Matura – Matematyka – Czerwiec 2016

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz to równanie w postaci iloczynowej typu \((2x+1)(-x+1)=0\) (patrz: I sposób, Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz to równanie w postaci \(-2x^2+x+1=0\) (patrz: II sposób, Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiązując to zadanie podzielisz obie strony równania przez \(2x+1\) i nie zapiszesz warunku, że \(2x+1\neq0\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wymnożenie wyrazów "na krzyż".
Rozwiązywanie tego typu równań najprościej jest rozpocząć od wymnażania na krzyż, zatem:
$$\frac{2x+1}{2x}=\frac{2x+1}{x+1} \\
(2x+1)\cdot(x+1)=(2x)\cdot(2x+1)$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania.
Teraz możemy rozwiązać to równanie na dwa sposoby:
I sposób: Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą i jednocześnie dostrzegając, że całość da się zapisać w postaci iloczynowej.
Otrzymamy wtedy:
$$(2x+1)\cdot(x+1)-(2x)\cdot(2x+1)=0 \\
(2x+1)(x+1-2x)=0 \\
(2x+1)(-x+1)=0 \\
2x+1=0 \quad\lor\quad -x+1=0 \\
x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

II sposób: Wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy i rozwiązując powstałe równanie kwadratowe.
$$2x^2+2x+x+1=4x^2+2x \\
-2x^2+x+1=0$$

Współczynniki: \(a=-2,\;b=1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=1^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=1+8=9 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Krok 3. Sprawdzenie, czy rozwiązania nie wykluczają się z założeniami.
Na koniec jeszcze sprawdzamy, czy nasze rozwiązania nie wykluczają się z założeniami z treści zadania. To wbrew pozorom ważny punkt, bo czasem może być tak, że dane rozwiązanie trzeba będzie odrzucić. W naszym przypadku niczego odrzucać nie musimy, tak więc ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:
$$x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=1$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz wartość współczynnika \(b\): \(b=2\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy narysujesz wykresy tych funkcji i zaznaczysz punkt przecięcia \(P=(0,2)\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Jedna z tych prostych jest rosnąca (bo ma dodatni współczynnik kierunkowy \(a=1\)), a druga jest malejąca (bo jej współczynnik kierunkowy \(a=-3\)). Bardzo ważną informacją jest to, że te dwie proste przecinają się w punkcie \(P=(0,2)\). To automatycznie oznacza, że obydwie proste mają współczynnik \(b=2\).

Krok 2. Wyznaczenie współrzędnych \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\).
Obliczmy sobie miejsca w których te dwie proste przecinają się z osią \(Ox\) (czyli miejsca zerowe). Znajomość tych współrzędnych przyda nam się do wyznaczania długości podstawy trójkąta. Aby obliczyć miejsca zerowe wystarczy przyrównać \(x+2\) oraz \(-3x+2\) do zera, zatem:
I prosta: \(x_{1}+2=0 \Rightarrow x_{1}=-2\)
II prosta: \(-3x_{2}+2=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{2}{3}\)

Krok 3. Obliczenie długości podstawy trójkąta.
Za pomocą obliczonych przed chwilą współrzędnych możemy określić długość podstawy trójkąta:
$$a=|x_{2}-x_{1}|=\left|\frac{2}{3}-(-2)\right|=2\frac{2}{3}$$

Krok 4. Obliczenie pola trójkąta.
Wysokość trójkąta znamy, bo pokrywa się ona z osią \(Oy\), a więc bez problemu możemy określić że \(h=2\). Długość podstawy obliczyliśmy sobie przed chwilą i wyszło, że \(a=2\frac{2}{3}\). Zatem pole tego trójkąta jest równe:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot2\frac{2}{3}\cdot2 \\
P=2\frac{2}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy doprowadzisz nierówność do postaci \((x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0\) albo \(x^2(x-1)^2+y^2(y-1)^2\ge0\), ale nie uzasadnisz tego dlaczego wartość po lewej stronie jest większa od zera.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Całość zadania sprowadza się do tego aby wymnożyć wyrazy po prawej stronie, przenieść je na lewą stronę. Następnie kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że powstały zapis można przekształcić, korzystając wzorów skróconego mnożenia:
$$x^4+y^4+x^2+y^2\ge2(x^3+y^3) \\
x^4+y^4+x^2+y^2\ge2x^3+2y^3 \\
x^4+y^4+x^2+y^2-2x^3-2y^3\ge0 \\
x^4-2x^3+x^2+y^4-2y^3+y^2\ge0 \\
(x^2-x)^2+(y^2-y)^2\ge0$$

Każda liczba podniesiona do kwadratu będzie dodatnia lub równa zero, a suma dwóch takich liczb da także wartość dodatnią lub równą zero. To oznacza, że nierówność jest prawidłowa, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miarę kąta \(|\sphericalangle BFC|=90°\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy powiążesz ze sobą miary kątów i zapiszesz, że np. \(|\sphericalangle AEB|=90°-α\) oraz \(|\sphericalangle CFE|=α+β\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wewnątrz trapezu zostały poprowadzone dwie dwusieczne, więc możemy nanieść na rysunek miary kątów \(α\) oraz \(β\) w następujący sposób:



Krok 2. Wykorzystanie własności trapezu do obliczenia sumy miar kątów \(α\) oraz \(β\).
Spójrzmy na trapez \(ABCD\). Jedną z własności trapezu jest to, że suma kątów przy jednym ramieniu jest równa \(180°\). To oznacza, że:
$$|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180° \\
2α+2β=180° \quad\bigg/:2 \\
α+β=90°$$

Gdybyśmy nie pamiętali o tym, że suma miar przy jednym ramieniu trapezu jest równa \(180°\), to mogliśmy od \(360°\) odliczyć dwa kąty proste \(DAB\) oraz \(CDA\) i także doszlibyśmy do wniosku, że \(|\sphericalangle ABC|+|\sphericalangle BCD|=180°\).

Krok 3. Obliczenie miary kątów \(BFC\) oraz \(EFC\).
Zacznijmy od kąta \(BFC\). Jego miarę możemy oznaczyć jako \(180°-(α+β)\), bo suma kątów w trójkącie \(BFC\) musi być równa \(180°\). Wiedząc, że \(α+β=90°\) okazuje się, że \(|\sphericalangle BFC|=90°\).

Kąt \(EFC\) jest przyległy do kąta \(BFC\), a więc jego miara jest równa \(180°-90°=90°\).

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na czworokąt \(CDEF\).
Skoro \(|\sphericalangle EFC|=90°\) oraz \(|\sphericalangle CDE|=90°\), to suma miar pierwszej pary kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa \(180°\).

Suma kątów w czworokącie musi być równa \(360°\), więc to oznacza, że suma kątów w drugiej parze kątów przeciwległych jest równa:
$$|\sphericalangle FCD|+|\sphericalangle DEF|=360°-180°=180°$$

Suma miar przeciwległych kątów czworokąta \(CDEF\) jest więc jednakowa, co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz sinus kąta \(BAC\), czyli \(sin=\frac{3}{5}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość jednego z boków, czyli \(|AD|=5\) lub \(|AE|=8\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz sinus kąta \(BAC\), czyli \(sin=\frac{3}{5}\) (patrz: Krok 2.) oraz obliczysz długości dwóch boków, czyli \(|AD|=5\) oraz\(|AE|=8\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ABC\), czyli \(P_{ABC}=54\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ADE\) opuszczoną z wierzchołka \(E\), czyli \(h=\frac{24}{5}\).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ADE\) opuszczoną z wierzchołka \(D\), czyli \(h=3\).
3 pkt
• Gdy obliczysz pole trójkąta \(ADE\), czyli \(P_{ADE}=12\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na naszym rysunku zależności między bokami, które zostały wypisane z treści zadania. To ułatwi zrozumienie wszystkich obliczeń długości, które wykonamy sobie w kolejnych krokach.



Krok 2. Obliczenie wartości \(sinα\).
Wartość sinusa kąta \(α\) za chwilę przyda nam się do obliczenia pola trójkąta. W treści zadania mamy podaną wartość cosinusa, zatem do obliczenia sinusa skorzystamy z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2α+cos^2=1 \\
sin^2α+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \\
sin^2a+\frac{16}{25}=1 \\
sin^2α=\frac{9}{25} \\
sinα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{3}{5}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo sinus kąta ostrego jest dodatni.

Krok 3. Obliczenie długości odcinków \(AD\) oraz \(AE\).
Odcinek \(AD\) jest częścią odcinka \(AB\). Z rysunku widzimy, że cała długość odcinka \(AB\) to \(x+2x=3x\) i zgodnie z treścią zadania jest ona równa \(15\). Musimy obliczyć długość \(x\), zatem:
$$3x=15 \\
x=5$$

W ten oto sposób obliczyliśmy długość odcinka \(|AD|=5\).

Podobnie zrobimy w przypadku odcinka \(AE\), który jest częścią odcinka \(AC\).
$$3y=12 \\
y=4$$

Nasz odcinek \(AE\) opisaliśmy sobie jako \(2y\), więc jego długość jest równa \(|AE|=8\).

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkątów \(ABC\) oraz \(ADE\).
Skorzystamy z następującego wzoru:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sinα$$

Pole trójkąta \(ABC\):
$$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot sinα \\
P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot15\cdot12\cdot\frac{3}{5} \\
P_{ABC}=54$$

Pole trójkąta \(ADE\):
$$P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot |AD|\cdot |AE|\cdot sinα \\
P_{ADE}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot8\cdot\frac{3}{5} \\
P_{ADE}=12$$

Krok 5. Obliczenie pola powierzchni czworokąta \(BCED\).
Pole powierzchni czworokąta \(BCED\) jest różnicą między polem dużego trójkąta \(ABC\) i małego trójkąta \(ADE\), zatem:
$$P_{BCED}=P_{ABC}-P_{ADE} \\
P_{BCED}=54-12 \\
P_{BCED}=42$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz, że \(S_{12}=4032\) (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy wykorzystasz wzór na sumę n-początkowych wyrazów i zapiszesz w związku z tym poprawne równanie np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) albo \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) albo \(4a_{1}+6r=2016\) albo \(8a_{1}+60r=2016\) itd.
ALBO
• Gdy zapiszesz wzór na jeden z wyrazów ciągu np. \(a_{2}=a_{1}+r\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz dwa równania korzystając z sum wyrazów np. \(\frac{a_{1}+a_{4}}{2}\cdot4=2016\) oraz \(\frac{a_{5}+a_{12}}{2}\cdot8=2016\) i zapiszesz, że np. \(a_{4}=a_{1}+3r\).
3 pkt
• Gdy doprowadzisz równania do takiej postaci, w której występują jedynie niewiadome \(a_{1}\) oraz \(r\) np. \(2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4\) oraz \(4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy obliczysz różnicę ciągu oraz wartość pierwszego wyrazu: \(r=-42\) oraz \(a_{1}=567\) (patrz: Krok 2. oraz Krok 3.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny w wyniku jakiegoś błędu rachunkowego.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

W tym zadaniu posłużymy się wzorem na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego.
$$S_{n}=\frac{2\cdot a_{1}+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$$

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.
Pod wypisany przed chwilą wzór podstawmy dane z zadania, tworząc z nich układ równań:
\begin{cases}
S_{4}=2016 \\
S_{12}=2016+2016
\end{cases}

Ustalmy skąd wiemy, że \(S_{12}=2016+2016\). Z treści zadania wynika, że suma pierwszych czterech wyrazów jest równa \(2016\) i suma od piątego do dwunastego wyrazu jest także równa \(2016\). Suma wszystkich dwunastu pierwszych wyrazów jest więc równa \(2016+2016=4032\).

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego, czyli \(r\).
\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+(4-1)\cdot r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+(12-1)\cdot r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=\frac{2\cdot a_{1}+3r}{2}\cdot4 \\
4032=\frac{2\cdot a_{1}+11r}{2}\cdot12
\end{cases}\begin{cases}
2016=4\cdot a_{1}+6r \quad\bigg/\cdot(-3) \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}\begin{cases}
-6048=-12\cdot a_{1}-18r \\
4032=12\cdot a_{1}+66r
\end{cases}

Dzięki sprytnemu mnożeniu przez \(-3\) pierwszego równania w tym układzie możemy teraz dodać te równania stronami. Oczywiście do rozwiązania tego układu można było też użyć metody podstawiania. Po dodaniu od siebie stron otrzymamy:
$$-2016=48r \\
r=-42$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu ciągu arytmetycznego, czyli \(a_{1}\).
Podstawiając \(r=-42\) do jednego z równań wyznaczymy wartość \(a_{1}\):
$$2016=4\cdot a_{1}+6r \\
2016=4\cdot a_{1}+6\cdot(-42) \\
2016=4\cdot a_{1}-252 \\
2268=4\cdot a_{1} \\
a_{1}=567$$

Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich wyrazów dodatnich tego ciągu.
Znając różnicę ciągu arytmetycznego oraz wartość pierwszego wyrazu możemy utworzyć prostą nierówność w której użyjemy wzory na \(n\)-ty wyraz ciągu. Dzięki niej dowiemy się ile wyrazów dodatnich ma ten ciąg, a ostatni wyraz będzie jednocześnie tym najmniejszym (bo skoro różnica wyszła ujemna to jest to ciąg malejący).
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r$$

Zatem:
$$a_{1}+(n-1)\cdot r\gt0 \\
567+(n-1)\cdot(-42)\gt0 \\
567+(-42n+42)\gt0 \\
609-42n\gt0 \\
-42n\gt-609 \\
n\lt14\frac{1}{2}$$

(Pamiętaj o zmianie znaku podczas dzielenia przez liczbę ujemną!)

Skoro \(n\) musi być mniejsze od \(14\frac{1}{2}\), to nasz ciąg ma \(14\) dodatnich wyrazów, a ostatnim (i tym samym najmniejszym) dodatnim wyrazem tego malejącego ciągu będzie \(a_{14}\).

Krok 5. Obliczenie wartości czternastego wyrazu ciągu.
Wartość najmniejszego wyrazu tego ciągu jest równa:
$$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot r \\
a_{14}=567+(14-1)\cdot(-42) \\
a_{14}=567+13\cdot(-42) \\
a_{14}=567-546 \\
a_{14}=21$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz zależność między wysokością stożka i promieniem podstawy np. zaznaczając na rysunku \(3x\) oraz \(8x\) albo zapisując, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\) (patrz: Krok 1.) albo tworząc równanie \(r^2h=24\).
2 pkt
• Gdy stworzysz równanie z jedną niewiadomą np. \(8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x\) (patrz: Krok 2.) albo \(r^2\cdot\frac{3}{8}r=24\).
3 pkt
• Gdy obliczysz promień podstawy lub wysokość stożka: \(r=4\) lub \(H=\frac{3}{2}\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.



Oprócz naszkicowania sobie bryły wprowadźmy też oznaczenia, które pozwolą nam odnieść się do stosunku wysokości do promienia podstawy. Niech więc wysokość stożka będzie równa \(3x\), a promień podstawy \(8x\). Możemy też zapisać, że \(\frac{H}{r}=\frac{3}{8}\).

Krok 2. Obliczenie wartości \(x\).
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość stożka.
$$V=\frac{1}{3}πr^2\cdot H \\
8π=\frac{1}{3}π\cdot(8x)^2\cdot3x \\
8π=\frac{1}{3}π\cdot64x^2\cdot3x \\
8=64x^3 \\
x^3=\frac{1}{8} \\
x=\frac{1}{2}$$

To oznacza, że:
$$r=8x=8\cdot\frac{1}{2}=4 \\
H=3x=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa:
$$r^2+H^2=l^2 \\
4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2=l^2 \\
16+\frac{9}{4}=l^2 \\
l^2=\frac{64}{4}+\frac{9}{4} \\
l^2=\frac{73}{4} \\
l=\sqrt{\frac{73}{4}} \\
l=\frac{\sqrt{73}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie pole powierzchni bocznej stożka.
$$P_{b}=πrl \\
P_{b}=π\cdot4\cdot\frac{\sqrt{73}}{2} \\
P_{b}=2\sqrt{73}π$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz jedno z równań, które opisuje zależność prędkości, czasu i drogi np. \(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) lub \(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) (patrz: Krok 1.) albo \(1,1v\cdot t=s\) lub \(0,9v\cdot(t+12)=s\).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi np.\(1,1v\cdot t=0,9v\cdot(t+12)\) lub w postaci układu równań.
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą np.\(\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12\) (patrz: Krok 2.) albo \(11t=9(t+12)\) itd.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Wypiszmy sobie poszczególne informacje z zadania. Przydatnym w tym zadaniu będzie wzór:
$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow t=\frac{s}{v}$$

\(v\) - zakładana prędkość przelotowa
\(1,1v\) - prędkość osiągnięta we wtorek
\(0,9v\) - prędkość osiągnięta w czwartek
\(s\) - długość trasy
\(t\) - standardowy czas pokonania trasy
\(t_{wt}=\frac{s}{1,1v}\) - czas przelotu we wtorek
\(t_{czw}=\frac{s}{0,9v}\) - czas przelotu w czwartek

W tym momencie warto jest się wykazać sprytem. Korzystając z tego, że \(t=\frac{s}{v}\) to czasu przelotu wtorkowego i czwartkowego możemy zapisać jako:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1} \\
t_{czw}=\frac{t}{0,9}$$

Krok 2. Wyznaczenie czasu standardowego przelotu.
Z treści zadania możemy ułożyć (i rozwiązać) następujące równanie:
$$\frac{t}{0,9}-\frac{t}{1,1}=12 \quad\bigg/\cdot9,9 \\
11t-9t=118,8 \\
2t=118,8 \\
t=59,4$$

Wyznaczyliśmy w ten sposób czas standardowego przelotu.

Krok 3. Obliczenie czasu wtorkowego przelotu.
Znając wartość \(t=59,4\) bez problemu obliczymy czas wtorkowego przelotu, podstawiając tę wartość do wzoru wyznaczonego w pierwszym kroku. Zatem:
$$t_{wt}=\frac{t}{1,1}=54[min.]$$