Wzory skróconego mnożenia - zadania
Zadanie 15. (2pkt) Wykaż, że jeżeli \(a\gt0\) i \(b\gt0\) oraz \(\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2}\), to \(a=b\) lub \(a+b=1\).
Odpowiedź
Udowodniono przekształcając równanie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka.
Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka:
$$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2} \\
a^2+b=a+b^2 \\
a^2-b^2-a+b=0$$
Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), zatem:
$$(a+b)(a-b)-a+b=0$$
Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus:
$$(a+b)(a-b)-(a-b)=0 \\
(a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$
Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias \((a-b)\), zatem:
$$(a-b)(a+b-1)=0$$
Krok 3. Rozwiązanie równania.
Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to:
$$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0 \\
a=b \quad\lor\quad a+b=1$$
Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy pozbędziesz się pierwiastka z równania (patrz: Krok 1.) i dostrzeżesz możliwość użycia wzorów skróconego mnożenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 16. (2pkt) Uzasadnij, że jeśli \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2\), to \(ad=bc\).
Odpowiedź
Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2abcd+b^2\cdot d^2$$
Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2abcd+\cancel{b^2\cdot d^2} \\
a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2abcd$$
Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2abcd=0$$
Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bc)^2-2abcd=0$$
Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ad\cdot bc+(bc)^2=0 \\
(ad-bc)^2=0$$
Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{} \\
ad-bc=0 \\
ad=bc$$
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\), \(b\), \(c\) oraz \(d\).
1 pkt
• Gdy poprawnie wymnożysz poszczególne wyrazy, zredukujesz i uprościsz zapisz (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie doprowadzisz zadania do końca (np. nie dostrzegajac, że można otrzymaną równość zapisać w formie wzorów skróconego mnożenia).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wnioskiem (patrz: Krok 3.)
Zadanie 17. (2pkt) Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) prawdziwa jest nierówność \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\).
Odpowiedź
Udowodniono przekształcając podane równanie.
Wyjaśnienie:
Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2} \\
\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2 \\
0\le a^2-2ab+b^2 \\
0\le (a-b)^2$$
Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) lub \(2a^2+2b^2\ge4ab\) lub \(a^2+b^2-2ab\ge0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 19. (2pkt) Uzasadnij, że jeżeli \(a+b=1\) i \(a^2+b^2=7\), to \(a^4+b^4=31\).
Odpowiedź
Udowodniliśmy twierdzenie wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia.
Wyjaśnienie:
Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.
Krok 1. Rozpisanie wartości \(a^4+b^4\) przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$
To oznacza, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$
Wartość \(a^2+b^2\) jest równa \(7\), a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-2a^2b^2$$
Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że \(2a^2b^2\) jest równe \(18\), to otrzymalibyśmy działanie \(49-18\), czyli \(31\), co zakończyłoby dowód.
Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(a+b\) i obliczenie wartości \(2a^2b^2\).
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
Z treści zadania wiemy, że \(a+b=1\) oraz że \(a^2+b^2=7\), co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab \\
2ab=-6$$
Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro \(2ab=-6\), to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2 \\
2a^2b^2=18$$
Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość \(2a^2b^2\), więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-18=31$$
Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość \(a^4+b^4\) jest faktycznie równa \(31\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy osiągniesz znaczny postęp w rozwiązaniu zadania np. obliczysz że \(2ab=-6\) (lub \(ab=-3\)), albo że \(2a^2b^2=18\) (lub \(a^2b^2=9\)) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zbudujesz układ równań i z niego wyliczysz że jedna z liczb jest równa \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\) albo \(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 20. (2pkt) Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb całkowitych przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(2\).
Odpowiedź
Uzasadniono wyprowadzając odpowiednie czynniki przed nawias.
Wyjaśnienie:
\(n\) - pierwsza liczba
\(n+1\) - druga liczba
\(n+2\) - trzecia liczba
Każdą z liczb podniesiemy teraz do kwadratu (zgodnie z treścią zadania) i spróbujemy całość doprowadzić do takiej sytuacji, by wyłączyć trójkę lub jej wielokrotność przed nawias, zatem:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5= \\
=3(n^2+2n+1)+2$$
Doprowadzenie równania do takiej postaci kończy nasze dowodzenie, bowiem dwójka stojąca na samym końcu jest właśnie resztą z dzielenia.
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy udowodnisz to zadanie podstawiając trzy konkretne liczby całkowite.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie do postaci \(3n^2+6n+5\) i tym samym nie wyciągniesz odpowiedniego czynnika przed nawias.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Zadanie 21. (2pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x,y,z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(xy+yz+zx\le0\).
Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
Odpowiedź
Udowodniono przekształcając wskazaną tożsamość.
Wyjaśnienie:
Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz \\
(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz \\
xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:
$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$
Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).
Wyjaśnienie punktacji:
Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie przekształcisz podane równanie, korzystając z tożsamości podanej w treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy przekształcisz równanie w taki sposób, że otrzymasz równanie z dwiema niewiadomymi.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.
Mam pytanie, dlaczego w zadaniu drugim √3 już we zworze nie jest z minusem? zanim zrobi się z tego wzór skróconego mnożenia jest (2–√3)
Hmmm, rozumiem o co pytasz, to jest częsty dylemat kiedy poznajemy wzory skróconego mnożenia :) Kiedy mamy (2–√3)^2, to a=2 oraz b=√3 i tak też później podstawiamy do wzoru a^2-2ab+b^2 :)
Czy w zadaniu 20 można w zadaniu można wziąć zamiast n, n + 1 i n + 2—- n, n-1 i n+1? Wtedy w wyniku wyszło 3n^2 + 2.
Jak najbardziej można ;)
Dlaczego w zdaniu 19. 2ab=-6 podniesiono obustronnie do kwadratu skoro nie wiadomo jaki znak ma lewa strona?
Ale nie musimy wiedzieć jaki znak ma ta lewa strona, bo to jest równanie ;) Prawdopodobnie mylisz to z nierównościami – to właśnie w nierównościach taki znak mógłby mieć znaczenie ;)
Czy znajomość wzorów skróconego mnożenia jest niezbędna? Mam na mysli to, że czasami łatwo jest się w nich zagubić tak jak mówiłeś w filmiku. Czy nie wystarczy wiedzieć, iż przykładowo taki kwadrat sumy jak (a+b), można policzyć na piechotkę (tak mówi moja nauczycielka:) czyli (a+b)×(a+b) i każdą liczbę z pierwszego nawiasu pomnożyć przez liczby z drugiego nawiasu a potem je uporządkować. Z góry dziękuję za odpowiedź :).
Wiesz, w sumie jeśli chodzi o samą maturę, to faktycznie jeżeli już gdzieś się taki przykład pojawi, to nic się nie stanie jak zrobimy to sobie „na piechotkę” :) Są jednak dwa problemy: 1. Ktoś, kto nie kojarzy tematu wzorów skróconego mnożenia, bardzo często błędnie zapisze że np. (x+3)^2 to jest x^2+9. To jest w zasadzie jeden z częściej pojawiających się błędów na sprawdzianach czy właśnie na maturze. Musimy więc mieć świadomość, że wynik takiego potęgowania jest inny, a czy zrobimy to sobie „na piechotkę”, czy też ze wzoru, to już nie ma większego znaczenia. 2. Czasami w zadaniach dowodowych… Czytaj więcej »