkowy \(a\) prostej \(AB\), aby za chwilę móc wyznaczyć równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt \(S\). Znamy współrzędne punktów \(A\) oraz \(B\), więc możemy nawet wyznaczyć równanie prostej \(AB\) (korzystając albo z długiego wzoru z tablic, albo z metody układu równań). Skoro jednak nam potrzebny jest tylko współczynnik kierunkowy \(a\), to możemy posłużyć się sprytnym wzorem:
$$a=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}$$

Podstawiając współrzędne punktów \(A=(1,-3)\) oraz \(B=(9;1)\), otrzymamy:
$$a=\frac{1-(-3)}{9-1} \\
a=\frac{4}{8} \\
a=\frac{1}{2}$$

Krok 4. Wyznaczenie równania prostej \(SC\).
Z rysunku wynika, że chcąc wyznaczyć współrzędne punktu \(C\), musimy najpierw wyznaczyć prostą prostopadłą do prostej \(AB\), która przechodzi przez punkt \(S=(5,-1)\). Aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W poprzednim kroku ustaliliśmy już, że prosta \(AB\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), więc prosta prostopadła będzie mieć współczynnik \(a=-2\), bo \(\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\). To oznacza, że prostą prostopadłą możemy zapisać jako \(y=-2x+b\).

Do pełnego równania prostej prostopadłej brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Chcemy, by prosta prostopadła przechodziła przez punkt \(S=(5,-1)\), zatem podstawiając \(x=5\) oraz \(y=-1\) do równania \(y=-2x+b\), otrzymamy:
$$-1=-2\cdot5+b \\
-1=-10+b \\
b=9$$

To oznacza, że interesująca nas prosta prostopadła (pokrywająca się z wysokością trójkąta \(ABC\)) wyraża się równaniem \(y=-2x+9\).

Krok 5. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Punkt \(C\) jest miejscem przecięcia się prostych prostopadłych określonych równaniami \(y=x+10\) oraz \(y=-2x+9\). Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że współrzędne tego punktu wyznaczymy rozwiązując następujący układ równań:
\begin{cases}
y=x+10 \\
y=-2x+9
\end{cases}

Korzystając z metody podstawiania wyjdzie nam, że:
$$x+10=-2x+9 \\
3x=-1 \\
x=-\frac{1}{3}$$

Pierwszą współrzędną punktu \(C\) już więc znamy. Współrzędną \(y\) obliczymy podstawiając \(x=-\frac{1}{3}\) do jednego z równań z układu, np. do pierwszego \(y=x+10\), czyli:
$$y=-\frac{1}{3}+10 \\
y=9\frac{2}{3}$$

To oznacza, że \(C=\left(-\frac{1}{3};9\frac{2}{3}\right)\).