Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2021
Arkusz maturalny zawiera 28 zadań zamkniętych oraz 7 zadań otwartych. Łącznie do zdobycia jest 45 punktów, a sugerowany maksymalny czas rozwiązywania to 170 minut.
Zadanie 1. (1pkt) Wartość wyrażenia \(\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot(\sqrt{2}-\sqrt{3})\) jest równa:
Zadanie 2. (1pkt) Liczba \(\left(7^{\frac{5}{4}}\cdot7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{2}{3}}\) jest równa:
Zadanie 3. (1pkt) Niech \(log_{3}18=c\). Wtedy \(log_{3}54\) jest równy:
Zadanie 4. (1pkt) Cenę drukarki obniżono o \(20\%\), a następnie nową cenę obniżono o \(10\%\). W wyniku obu tych zmian cena drukarki zmniejszyła się w stosunku do ceny sprzed obu obniżek o:
Zadanie 5. (1pkt) Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wyrażenie \((x-1)^2-(2-x)^2\) jest równe:
Zadanie 6. (1pkt) Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych \(x\), spełniających jednocześnie nierówności \(0\lt7-3x\) oraz \(7-3x\le5x-3\).
Zadanie 7. (1pkt) Rozwiązaniem równania \(x\sqrt{3}+2=2x-8\) jest liczba:
Zadanie 8. (1pkt) Równanie \(\frac{x^2-7x}{x^2-49}=0\) ma w zbiorze liczb rzeczywistych dokładnie:
Zadanie 9. (1pkt) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \((-1,7)\).
Wskaż zdanie prawdziwe.
Zadanie 10. (1pkt) Wykresem funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-3(x+4)(x-2)\) jest parabola o wierzchołku \(W=(p,q)\). Współrzędne wierzchołka \(W\) spełniają warunki:
Zadanie 11. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).
Drugim miejscem zerowym funkcji \(f\) jest liczba:
Zadanie 12. (1pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f\). Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba \(2\). Do wykresu funkcji \(f\) należy punkt \((0,3)\). Prosta o równaniu \(x=-2\) jest osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji \(f\).
Wartość funkcji \(f\) dla argumentu \((-4)\) jest równa:
Zadanie 13. (1pkt) Dane są ciągi \((a_{n}), (b_{n}), (c_{n}), (d_{n})\) określone dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\) wzorami: \(a_{n}=20n+3, b_{n}=2n^2-3, c_{n}=n^2+10n-2, d_{n}=\frac{n+187}{n}\). Liczba \(197\) jest dziesiątym wyrazem ciągu:
Zadanie 14. (1pkt) Ciąg geometryczny \((a_{n})\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Ponadto spełniony jest warunek \(a_{3}=a_{1}\cdot a_{2}\). Niech \(q\) oznacza iloraz ciągu \((a_{n})\). Wtedy:
Zadanie 15. (1pkt) Kąt o mierze \(\alpha\) jest ostry i \(tg\alpha=\sqrt{5}\). Wtedy:
Zadanie 16. (1pkt) Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) oraz \(C\). Odcinek \(AC\) jest średnicą tego okręgu, a kąt środkowy \(AOB\) ma miarę \(82°\) (zobacz rysunek).
Miara kąta \(OBC\) jest równa:
Zadanie 17. (1pkt) Dane są okrąg i prosta styczna do tego okręgu w punkcie \(A\). Punkty \(B\) i \(C\) są położone na okręgu tak, że \(BC\) jest jego średnicą. Cięciwa \(AB\) tworzy ze styczną kąt o mierze \(40°\) (zobacz rysunek).
Miara kąta \(ABC\) jest równa:
Zadanie 18. (1pkt) Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o bokach \(|AC|=24\), \(|BC|=10\), \(|AB|=26\). Dwusieczne kątów tego trójkąta przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).
Odległość \(x\) punktu \(P\) od przeciwprostokątnej \(AB\) jest równa:
Zadanie 19. (1pkt) Jeden z boków równoległoboku ma długość równą \(5\). Przekątne tego równoległoboku mogą mieć długości:
Zadanie 20. (1pkt) W pewnym trójkącie równoramiennym największy kąt ma miarę \(120°\), a najdłuższy bok ma długość \(12\) (zobacz rysunek).
Najkrótsza wysokość tego trójkąta ma długość równą:
Zadanie 21. (1pkt) Prosta przechodząca przez punkty \((-4,-1)\) oraz \((5,5)\) ma równanie:
Zadanie 22. (1pkt) Proste o równaniach \(y=-\frac{1}{m-2}x-1\) i \(y=\frac{1}{3}x+1\) są równoległe. Wynika stąd, że:
Zadanie 23. (1pkt) W prostokącie \(ABCD\) dane są wierzchołki \(C=(-3,1)\) oraz \(D=(2,1)\). Bok \(AD\) ma długość \(6\). Pole tego prostokąta jest równe:
Zadanie 24. (1pkt) Obrazem prostej o równaniu \(x-2y+3=0\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) jest prosta o równaniu:
Zadanie 25. (1pkt) Graniastosłup prawidłowy ma \(36\) krawędzi. Długość każdej z tych krawędzi jest równa \(4\). Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe:
Zadanie 26. (1pkt) Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest \(2\) razy dłuższa od krawędzi jego podstawy. Stosunek pola powierzchni bocznej tego ostrosłupa do pola jego podstawy jest równy:
Zadanie 27. (1pkt) W pudełku znajdują się płytki z literami. Na każdej płytce jest wydrukowana jedna litera - spółgłoskowa albo samogłoskowa. Płytek z literami spółgłoskowymi jest o \(25\%\) więcej niż płytek z literami samogłoskowymi. Losujemy jedną płytkę. Prawdopodobieństwo wylosowania płytki z literą samogłoskową jest równe:
Zadanie 28. (1pkt) Średnia arytmetyczna czterech liczb dodatnich: \(2\), \(3x\), \(3x+2\), \(3x+4\) jest równa \(\frac{13}{2}\). Wynika stąd, że:
Zadanie 29. (2pkt) Rozwiąż nierówność: \(2(x+1)(x-3)\lt x^2-9\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Zanim przystąpimy do wykonywania obliczeń, musimy zapisać tę nierówność w postaci ogólnej. Musimy zatem wymnożyć nawiasy znajdujące się po lewej stronie i całość zapisu przekształcić w taki sposób, by po prawej stronie zostało samo zero.
$$2(x+1)(x-3)\lt x^2-9 \\
2(x^2-3x+x-3)\lt x^2-9 \\
2x^2-6x+2x-6\lt x^2-9 \\
2x^2-4x-6\lt x^2-9 \\
x^2-4x+3\lt0$$
Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-4,\;c=3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-2}{2\cdot1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+2}{2\cdot1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\lt\)). Współczynnik \(a\) jest dodatni, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, czyli całość będzie wyglądać następująco:
Krok 4. Odczytanie rozwiązania.
Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości mniejsze od zera, a więc rozwiązaniem nierówności będzie przedział:
$$x\in(1;3)$$
Zadanie 30. (2pkt) Wykaż, że dla wszystkich liczb rzeczywistych \(a, b\) i \(c\) takich, że \(\frac{a+b}{2}\gt c\) i \(\frac{b+c}{2}\gt a\), prawdziwa jest nierówność \(\frac{a+c}{2}\lt b\)
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy połączysz wszystkie informacje w jedną nierówność np. \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Skoro \(\frac{a+b}{2}\gt c\) oraz \(\frac{b+c}{2}\gt a\), to możemy zapisać, że suma \(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\) musi być większa od sumy \(c+a\). Zapiszmy zatem, że:
$$\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}\gt c+a \\
\frac{a+2b+c}{2}\gt c+a \\
a+2b+c\gt2c+2a \\
2b\gt a+c \\
b\gt\frac{a+c}{2} \\
\frac{a+c}{2}\lt b$$
Zadanie 31. (2pkt) Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_{n})\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wykorzystasz wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(a_{21}=a_{1}+20r\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wzoru na sumę dwudziestu początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20$$
Z treści zadania wynika, że ta suma ma być równa \(20a_{21}+62\), zatem:
$$\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20=20a_{21}+62 \\
(a_{1}+a_{20})\cdot10=20a_{21}+62 \\
a_{1}+a_{20}=2a_{21}+6,2$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{20}=a_{1}+19r\) oraz że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Podstawiając te informacje do wyznaczonego przed chwilą równania, możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+19r=2\cdot(a_{1}+20r)+6,2 \\
2a_{1}+19r=2a_{1}+40r+6,2 \\
-21r=6,2 \\
-21r=\frac{62}{10} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{21}\right) \\
r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}$$
Zadanie 32. (2pkt) Dany jest trapez o podstawach długości \(a\) oraz \(b\) i wysokości \(h\). Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o \(25\%\), a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość \(h\) trapezu.
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie składające się z dwóch wzorów na pole trapezu (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Zapisanie wzorów na pole trapezu.
Pole trapezu obliczamy ze wzoru:
$$P=\frac{1}{2}(a+b)\cdot h$$
Wiemy, że podstawy naszego początkowego trapezu zostały wydłużone o \(25\%\), czyli wynoszą teraz \(1,25a\) oraz \(1,25b\). Naszym celem jest poznanie długości nowej wysokości, którą oznaczymy sobie jako \(x\). Wzór na pole zmienionego trapezu będziemy więc mogli zapisać jako:
$$P=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x$$
Krok 2. Obliczenie nowej wysokości trapezu.
Pola powierzchni jednego i drugiego trapezu muszą być równe, zatem:
$$\frac{1}{2}(a+b)\cdot h=\frac{1}{2}(1,25a+1,25b)\cdot x \\
(a+b)\cdot h=(1,25a+1,25b)\cdot x \\
(a+b)\cdot h=1,25(a+b)\cdot x \quad\bigg/:(a+b) \\
h=1,25x \\
h=\frac{5}{4}x \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\
x=\frac{4}{5}h$$
Skoro nowa wysokość stanowi \(\frac{4}{5}\) starej wysokości, to znaczy, że wysokość została skrócona o \(20\%\).
Zadanie 33. (2pkt) W trójkącie \(ABC\) boki \(BC\) i \(AC\) są równej długości. Prosta \(k\) jest prostopadła do podstawy \(AB\) tego trójkąta i przecina boki \(AB\) oraz \(BC\) w punktach – odpowiednio – \(D\) i \(E\). Pole czworokąta \(ADEC\) jest \(17\) razy większe od pola trójkąta \(BED\). Oblicz \(\frac{|CE|}{|EB|}\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz związek między polami trójkątów \(FBC\) oraz \(DBE\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy dostrzeżesz podobieństwo trójkątów \(FBC\) oraz \(DBE\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W treści mamy sporo danych, więc spróbujmy je uporządkować na rysunku pomocniczym:
Z treści zadania wynika wprost, że nasz trójkąt jest równoramienny. W takim razie kluczem do sukcesu będą teraz dwie rzeczy - po pierwsze, musimy dostrzec, że cały trójkąt \(ABC\) ma pole powierzchni równe \(17P+P=18P\). Po drugie, jeżeli dorysujemy sobie wysokość z wierzchołka \(C\), to otrzymamy dwa trójkąty o polu \(9\) (bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli nam trójkąty na dwie równe części).
Krok 2. Dostrzeżenie trójkątów podobnych i obliczenie skali podobieństwa.
Spójrzmy na trójkąty \(FBC\) oraz \(DBE\). Dzięki temu, że odcinki \(FC\) oraz \(DE\) są względem siebie równoległe (obydwa są prostopadłe do prostej \(AB\)) to możemy być pewni, że trójkąty \(FBC\) oraz \(DBE\) są trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt).
Spróbujmy zatem wyznaczyć skalę podobieństwa tych trójkątów. Widzimy, że pole trójkąta \(FBC\) wynosi \(9P\), a pole trójkąta \(DBE\) jest równe \(1P\). Z własności trójkątów podobnych wiemy, że gdy dany trójkąt jest podobny do drugiego w skali \(k\) to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku trójkąt \(FBC\) ma pole \(9\) razy większe od pola trójkąta \(DBE\), zatem:
$$k^2=9 \\
k=3 \quad\lor\quad k=-3$$
Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(k=3\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(CE\).
Wiemy już, że skala podobieństwa trójkątów \(FBC\) oraz \(DBE\) jest równa \(k=3\). To oznacza, że jeżeli bok \(BE\) ma długość \(x\), to odcinek \(BC\) będzie trzykrotnie większy, czyli jego długość będziemy mogli oznaczyć jako \(3x\).
Interesujący nas odcinek \(CE\) jest różnicą między długością odcinka \(BC\) oraz \(BE\), zatem:
$$|CE|=|BC|-|BE| \\
|CE|=3x-x \\
|CE|=2x$$
Krok 4. Obliczenie zależności \(\frac{|CE|}{|EB|}\).
Na sam koniec musimy obliczyć wartość \(\frac{|CE|}{|EB|}\). Znamy już długości obydwu odcinków, zatem możemy zapisać, że:
$$\frac{|CE|}{|EB|}=\frac{2x}{x}=2$$
Zadanie 34. (2pkt) Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\), losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy liczbę dwucyfrową, która jest podzielna przez \(4\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń elementarnych (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy obliczysz liczbę zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Musimy na początku ustalić ile jest liczb dwucyfrowych, których cyfra dziesiątek należy do zbioru \(\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), a cyfra jedności należy do zbioru \(\{0, 1, 2, 3, 4\}\). Widzimy, że cyfrą dziesiątek może być jedna z sześciu liczb, a cyfrą jedności może być jedna z pięciu liczb. To oznacza, że zgodnie z regułą mnożenia, wszystkich takich liczb mamy \(|Ω|=6\cdot5=30\).
Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest wylosowanie liczby podzielnej przez \(4\). Nie znajdziemy tutaj za bardzo szybkiego sposobu na obliczenie ile jest tych liczb, ale możemy spróbować je wypisać. Nie będzie to trudne, bo liczba podzielna przez \(4\) na pewno nie ma w cyfrze jedności liczb \(1\) oraz \(3\), zatem wiele wariantów nam odpadnie. Pasującymi liczbami będą jedynie:
$$32, 40, 44, 52, 60, 64, 72, 80, 84$$
Mamy zatem \(9\) takich liczb, czyli \(|A|=9\).
Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{9}{30}=\frac{3}{10}$$
Zadanie 35. (5pkt) Podstawa \(AB\) trójkąta równoramiennego \(ABC\) jest zawarta w prostej o równaniu \(y=-2x+16\). Wierzchołki \(B\) i \(C\) mają współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(A\) i pole trójkąta \(ABC\).
Przyznaj sobie samodzielnie punkty, zgodnie z proponowaną punktacją
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość ramienia \(|BC|=\sqrt{74}\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej zawierającej wysokość opuszczoną z punktu \(C\), czyli \(y=\frac{1}{2}x+4\).
ALBO
• Gdy obliczysz współczynnik kierunkowy prostej \(BC\), czyli \(a=\frac{7}{5}\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz równanie wynikające z równoramienności trójkąta ABC (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz środek odcinka \(AB\), czyli \(D=\left(\frac{24}{5};\frac{32}{5}\right)\).
ALBO
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(AC\), czyli \(y=-\frac{1}{43}x+\frac{127}{43}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz współrzędne punktu \(A\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość podstawy \(|AB|=\frac{18\sqrt{5}}{5}\) oraz wysokość \(h=\frac{17\sqrt{5}}{5}\).
ALBO
• Gdy otrzymasz błędny wynik jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać następująco:
Krok 2. Zapisanie równania wynikającego z równej długości ramion.
Skoro trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, to długość odcinka \(AC\) musi być równa długości \(BC\). Korzystając ze wzoru na długość odcinka moglibyśmy więc zapisać, że:
$$|AC|=|BC| \\
\sqrt{(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2}=\sqrt{(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2} \\
(x_{C}-x_{A})^2+(y_{C}-y_{A})^2=(x_{C}-x_{B})^2+(y_{C}-y_{B})^2$$
Teraz do tego równania musimy podstawić współrzędne z treści zadania. Oczywiście brakuje nam współrzędnych punktu \(A\) (to właśnie ich szukamy), ale i tutaj możemy już dokonać ważnej obserwacji. Skoro prosta \(y=-2x+16\) przechodzi przez punkt \(A\), to znaczy, że współrzędna \(y_{A}\) da się opisać równaniem \(-2x+16\). Moglibyśmy nawet zapisać, że współrzędne punktu \(A\) to \(A=(x;-2x+16)\). Podstawiając zatem te współrzędne oraz współrzędne \(B=(3,10)\) i \(C=(-2,3)\), otrzymamy:
$$(-2-x)^2+(3-(-2x+16))^2=(-2-3)^2+(3-10)^2 \\
(-2-x)^2+(3+2x-16)^2=(-5)^2+(-7)^2 \\
(-2-x)^2+(2x-13)^2=25+49 \\
4+4x+x^2+4x^2-52x+169=74 \\
5x^2-48x+99=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem skorzystamy z niezawodnej delty:
Współczynniki: \(a=5,\;b=-48,\;c=99\)
$$Δ=b^2-4ac=(-48)^2-4\cdot5\cdot99=2304-1980=324 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{324}=18$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-48)-18}{2\cdot5}=\frac{48-18}{10}=\frac{30}{10}=3 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-48)+18}{2\cdot5}=\frac{48+18}{10}=\frac{66}{10}=6,6$$
Krok 4. Zapisanie współrzędnych punktu \(A\).
Otrzymaliśmy dwie możliwości współrzędnej \(x\) punktu \(A\). Ta wartość może być równa \(x=3\) oraz \(x=6,6\). Pierwszy przypadek musimy odrzucić, a to dlatego, że \(x=3\) to współrzędna punktu \(B\) (który przecież leży na tej samej prostej co punkt \(A\)). Punkty \(A\) oraz \(B\) nie mogą się pokrywać, więc zostaje nam, że \(x=6,6\).
Skoro tak, to obliczmy teraz współrzędną \(y\). W tym celu wystarczy podstawić \(x=6,6\) do równania prostej \(y=-2x+16\), zatem:
$$y=-2\cdot6,6+16 \\
y=-13,2+16 \\
y=2,8$$
To oznacza, że \(A=(6,6;2,8)\).
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.
Na sam koniec musimy obliczyć pole powierzchni tego trójkąta. Nie będzie to trudne, bo mając współrzędne wszystkich wierzchołków tej figury, możemy skorzystać ze specjalnego wzoru z tablic:
$$P=\frac{1}{2}|(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(y_{B}-y_{A})(x_{C}-x_{A})| \\
P=\frac{1}{2}|(3-6,6)\cdot(3-2,8)-(10-2,8)\cdot(-2-6,6)| \\
P=\frac{1}{2}|(-3,6)\cdot(0,2)-(7,2)\cdot(-8,6)| \\
P=\frac{1}{2}|(-0,72)-(-61,92)| \\
P=\frac{1}{2}|-0,72+61,92| \\
P=\frac{1}{2}|61,2| \\
P=\frac{1}{2}\cdot61,2 \\
P=30,6$$
Poprzednie
Zakończ
Następne