Matura – Matematyka – Czerwiec 2017

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Zapisanie nierówności w postaci ogólnej.
Aby przystąpić do wykonywania obliczeń musimy przenieść wszystkie wyrazy na lewą stronę, tak aby po prawej stronie zostało nam tylko zero. Zatem:
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)x\gt3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right) \\
\left(x-\frac{1}{2}\right)x-3\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\gt0$$

Wbrew pozorom nie jest to postać iloczynowa z której łatwo moglibyśmy wyznaczyć miejsca zerowe, bo w środku całego wyrażenia pojawia nam się odejmowanie. W związku z tym musimy uprościć całe wyrażenie w następujący sposób:
$$x^2-\frac{1}{2}x-\left(3x-\frac{3}{2}\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\gt0 \\
x^2-\frac{1}{2}x-\left(3x^2+x-\frac{3}{2}x-\frac{3}{6}\right)\gt0 \\
x^2-\frac{1}{2}x-3x^2-x+\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}\gt0 \\
-2x^2+\frac{1}{2}\gt0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Powstała nam nierówność kwadratowa, zatem musimy najpierw obliczyć miejsca zerowe, a zrobimy to tradycyjnie przy pomocy delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=0,\;c=\frac{1}{2}\)
$$Δ=b^2-4ac=0^2-4\cdot(-2)\cdot\frac{1}{2}=0-(-4)=0+4=4 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{4}=2$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0-2}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2} \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-0+2}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.
Współczynnik \(a\) był ujemny, więc parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu. Zaznaczamy na osi wyliczone przed chwilą miejsca zerowe (z pustymi kropkami, bo w nierówności wystąpił znak \(\gt\)).



Szukamy argumentów dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera, a więc interesować nas będzie przedział:
$$x\in\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
Gdy rozpisując lewą stronę równania otrzymasz \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\).
ALBO
• Gdy rozpisując prawą stronę równania skorzystasz z jedynki trygonometrycznej i zapiszesz, że \((sinα-cosα)^2=1-2sinαcosα\).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(cosα=\frac{\sqrt{7}+1}{4} \lor cosα=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Podnosząc do kwadratu sumę \(sinα+cosα\) otrzymamy:
$$sinα+cosα=\frac{\sqrt{7}}{2} \\
(sinα+cosα)^2=\left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \\
sin^2α+2sinαcosα+cos^2α=\frac{7}{4} \\
sin^2α+cos^2α+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\
1+2sinαcosα=\frac{7}{4} \\
2sinαcosα=\frac{3}{4}$$

Teraz wiedząc, że \(2sinαcosα=\frac{3}{4}\) możemy zapisać, że:
$$(sinα-cosα)^2=sin^2α-2sinαcosα+cos^2α= \\
=sin^2α+cos^2α-2sinαcosα=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz jednakowe miary trzech kątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Jeżeli trójkąt \(ADB\) jest równoramienny (a tak wynika z założeń), to znaczy że kąty przy boku \(AB\) mają jednakową miarę. Skoro tak, to kąt \(DBC\) będzie miał także tą samą miarę. Dlaczego? Skoro prosta \(BD\) jest dwusieczną kąta \(ABC\), to \(|\sphericalangle ABD|=|\sphericalangle DBC|\). Całość na rysunku wyglądać będzie następująco:



Krok 2. Obliczenie miary kąta \(α\).
Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). W trójkącie suma kątów jest równa \(180°\). Jeden z kątów tego trójkąta już znamy i jest to kąt \(90°\). To oznacza, że na dwa pozostałe kąty zostaje nam \(180°-90°=90°\). Jeżeli przyjrzymy się rysunkowi to zauważymy, że pozostałe kąty mają łączną miarę \(α+2α=3α\). Zatem:
$$3α=90° \\
α=30°$$

Krok 3. Zakończenie dowodzenia.
Dowodzenie możemy zakończyć na różne sposoby - przykładowo możemy zapisać, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem o kątach \(30°,60°,90°\), zatem z własności tego trójkąta wynika, że jeżeli przyprostokątną DC oznaczymy jako \(a\), to przeciwprostokątna \(BD\) jest równa \(2a\), czyli zajdzie równość \(|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|\).

Jeszcze lepiej zakończenie dowodzenia będzie wyglądać jak skorzystamy po prostu z funkcji trygonometrycznych, a konkretnie z sinusa:
$$sin30°=\frac{|CD|}{|DB|} \\
\frac{1}{2}=\frac{|CD|}{|DB|} \quad\bigg/\cdot |DB| \\
|CD|=\frac{1}{2}\cdot |BD|$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz jednakowe miary trzech kątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Aby porównać ze sobą te dwie liczby stojące po obu stronach nierówności musimy sprowadzić je albo do wspólnej podstawy potęgi, albo do wspólnego wykładnika potęgi. Znacznie łatwiej będzie dojść do wspólnego wykładnika potęgi:
$$(1,5)^{100}\lt6^{25} \\
(1,5)^{4\cdot25}\lt6^{25} \\
(1,5^4)^{25}\lt6^{25} \\
5,0625^{25}\lt6^{25}$$

Podstawa potęgi po lewej stronie jest mniejsza niż po prawej, zatem nierówność jest na pewno prawdziwa.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wartość pierwszego wyrazu (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego wynika, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\
S_{30}=\frac{a_{1}+a_{30}}{2}\cdot30 \\
30=\frac{a_{1}+30}{2}\cdot30 \quad\bigg/:30 \\
1=\frac{a_{1}+30}{2} \\
2=a_{1}+30 \\
a_{1}=-28$$

Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r \\
a_{30}=a_{1}+(30-1)r \\
a_{30}=a_{1}+29r \\
30=-28+29r \\
58=29r \\
r=2$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz przynajmniej jedną z trzech składowych zdarzeń sprzyjających (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Ustalenie kiedy iloczyn liczb jest liczbą parzystą.
Zastanówmy się co się musi stać, aby iloczyn dwóch liczb dał liczbę parzystą.
Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby nieparzyste, to otrzymany wynik jest nieparzyty (np. \(3\cdot5=15\)).
Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby parzyste, to otrzymany wynik jest parzyty (np. \(2\cdot6=12\)).
Kiedy mnożymy przez siebie liczbę parzystą i nieparzystą, to otrzymany wynik jest parzysty (np. \(5\cdot6=30\)).

W związku z tym interesować nas będą wszystkie pary w których:
a) pierwsza i druga liczba są parzyste
b) pierwsza liczba jest parzystą, a druga jest nieparzysta
c) pierwsza liczba jest nieparzysta, a druga jest parzysta

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Ustalmy ile jest możliwych kombinacji wylosowania dwóch liczb parzystych. W zbiorze mamy \(7\) liczb parzystych i \(8\) nieparzystych. Ważną informacją jest to, że losowanie odbywa się bez zwracania piłki. W związku z tym jak wylosujemy jedną z siedmiu parzystych liczb, to potem możemy wylosować jedną z sześciu parzystych liczb. Zatem zgodnie z regułą mnożenia możliwości otrzymania dwóch liczb parzystych będziemy mieć:
$$|A_{1}|=7\cdot6=42$$

Teraz ustalmy ile jest kombinacji wylosowania najpierw liczby parzystej, a potem nieparzystej. Jak w pierwszym losowaniu wybierzemy jedną z siedmiu liczb parzystych, to w kolejnym możemy natrafić na jedną z ośmiu liczb nieparzystych (bo odrzucona liczba będzie parzysta), zatem zgodnie z regułą mnożenia:
$$|A_{2}|=7\cdot8=56$$

I na koniec ustalmy ile jest kombinacji wylosowania najpierw liczby nieparzystej, a potem parzystej. Tu będzie dość podobnie jak przed chwilą - jak w pierwszym losowaniu trafimy na jedną z ośmiu liczb nieparzystych, to potem możemy trafić na jedną z siedmiu liczb parzystych (bo odrzucona liczba będzie nieparzysta):
$$|A_{3}|=8\cdot7=56$$

Teraz dodajemy do siebie te wszystkie kombinacje i wychodzi nam, że wszystkich zdarzeń sprzyjających jest:
$$|A|=|A_{1}|+|A_{2}|+|A_{3}| \\
|A|=42+56+56 \\
|A|=154$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zaznaczysz na rysunku (lub zapiszesz) poprawnie relację pomiędzy długościami części przekątnych np. \(2x\) oraz \(3x\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wartość \(x\) (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy zapiszesz pole trapezu jako pole dwóch trójkątów (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że podstawa trójkąta (czyli przekątna trapezu) ma miarę \(a=5\sqrt{2}\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że podstawy trapezu mają miarę \(|AB|=6\) oraz \(|CD|=4\), a wysokość trapezu jest równa \(h=5\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
W trapezie równoramiennym przekątne są równej długości. Dodatkowo wiemy, że w tym konkretnym przypadku przecinają się pod kątem prostym. Skoro więc punkt przecięcia się przekątnych dzieli je w stosunku \(2:3\), to nasz rysunek będzie wyglądać mniej więcej w ten sposób:



Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Spójrzmy przykładowo na trójkąt \(BCS\). Jest to trójkąt prostokątny, zatem możemy obliczyć wartość niewiadomej \(x\) korzystając z Twierdzenia Pitagorasa.
$$(2x)^2+(3x)^2=(\sqrt{26})^2 \\
4x^2+9x^2=26 \\
13x^2=26 \\
x^2=2 \\
x=\sqrt{2} \quad\lor\quad x=-\sqrt{2}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(x=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie pola trapezu.
Jak spojrzymy na nasz rysunek to możemy wyodrębnić w nim dwa duże trójkąty \(ACD\) oraz \(ABC\). Suma pól tych dwóch trójkątów jest równa polu trapezu.

W jednym i drugim trójkącie mamy podstawę równą \(3x+2x=5x\). Skoro \(x=\sqrt{2}\), to już wiemy, że ta podstawa ma długość \(a=5\sqrt{2}\). W jednym i drugim trójkącie znamy też wysokości - w trójkącie \(ACD\) wysokość wynosi ona \(2x\) (czyli \(h=2\sqrt{2}\)), a dla trójkąta \(ABC\) wysokość jest równa \(3x\) (czyli \(h=3\sqrt{2}\)). W związku z tym:
$$P=P_{ACD}+P_{ABC} \\
P=\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}+\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2} \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot2+\frac{1}{2}\cdot15\cdot2 \\
P=10+15 \\
P=25$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz równanie prostej \(BC\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(D\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz współrzędne punktu \(C\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować sobie całą sytuację, tak aby było łatwiej zrozumieć co musimy policzyć:



Z rysunku powinniśmy wywnioskować, że kluczem do sukcesu będzie odnalezienie współrzędnych punktu \(D\), który jest środkiem odcinka \(BC\) (wiemy że jest środkiem, bo wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na dwie równe części). Aby jednak tego dokonać, musimy poznać równanie prostej \(BC\).

Krok 2. Wyznaczenie równania prostej \(BC\).
Prostą \(BC\) możemy wyrazić równaniem \(y=ax+b\). Aby poznać pełen wzór, to musimy obliczyć wartości współczynników \(a\) oraz \(b\). O prostej \(BC\) wiemy, że jest prostopadła do prostej \(AD\), zatem iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych musi być równy \(-1\). Skoro prosta \(AD\) ma współczynnik \(a=\frac{1}{2}\), to prosta \(BC\) ma ten współczynnik równy:
$$a\cdot\frac{1}{2}=-1 \\
a=-2$$

To oznacza, że prosta \(BC\) wyraża się równaniem \(y=-2x+b\). Brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\), a poznamy go podstawiając do tego równania współrzędne jednego z punktów przechodzących przez tą prostą, czyli punktu \(B=(14;-8)\):
$$y=-2x+b \\
-8=-2\cdot14+b \\
-8=-28+b \\
b=20$$

W ten oto sposób udało nam się wyznaczyć równanie prostej \(BC\) i jest to \(y=-2x+20\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(D\).
Punkt \(D\) jest miejscem przecięcia się prostych \(BC\) oraz \(AD\), zatem współrzędne tego punktu będą rozwiązaniem układu równań składającego się ze wzorów tych dwóch prostych:
$$\begin{cases}
y=\frac{1}{2}x-7 \\
y=-2x+20
\end{cases}$$

Stosując metodę podstawiania otrzymamy:
$$\frac{1}{2}x-7=-2x+20 \\
\frac{5}{2}x=27 \\
5x=54 \\
x=\frac{54}{5}$$

Znamy już współrzędną iksową punktu \(D\), a współrzędną igrekową obliczymy podstawiając do jednego z równań wyliczonego przed chwilą iksa:
$$y=-2x+20 \\
y=-2\cdot\frac{54}{5}+20 \\
y=-\frac{108}{5}+20 \\
y=-\frac{8}{5}$$

To oznacza, że \(D=\left(\frac{54}{5};-\frac{8}{5}\right)\).

Krok 4. Wyznaczenie współrzędnych punktu \(C\).
Ustaliliśmy już, że punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(BC\). Środek odcinka \(BC\) możemy opisać wzorem:
$$D=\left(\frac{x_{B}+x_{C}}{2};\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\right)$$

Znając współrzędne środka \(D\) oraz punktu \(B\) obliczymy współrzędne punktu \(C\). Dla przejrzystości obliczeń dobrze jest obliczyć sobie oddzielnie współrzędną iksową i igrekową:
$$x_{D}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2} \\
\frac{54}{5}=\frac{14+x_{C}}{2} \\
\frac{108}{5}=14+x_{C} \\
x_{C}=\frac{38}{5} \\
\quad \\
y_{D}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2} \\
-\frac{8}{5}=\frac{-8+y_{C}}{2} \\
-\frac{16}{5}=-8+y_{C} \\
y_{C}=\frac{24}{5}$$

Zatem poszukiwane przez nas współrzędne punktu \(C\) są następujące: \(C=\left(\frac{38}{5};\frac{24}{5}\right)\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(AC\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej \(BD\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość boku rombu znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 6.).
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanieśmy na rysunek dane z treści zadania i wprowadźmy też proste oznaczenia kluczowych długości:



Skoro w podstawie graniastosłupa znajduje się romb to warto pamiętać, że przekątne rombu mają różne długości oraz przecinają się w połowie swojej długości pod kątem prostym. Dzięki tym własnościom rombu będziemy w stanie wyliczać poszczególne długości.

Krok 2. Wyznaczenie długości pierwszej przekątnej podstawy.
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Odcinek \(AC\) oznaczony na rysunku jako \(c\) jest przekątną podstawy, którą wyliczymy korzystając z funkcji trygonometrycznych.
$$cos30°=\frac{c}{8} \\
\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{c}{8} \\
c=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
c=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Nadal patrzymy na trójkąt prostokątny \(ACC'\). Znamy już dwie długości w tym trójkącie, więc trzecią długość, czyli wysokość \(CC'\) oznaczoną jako \(h\) możemy policzyć zarówno z Twierdzenia Pitagorasa jak i funkcji trygonometrycznych. Korzystając tym razem z sinusa zapiszemy, że:
$$sin30°=\frac{h}{8} \\
\frac{1}{2}=\frac{h}{8} \\
h=4$$

Krok 4. Wyznaczenie długości drugiej przekątnej podstawy.
Teraz spójrzmy na trójkąt \(BDD'\). Zawiera się w nim długość drugiej z przekątnych rombu, czyli bok \(BD\) oznaczony symbolem \(d\). Ten trójkąt jest nie tylko trójkątem prostokątnym, ale także jest to trójkąt równoramienny (bo jest to trójkąt o kątach \(45°, 45°, 90°\)). W związku z tym przyprostokątne tego trójkąta mają tą samą długość, a to z kolei oznacza, że:
$$d=h=4$$

Krok 5. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Znając długości przekątnych rombu możemy obliczyć pole podstawy, a będzie ono równe:
$$P_{p}=\frac{1}{2}\cdot c\cdot d \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4 \\
P_{p}=2\sqrt{3}\cdot4 \\
P_{p}=8\sqrt{3}$$

Krok 6. Wyznaczenie długości boku rombu.
Spójrzmy na trójkąt \(CDE\). Jest to trójkąt prostokątny, bo przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Wiemy też, że przekątne przecinają się w połowie swojej długości, zatem:
$$|CE|=\frac{1}{2}\cdot c \\
|CE|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3} \\
|CE|=2\sqrt{3} \\
\quad \\
|DE|=\frac{1}{2}d \\
|DE|=\frac{1}{2}\cdot4 \\
|DE|=2$$

Skoro tak, to odcinek \(DC\), oznaczony symbolem \(a\), który jest długością boku rombu wyliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|CE|^2+|DE|^2=a^2 \\
(2\sqrt{3})^2+2^2=a^2 \\
4\cdot3+4=a^2 \\
12+4=a^2 \\
a^2=16 \\
a=4 \quad\lor\quad a=-4$$

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy, bo długość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(a=4\).

Krok 7. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia pola powierzchni całkowitej graniastosłupa. W skład tej powierzchni wejdą dwa pola podstawy (góra i dół) obliczone w piątym kroku (\(P_{p}=8\sqrt{3}\)) oraz cztery ściany boczne o wymiarach \(4\times4\). Zatem:
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot8\sqrt{3}+4\cdot4\cdot4 \\
P_{c}=16\sqrt{3}+64$$