Matura – Matematyka – Czerwiec 2010

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz miejsca zerowe, a w dalszej części zadania popełnisz błędy (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy błędnie wyznaczysz miejsca zerowe funkcji (np. w wyniku błędu rachunkowego przy liczeniu delty), ale dalszy tok rozwiązywania będzie poprawny.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik (w postaci zapisanego przedziału lub w formie graficznej).

Krok 1. Obliczenie miejsc zerowych wielomianu.
Współczynniki: \(a=1,\;b=11,\;c=30\)
$$Δ=b^2-4ac=11^2-4\cdot1\cdot30=121-120=1 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11-1}{2\cdot1}=\frac{-12}{2}=-6 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-11+1}{2\cdot1}=\frac{-10}{2}=-5$$

Krok 2. Szkicowanie wykresu paraboli.
Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik \(a\) jest dodatni. Wykres będzie miał więc następującą postać:



Punkty \(x=-6\) oraz \(x=-5\) muszą mieć koniecznie zamalowane kropki, bo w nierówności wystąpił znak \(\le\).

Krok 3. Odczytanie rozwiązania nierówności.
Interesuje nas zbiór argumentów, dla których wartość funkcji kwadratowej jest mniejsza lub równa zero (czyli w których miejscach wykres funkcji jest pod osią \(Ox\) lub dokładnie na osi). Tym zbiorem jest oczywiście: \(x\in\langle-6;-5\rangle\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy pogrupujesz wyrazy i wyłączysz odpowiednie czynniki przed nawias w taki sposób, że w nawiasach jest jednakowa wartość, dzięki której można szybko przejść do postaci iloczynowej albo wręcz doprowadzisz równanie do postaci iloczynowej (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wyłączenie odpowiednich czynników przed nawias i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
$$x^3+2x^2-5x-10=0 \\
x^2(x+2)-5(x-2)=0 \\
(x+2)(x^2-5)=0$$

Krok 2. Wyznaczenie rozwiązań z postaci iloczynowej.
Korzystając z postaci iloczynowej szukamy rozwiązań tej równości, przyrównując wartości w nawiasach do zera. Pamiętaj, że z równanie \(x^2-5=0\) będzie mieć dwa rozwiązania - jedno dodatnie, a drugie ujemne.
$$x+2=0 \quad\lor\quad x^2-5=0 \\
x=-2 \quad\lor\quad x=\sqrt{5} \quad\lor\quad x=-\sqrt{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z jedną niewiadomą, które umożliwia obliczenie długości jednego z boków (patrz: Krok 2.), ale nie rozwiążesz tego równania do końca.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej.
Jeżeli przyjęlibyśmy, że przeciwprostokątna ma długość \(x\), to przyprostokątne mają długość \(x-1\) oraz \(x-32\). Warto też tutaj przyjąć sobie założenie, że długości boków nie mogą być mniejsze lub równe \(0\), a więc \(x\gt32\) (gdyby był mniejszy niż \(32\), to z równania \(x-32\) otrzymamy liczbę ujemną).

Krok 2. Obliczenie długości przeciwprostokątnej.
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+b^2=c^2 \\
(x-1)^2+(x-32)^2=x^2$$

Korzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia:
$$x^2-2x+1+x^2-64x+1024=x^2$$

Upraszczamy zapis i doprowadzamy go do postaci ogólnej, czyli takiej w której po prawej stronie będziemy mieć zero (to pozwoli nam potem wyliczyć deltę):
$$2x^2-66x+1025=x^2 \quad\bigg/-x^2 \\
x^2-66x+1025=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego oraz obliczenie ostatecznej długości przeciwprostokątnej.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-66,\;c=1025\)
$$Δ=b^2-4ac=(-66)^2-4\cdot1\cdot1025=121-120=4356-4100=256 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{256}=16$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)-16}{2\cdot1}=\frac{66-16}{2}=\frac{50}{2}=25 \\
x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-66)+16}{2\cdot1}=\frac{66+16}{2}=\frac{82}{2}=41$$

\(x_{1}\) możemy odrzucić, bo zgodnie z tym co napisaliśmy sobie w pierwszym kroku nasz \(x\) musi być większy niż \(32\). W przeciwnym wypadku długość przyprostokątnej byłaby równa \(25-32=-7\), a to na pewno jest nieprawda.

Krok 4. Obliczenie długości wszystkich boków tego trójkąta:
Przeciwprostokątna: \(41cm\)
Pierwsza przyprostokątna: \(x-1cm=41cm-1cm=40cm\)
Druga przyprostokątna: \(x-32cm=41cm-32cm=9cm\)

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że kąty \(APB\) oraz \(DPA\) są oparte na średnicach okręgów i przez to mają miarę \(90°\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Analiza kątów \(APB\) oraz \(DPA\).
Połączmy sobie punkt \(P\) z punktami \(A\), \(B\) oraz \(D\), tworząc w ten sposób odcinki \(|PA|\), \(|PB|\) oraz \(|PD|\). Teraz musimy dostrzec, że kąty \(\sphericalangle APB\) oraz \(\sphericalangle DPA\) są oparte na średnicach okręgów, a to z kolei oznacza, że te dwa kąty mają na pewno miarę \(90°\).

Krok 2. Analiza kąta \(BPD\) i zakończenie dowodzenia.
Kąt \(BPD\) jest sumą kątów \(APB\) oraz \(DPA\), a więc ma miarę równą \(90°+90°=180°\). Skoro jest to kąt półpełny, to jego ramiona na pewno tworzą linię prostą, a to z kolei oznacza, że punkty \(B\), \(P\) oraz \(D\) na pewno leżą na jednej prostej.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\), \(b\), \(c\) oraz \(d\).
1 pkt
• Gdy poprawnie wymnożysz poszczególne wyrazy, zredukujesz i uprościsz zapisz (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie doprowadzisz zadania do końca (np. nie dostrzegajac, że można otrzymaną równość zapisać w formie wzorów skróconego mnożenia).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wnioskiem (patrz: Krok 3.)

Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$

Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2} \\
a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$

Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$

Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$

Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0 \\
(ad-bc)^2=0$$

Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{} \\
ad-bc=0 \\
ad=bc$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu (patrz: Krok 1.)
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz jedynie liczbę cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu liczby. (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na pierwszym miejscu naszej liczby.
Zgodnie z treścią zadania pierwsza cyfra musi być parzysta, a więc mogą to być tylko i wyłącznie \(2\), \(4\), \(6\) lub \(8\). Cyfrę \(0\) odrzucamy, bo nie może być pierwszą cyfrą w liczbie.

Krok 2. Określenie liczby cyfr, które mogą znaleźć się na drugim, trzecim i czwartym miejscu naszej liczby.
Na każdym z pozostałych miejsc możemy mieć jedną z pięciu cyfr nieparzystych: \(1\), \(3\), \(5\), \(7\) lub \(9\).

Krok 3. Obliczenie liczby wszystkich możliwych kombinacji.
Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich kombinacji będzie:
$$|Ω|=4\cdot5\cdot5\cdot5=500$$

Krok 1. Ustalenie liczby wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.
Pierwsze losowanie odbywa się z siedmiu dostępnych kul. Mamy informację, że losowanie jest bez zwracania, więc wylosowana kula nie wraca już do pojemnika, czyli w drugim losowaniu dostępnych będzie już tylko sześć kul. To oznacza, że zdarzeń elementarnych będziemy mieć zgodnie z regułą mnożenia \(|Ω|=7\cdot6=42\).

Krok 2. Ustalenie liczby zdarzeń sprzyjających.
Zdarzeniem sprzyjającym jest sytuacja, w której liczba na pierwszej kuli jest równa \(1\), \(2\) lub \(3\), a na drugiej \(2\), \(4\) lub \(6\). Moglibyśmy zapisać, że zgodnie z regułą mnożenia jest ich \(|A|=3\cdot3=9\), ale trzeba byłoby tutaj nanieść jeszcze poprawkę, że zdarzenie \((2;2)\) nie może wystąpić (bo losowanie jest bez zwracania), więc tych zdarzeń tak naprawdę jest \(|A|=9-1=8\). Dla pewności możemy je sobie wypisać:
$$(1;2), (1;4), (1;6) \\
(2;4), (2;6) \\
(3;2), (3;4), (3;6)$$

Krok 3. Obliczenie prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwo obliczymy korzystając ze wzoru:
$$P(A)=\frac{|A|}{|Ω|}=\frac{8}{42}=\frac{4}{21}$$

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Nanosząc na rysunek dane z treści zadania oraz zaznaczając kluczowe trójkąty prostokątne, otrzymamy:


Krok 2. Obliczenie długości krawędzi \(AB\).
Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ABE\). Znamy dwie długości boków tego trójkąta, zatem korzystając z Twierdzenia Pitagorasa wyjdzie nam, że:
$$|AB|^2+6^2=22^2 \\
|AB|^2+36=484 \\
|AB|^2=448 \\
|AB|=\sqrt{448} \quad\lor\quad |AB|=-\sqrt{448}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, bo krawędź musi mieć dodatnią długość, zatem zostaje nam \(|AB|=\sqrt{448}\) i w takiej formie możemy to zostawić, ponieważ za chwilę i tak będziemy tę liczbę podnosić do kwadratu.

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi \(AD\).
Tym razem spoglądamy na trójkąt prostokątny \(ADE\). Tutaj także znamy dwie długości boków, zatem trzeci bok tego trójkąta obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa:
$$|AD|^2+6^2=9^2 \\
|AD|^2+36=81 \\
|AD|^2=45 \\
|AD|=\sqrt{45} \quad\lor\quad |AD|=-\sqrt{45}$$

Ponownie odrzucamy ujemny wynik, zatem zostaje nam \(|AD|=\sqrt{45}\).

Krok 4. Obliczenie długości krawędzi \(AC\).
Znamy dwie długości boków prostokąta znajdującego się w podstawie. To sprawia, że korzystając ponownie z Twierdzenia Pitagorasa, możemy obliczyć długość przekątnej \(AC\).
$$\sqrt{448}^2+\sqrt{45}^2=|AC|^2 \\
448+45=|AC|^2 \\
|AC|^2=493 \\
|AC|=\sqrt{493} \quad\lor\quad |AC|=-\sqrt{493}$$

Interesuje nas tylko dodatnia wartość, zatem \(|AC|=\sqrt{493}\).

Krok 5. Obliczenie długości krawędzi \(EC\).
Koniec końców spoglądamy teraz na trójkąt prostokątny \(ACE\). Tutaj także znamy już dwie długości boków, bowiem \(|AC|=\sqrt{493}\) oraz \(AE=6\), zatem poszukiwana długość krawędzi \(EC\) będzie równa:
$$\sqrt{493}^2+6^2=|EC|^2 \\
493+36=|EC|^2 \\
|EC|^2=529 \\
|EC|=\sqrt{529} \quad\lor\quad |EC|=-\sqrt{529}$$

Długość krawędzi musi być dodatnia, zatem zostaje nam \(|EC|=\sqrt{529}\), co możemy jeszcze zapisać jako po prostu \(|EC|=23\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wprowadzisz sensowne oznaczenia i zapiszesz podstawowe relacje między nimi (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz odpowiednie relacje w formie równania z dwoma niewiadomymi lub w postaci układu równań (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy sprowadzisz obliczenia do postaci równania z jedną niewiadomą, czyli postaci w której występuje jedynie niewiadoma \(v\) lub \(t\) (patrz: Krok 2.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz równanie do postaci ogólnej równania kwadratowego (patrz: Krok 2.), ale samo równanie kwadratowe (patrz: Krok 3.) rozwiążesz błędnie.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do samego końca, ale otrzymany wynik będzie zły jedynie ze względu na błąd rachunkowy.
ALBO
• Gdy źle zinterpretujesz otrzymane wyniki z równania kwadratowego i nie utworzysz z nich pary rozwiązań.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Pierwszy samochód przejechał: \(474-300=174\) (kilometrów)
Drugi samochód przejechał: \(300\) (kilometrów)
Czas jazdy pierwszego samochodu: \(t_{1}=\frac{174}{v_{1}}\) (godzin)
Czas jazdy drugiego samochodu: \(t_{2}=\frac{300}{v_{2}}\) (godzin)

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Aby rozwiązać to zadanie musimy teraz powiązać ze sobą odpowiednie informacje i zapisać je w formie układu równań.

Do stworzenia pierwszego równania skorzystamy z informacji na temat prędkości obydwu pojazdów, bo choć nie znamy ich dokładnych wartości, to wiemy że:
$$v_{1}=v_{2}-17$$

Drugie równanie ułożymy wiedząc, że pierwszy samochód wyruszył godzinę później, zatem:
$$t_{1}+1=t_{2} \\
\frac{174}{v_{1}}+1=\frac{300}{v_{2}} \quad\bigg/\cdot v_{1}v_{2} \\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}$$

Z tych dwóch informacji możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases}
v_{1}=v_{2}-17 \\
174v_{2}+v_{1}v_{2}=300v_{1}
\end{cases}

Skoro \(v_{1}=v_{2}-17\), to podstawiając to do drugiego równania otrzymamy:
$$174v_{2}+(v_{2}-17)v_{2}=300(v_{2}-17) \\
174v_{2}+{v_{2}}^{2}-17v_{2}=300v_{2}-5100 \\
{v_{2}}^{2}-143v_{2}+5100=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=1,\;b=-143,\;c=5100\)
$$Δ=b^2-4ac=(-143)^2-4\cdot1\cdot5100=20449-20440=49 \\
\sqrt{Δ}=\sqrt{49}=7$$

$$v_{2}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)-7}{2\cdot1}=\frac{143-7}{2}=\frac{136}{2}=68 \\
\text{lub}\\
v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-143)+7}{2\cdot1}=\frac{143+7}{2}=\frac{150}{2}=75$$

Krok 4. Obliczenie wszystkich możliwości uzyskiwanych prędkości.
Jeśli \(v_{2}=68\), to \(v_{1}=68-17=51\)
Jeśli \(v_{2}=75\), to \(v_{1}=75-17=58\)

Żadnej z tych odpowiedzi nie możemy odrzucić, zatem obydwie możliwości są prawidłowe i takie też jest rozwiązanie naszego zadania.