Matura próbna – Matematyka – Grudzień 2022

Postać kanoniczną zapisujemy jako \(f(x)=a(x-p)^2+q\), gdzie \(p\) oraz \(q\) to współrzędne wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\). Z rysunku odczytujemy, że w naszym przypadku \(W=(5;-3)\), zatem:
$$f(x)=a(x-5)^2+(-3) \\
f(x)=a(x-5)^2-3$$

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika \(a\). Aby poznać jego wartość, musimy do wyznaczonego przed chwilą wzoru, podstawić współrzędne jakiegoś znanego punktu (innego niż wierzchołek). Przykładowo, widzimy że funkcja przechodzi przez punkt \(A=(4;0)\), zatem:
$$0=a(4-5)^2-3 \\
0=a(-1)^2-3 \\
0=a-3 \\
a=3$$

To oznacza, że pełnym wzorem funkcji w postaci kanonicznej będzie \(f(x)=3(x-5)^2-3\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz podane wyrażenie do postaci typu \(5n(n+3)\) lub innej podobnej, ale nie uzasadnisz dlaczego ta liczba jest podzielna przez \(10\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Wyłączając wspólny czynnik przed nawias, otrzymamy następującą postać:
$$5n^2+15n=5n(n+3)$$

Taki zapis oznacza, że ta liczba na pewno jest podzielna przez \(5\). Jak jednak udowodnić, że jest podzielna przez \(10\)? Tu powinniśmy dostrzec, że jeżeli \(n\) jest liczbą parzystą, to \(n+3\) jest liczbą nieparzystą i na odwrót - jeśli \(n\) jest liczbą nieparzystą, to \(n+3\) jest liczbą parzystą. To oznacza, że mnożenie \(n\cdot(n+3)\) jest zawsze mnożeniem liczby parzystej z nieparzystą, a wynik takiego mnożenia zawsze daje liczbę parzystą, czyli tym samym liczbę podzielną przez \(2\). Z tego wynika, że nasza liczba jest podzielna jednocześnie przez \(5\) i przez \(2\), czyli tym samym jest podzielna przez \(10\), co należało udowodnić.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie typu \(2a+b=200\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy zapiszesz wzór na pole powierzchni z użyciem tylko jednej niewiadomej (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy poprawnie obliczysz jeden z boków kąpieliska (patrz: Krok 3. oraz 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że liny użyjemy na długości dwóch boków \(a\) oraz jednego boku \(b\), więc możemy zapisać, że:
$$2a+b=200$$

Dodatkowo wiemy, że pole powierzchni kąpieliska w kształcie prostokąta obliczymy ze wzoru:
$$P=a\cdot b$$

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji \(P(x)\).
Kluczem do sukcesu będzie zapisanie pola powierzchni w postaci funkcji z jedną zmienną, czyli zmienną \(a\). Chcąc tego dokonać, wyznaczmy wartość \(b\) z równania \(2a+b=200\), czyli:
$$2a+b=200 \\
b=200-2a$$

Podstawiając teraz \(b=200-2a\) do równania \(P=a\cdot b\), otrzymamy:
$$P=a\cdot(200-2a) \\
P=200a-2a^2 \\
P=-2a^2+200a$$

Otrzymaliśmy informację, że pole powierzchni kąpieliska można opisać wzorem \(-2a^2+200a\). I teraz następuje kluczowy moment w tego typu zadaniach - musimy całość potraktować jak funkcję kwadratową (dla jakiejś wartości \(a\) otrzymamy konkretną wartość \(P\)). Zapisalibyśmy więc, że \(P(a)=-2a^2+200a\).

Dobrą praktyką jest ustalenie przy tej okazji dziedziny funkcji. Długości boków muszą być większe od zera, zatem \(a\gt0\), oraz \(b\gt0\). Bok \(b\) rozpisaliśmy jako \(200-2a\), czyli tym samym \(200-2a\gt0), co po przekształceniu tej nierówności da nam \(a\lt100\). Tym samym moglibyśmy zapisać, że \(a\in(0;100)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Nasza parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu (bo współczynnik \(a=-2\)). To sprawia, że nasza funkcja będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:


Celem zadania jest dowiedzenie się, dla jakiego \(a\) pole powierzchni \(P\) będzie największe. Z własności funkcji kwadratowych wiemy, że ta największa wartość będzie osiągnięta w wierzchołku. Musimy zatem obliczyć dla jakiej długości \(a\) ta największa wartość jest przyjmowana. W tym celu skorzystamy ze wzoru na współrzędną \(x_{W}\) wierzchołka paraboli:
$$x_{W}=\frac{-b}{2a}$$

Do tego wzoru podstawiamy współczynniki \(a\) oraz \(b\) naszej funkcji kwadratowej (nie mylmy tego z bokami \(a\) oraz \(b\), to jedynie zbieżność symboli). W przypadku funkcji \(P(a)=-2a^2+200a\) widzimy, że współczynnik \(a=-2\) oraz \(b=200\), zatem:
$$x_{W}=\frac{-200}{2\cdot(-2)} \\
x_{W}=\frac{-200}{-4} \\
x_{W}=50$$

To oznacza, że największe pole powierzchni osiągniemy, gdy długość boku \(a\) będzie równa \(50\) (tu warto też zwrócić uwagę, że otrzymany wynik jest zgodny z zapisaną wcześniej dziedziną funkcji).

Krok 4. Obliczenie długości boku \(b\)
Celem zadania jest podanie wszystkich wymiarów naszego kąpieliska, zatem obliczmy jeszcze długość boku \(b\). W tym celu wystarczy do równania \(b=200-2a\) podstawić obliczone przed chwilą \(a=50\), zatem:
$$b=200-2\cdot50 \\
b=200-100 \\
b=100$$

To oznacza, że kąpielisko będzie mieć największe pole gdy \(a=50\) oraz \(b=100\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz dowolną zależność wynikającą z podobieństwa trójkątów (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.
Spójrzmy na trójkąty \(AEF\) oraz \(ADB\). Są to trójkąty podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt. Skoro tak, to zajdzie między tutaj następująca zależność:
$$\frac{|AF|}{|EF|}=\frac{|AB|}{|BD|}$$

Jeżeli teraz przyjmiemy, że długość boku rombu to \(a\) i podstawimy znaną długość \(|BD|=12\), to otrzymamy:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12}$$

Teraz spójrzmy na trójkąty \(FBG\) oraz \(ABC\). One także są podobne na podstawie cechy kąt-kąt-kąt i tutaj także moglibyśmy ułożyć następujące równanie:
$$\frac{|BF|}{|FG|}=\frac{|AB|}{|AC|}$$

Podstawiając długość boku rombu \(a\) oraz \(|AC|=16\), otrzymamy:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16}$$

Krok 2. Obliczenie długości boku rombu.
Dobrze byłoby dostrzec, że długość boku \(AB\) jest sumą długości \(AF\) oraz \(BF\), czyli odcinków, które pojawiają się w zapisanych równaniach z pierwszego kroku. Spróbujmy te równania przekształcić, tak aby mieć po lewej stronie jedynie \(AF\) oraz \(BF\):

Pierwsze równanie:
$$\frac{|AF|}{a}=\frac{|AB|}{12} \quad\bigg/\cdot a \\
|AF|=\frac{|AB|\cdot a}{12}$$

Drugie równanie:
$$\frac{|BF|}{a}=\frac{|AB|}{16} \quad\bigg/\cdot a \\
|BF|=\frac{|AB|\cdot a}{16}$$

Skoro tak, to możemy zapisać, że:
$$|AB|=|AF|+|BF| \\
|AB|=\frac{|AB|\cdot a}{12}+\frac{|AB|\cdot a}{16} \quad\bigg/\cdot48 \\
48\cdot |AB|=4\cdot|AB|\cdot a+3\cdot|AB|\cdot a \\
48\cdot |AB|=7\cdot|AB|\cdot a \quad\bigg/:|AB| \\
48=7a \\
a=\frac{48}{7}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz sinus kąta \(\alpha\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(h=\frac{12}{5}\).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(|BC|^2=\frac{29}{5}\).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Spróbujmy narysować nasz trójkąt \(ABC\) i zaznaczmy na nim dane z treści zadania:


Zwróć uwagę, że to nie będzie trójkąt prostokątny (bok \(BC\) nie będzie miał długości \(5\)). W związku z tym, do obliczenia pola powierzchni tego trójkąta przyda nam się tak zwany "wzór z sinusem", czyli:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha$$

Krok 2. Obliczenie \(sin\alpha\).
Do obliczenia pola potrzebujemy znać wartość sinusa kąta \(\alpha\), a znamy cosinusa. Aby poznać wartość sinusa tego kąta, możemy skorzystać z jedynki trygonometrycznej:
$$sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 \\
sin^2\alpha+\left(\frac{4}{5}\right)^2=1 \\
sin^2\alpha+\frac{16}{25}=1 \\
sin^2\alpha=\frac{9}{25} \\
sin\alpha=\frac{3}{5} \quad\lor\quad sin\alpha=-\frac{3}{5}$$

Zarówno kąty ostre jak i rozwarte (a takimi mogłaby być nasza \(\alpha\)) są dodatnie, więc jedynym pasującym rozwiązaniem jest \(sin\alpha=\frac{3}{5}\).

Krok 3. Obliczenie pola powierzchni.
Korzystając ze wzoru na pole trójkąta "z sinusem", otrzymamy:
$$P=\frac{1}{2}ab\cdot sin\alpha \\
P=\frac{1}{2}\cdot3\cdot4\cdot\frac{3}{5} \\
P=6\cdot\frac{3}{5} \\
P=\frac{18}{5}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość połowy przekątnej podstawy (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Oznaczmy na rysunku kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, tak aby wiedzieć, co tak naprawdę musimy policzyć i przy okazji wprowadźmy proste oznaczenia niektórych odcinków:


Widzimy, że na rysunku powstał nam kluczowy trójkąt prostokątny, na który składa się połowa długości przekątnej kwadratu, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna. I to właśnie z tego trójkąta obliczymy za chwilę potrzebne długości (do wyznaczenia cosinusa będziemy potrzebować połowy przekątnej podstawy oraz krawędź boczną).

Krok 2. Obliczenie długości połowy przekątnej podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat. Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma zawsze długość \(a\sqrt{2}\), więc w naszym przypadku cała przekątna kwadratu ma długość:
$$d=9\sqrt{2}$$

Do obliczenia cosinusa potrzebujemy połowy przekątnej (oznaczonej jako \(x\)), zatem:
$$x=\frac{9\sqrt{2}}{2}$$

Krok 3. Obliczenie długości krawędzi bocznej.
Krawędź boczna jest jednocześnie przeciwprostokątną naszego trójkąta \(AOW\). W tym trójkącie znamy już długości dwóch boków, ponieważ \(x=\frac{9\sqrt{2}}{2}\) oraz \(H=9\). Skoro tak, to korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymamy:
$$x^2+H^2=c^2 \\
\left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2+9^2=c^2 \\
\frac{81\cdot2}{4}+81=c^2 \\
\frac{162}{4}+81=c^2$$

Tu na chwilę się zatrzymamy - mamy tutaj dość nietypową sytuację, ponieważ jeśli będziemy kontynuowali dodawanie w standardowy sposób, to otrzymamy równanie \(c^2=121,5\) i dość trudno będzie tutaj uzyskać "ładny" zapis. Z tego też względu, lepiej byłoby dokonać takiego przekształcenia:
$$\frac{81\cdot2}{4}+81=c^2 \\
\frac{81\cdot2}{4}+\frac{81\cdot4}{4}=c^2 \\
c^2=\frac{81\cdot6}{4} \\
c=\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}} \quad\lor\quad c=-\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, ponieważ długość krawędzi jest na pewno dodatnia. Stąd też zostaje nam \(c=\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}}\), co możemy rozpisać w następujący sposób:
$$c=\sqrt{\frac{81\cdot6}{4}} \\
c=\frac{9\sqrt{6}}{2}$$

Krok 4. Obliczenie cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.
Mamy już komplet danych, więc możemy przystąpić do obliczenia cosinusa. Cosinus odpowiada za stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie względem przeciwprostokątnej, zatem:
$$cos\alpha=\frac{\frac{9\sqrt{2}}{2}}{\frac{9\sqrt{6}}{2}} \\
cos\alpha=\frac{9\sqrt{2}}{2}:\frac{9\sqrt{6}}{2} \\
cos\alpha=\frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{2}{9\sqrt{6}} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}} \\
cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Otrzymany wynik jest już poprawny, ale dobrze byłoby się jeszcze pozbyć niewymierności z mianownika. W tym celu trzeba byłoby pomnożyć licznik oraz mianownik ułamka przez \(\sqrt{3}\), otrzymując:
$$cos\alpha=\frac{1\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} \\
cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz średnią arytmetyczną (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.

Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe \(\delta=14\). Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej.

Krok 1. Obliczenie średniej arytmetycznej.
Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną, możemy zapisać, że:
$$śr=\frac{133+140+119+147+161}{5} \\
śr=\frac{700}{5} \\
śr=140$$

Krok 2. Wyznaczenie numerów donic.
Zgodnie z treścią zadania, szukamy donic w których liczba nasion nie odbiega więcej niż jedno odchylenie standardowe od średniej. Mówiąc bardzo obrazowo, może to być zarówno \(14\) nasion mniej, jak i \(14\) nasion więcej niż \(140\). Skoro tak, to minimalna liczba nasion wynosi \(140-14=126\), a maksymalna to \(140+14=154\). Taka liczba nasion znalazła się w donicach numer I, II oraz IV.