Wzory skróconego mnożenia – zadania maturalne

C

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$

W związku z tym:
$$x(x-1)(x+1)=x(x^2-1^2)=x^3-x$$

A

Zgodnie z treścią zadania musimy podnieść liczbę do kwadratu, zatem wykorzystując wzory skróconego mnożenia otrzymamy:
$$(2-\sqrt{3})^2=2^2-2\cdot2\cdot\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2= \\
=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$$

C

W zadaniu skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

$$x^2=(5+2\sqrt{3})^2 \\
x^2=5^2+2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2 \\
x^2=25+20\sqrt{3}+4\cdot3 \\
x^2=25+20\sqrt{3}+12 \\
x^2=37+20\sqrt{3}$$

A

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)$$

Wiemy, że \(a^2-b^2=200\). Wiemy też, że \(a+b=8\). Podstawiając teraz do powyższego wzoru te dane wyznaczymy wartość wyrażenia \(a-b\), zatem:
$$200=(a-b)\cdot8 \\
a-b=200:8 \\
a-b=25$$

B

W tym zadaniu wykorzystamy następujący wzór skróconego mnożenia: \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\).

Krok 1. Zapisanie wielomianu w formie \(a^2-b^2\).
Spróbujmy doprowadzić nasz wielomian do postaci \(a^2-b^2\), co pozwoli nam później zastosować wzór skróconego mnożenia, a więc:
$$4x^2-100=(2x)^2-10^2$$

Krok 2. Wykorzystanie wzoru skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia:
$$(2x)^2-10^2=(2x-10)(2x+10)$$

A to oznacza, że prawidłowa jest druga odpowiedź.

Jeśli nie jesteśmy w stanie dostrzec tych wszystkich zależności to mogliśmy też po prostu wymnożyć każdy z wariantów znajdujących się w odpowiedziach \(ABCD\) i sprawdzić, która wartość byłaby równa \(4x^2-100\).

A

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) obliczmy pierwszą część naszego działania, a następnie uporządkujmy całe wyrażenie:
$$(3-\sqrt{2})^2+4(2-\sqrt{2})= \\
3^2-6\sqrt{2}+2+8-4\sqrt{2}= \\
9-10\sqrt{2}+10= \\
=19-10\sqrt{2}$$

C

Musimy sprawdzić które z wyrażeń przedstawionych w odpowiedziach \(ABCD\) da nam tą samą wartość co wyrażenie z treści zadania. Jeśli dość sprawnie posługujemy się wzorami skróconego mnożenia, to z pewnością zauważymy że \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\), więc od razu można byłoby zaznaczyć trzecią odpowiedź. Jeśli jednak nie dostrzegamy tej zależności lub jeśli nie pamiętamy o tych wzorach, to najprościej będzie wymnożyć poszczególne wyrażenia:

A. \((4x+3)(x+3)=4x^2+12x+3x+9=4x^2+15x+9\)
B. \((2x-3)(2x+3)=4x^2+6x-6x+9=4x^2+9\)
C. \((2x-3)(2x-3)=4x^2-6x-6x+9=4x^2-12x+9\)
D. \((x-3)(4x-3)=4x^2-3x-12x+9=4x^2-15x+9\)

Pasującą odpowiedzią jest więc tylko trzecia.

A

Zgodnie ze wzorem skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) otrzymamy:
$$(3x^2-2)^2=(3x^2)^2-2\cdot3x^2\cdot2+2^2= \\
=9x^4-12x^2+4$$

Jeśli masz problem z określeniem ile to jest \((3x^2)^2\) to można to sobie rozpisać jako:
$$(3x^2)^2=3^2\cdot(x^2)^2=9\cdot x^{2\cdot2}=9x^4$$

C

Z całego wyrażenia możemy wyłączyć przed nawias trójkę, a powstałą wartość znajdującą się w nawiasie zapiszemy w postaci wzoru skróconego mnożenia. Całość obliczeń wygląda następująco:
$$3a^2-12ab+12b^2=3\cdot(a^2-4ab+b^2)=3(a-2b)^2$$

D

Skorzystamy tutaj ze wzorów skróconego mnożenia:
$$(a+5)^2=a^2+2\cdot a\cdot5+5^2=a^2+10a+25$$

Porównując to do wyrażenia \(a^2+10a\) widzimy wyraźnie, że kwadrat obliczonej przed chwilą sumy jest większy o \(25\).

A

Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając pod \(a\) poszczególne odpowiedzi. Skorzystamy tutaj ze wzoru skróconego mnożenia:
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

Prawidłową odpowiedzią będzie oczywiście ta, która spełni nasze równanie. W naszym przypadku tylko \(a=3\) da prawidłowy wynik, bo:
$$(2\sqrt{2}-3)^2=17-12\sqrt{2} \\
8-12\sqrt{2}+9=17-12\sqrt{2} \\
17-12\sqrt{2}=17-12\sqrt{2} \\
L=P$$

Gdyby jednak to zadanie było w części otwartej (bez proponowanych odpowiedzi), to wtedy najlepszym wyjściem byłoby rozbicie liczby \(17\) na sumę \(8+9\), dzięki czemu otrzymalibyśmy:
$$(2\sqrt{2}-a)^2=8-12\sqrt{2}+9 \\
(2\sqrt{2}-a)^2=(2\sqrt{2}-3)^2 \\
a=3$$

B

W tym zadaniu skorzystamy ze wzorów skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b) \\
50001^2-49999^2=(50001+49999)\cdot(50001-49999) \\
50001^2-49999^2=100\;000\cdot2 \\
50001^2-49999^2=200\;000$$

C

Zadanie jest dość podchwytliwe i wcale nie takim najgorszym pomysłem byłoby po prostu podstawienie wartości z odpowiedzi \(A\), \(B\), \(C\) do tej równości i sprawdzenie (nawet na kalkulatorze stosując przybliżenia) kiedy ta równość będzie prawdziwa. Gdyby żadna nie była prawidłowa to wtedy zaznaczylibyśmy odpowiedź \(D\).

W tym zadaniu chodziło jednak o dostrzeżenie tego, że jeżeli mamy jakąś równość w postaci \(a^2=b^2\) to aby ta równość była prawdziwa to albo \(a=b\), albo \(a=-b\).
Przykładowo: \(5^2=(-5)^2\), czyli w tym przypadku \(a=-b\).

Dzięki temu będziemy mogli pozbyć się potęg i zapisać, że:
$$\color{orange}{(x\sqrt{2}-2)}^2=\color{green}{(2+\sqrt{2})}^2 \\
\color{orange}{x\sqrt{2}-2}=\color{green}{2+\sqrt{2}} \quad\lor\quad \color{orange}{x\sqrt{2}-2}=-\color{green}{(2+\sqrt{2})} \\
x\sqrt{2}=4+\sqrt{2} \quad\lor\quad x\sqrt{2}-2=-2-\sqrt{2} \\
x=\frac{4}{\sqrt{2}}+1 \quad\lor\quad x\sqrt{2}=-\sqrt{2} \\
x=\frac{4\sqrt{2}}{2}+1 \quad\lor\quad x=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\
x=2\sqrt{2}+1 \quad\lor\quad x=-1$$

No i właśnie to drugie rozwiązanie było tym, które znalazło się w odpowiedzi \(C\).

A

Krok 1. Zapisanie podanego wyrażenia w postaci \(a^2-b^2\).
Wbrew pozorom nie jest najlepszym pomysłem wykonanie potęgowania \((3x+1)^2\). Najprościej jest rozwiązać to zadanie zapisując \(16\) jako \(4^2\), otrzymamy wtedy: \(4^2-(3x+1)^2\).

Jeśli teraz zauważymy, że \(a=4\) oraz \(b=3x+1\), to możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Krok 2. Wykonanie obliczeń z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
$$4^2-(3x+1)^2=(4-(3x+1))\cdot(4+(3x+1))= \\
=(4-3x-1)\cdot(4+3x+1)=(3-3x)\cdot(5+3x)$$

Udowodniono przekształcając równanie i korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Uproszczenie równania i pozbycie się pierwiastka.
Aby udowodnić powyższą tezę przekształćmy nasze równanie, zaczynając od pozbycia się z niego pierwiastka:
$$\sqrt{a^2+b}=\sqrt{a+b^2} \\
a^2+b=a+b^2 \\
a^2-b^2-a+b=0$$

Krok 2. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia i zapisanie równania w postaci iloczynowej.
Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\), zatem:
$$(a+b)(a-b)-a+b=0$$

Teraz spróbujmy wziąć w nawias ostatnie dwa wyrazy po lewej stronie, uważając na to że musimy zmienić znak, bo przed nawiasem będzie stał minus:
$$(a+b)(a-b)-(a-b)=0 \\
(a+b)(a-b)-1(a-b)=0$$

Już jesteśmy bardzo blisko rozwiązania tego zadania. Musimy teraz zamienić to równanie na postać iloczynową, wyłączając przed nawias \((a-b)\), zatem:
$$(a-b)(a+b-1)=0$$

Krok 3. Rozwiązanie równania.
Mając postać iloczynową wiemy, że aby to równanie było równe zero, to:
$$a-b=0 \quad\lor\quad a+b-1=0 \\
a=b \quad\lor\quad a+b=1$$

Otrzymaliśmy wyniki dokładnie takie jak w treści zadania, co kończy nasz dowód.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy pozbędziesz się pierwiastka z równania (patrz: Krok 1.) i dostrzeżesz możliwość użycia wzorów skróconego mnożenia (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Wymnożenie poszczególnych wyrazów.
Wymnażamy po kolei poszczególne wyrazy po lewej stronie, a po prawej stosujemy wzór skróconego mnożenia.
$$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=(ac)^2+2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2 \\
a^2\cdot c^2+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+b^2\cdot d^2=a^2\cdot c^2+2\cdot ac\cdot bd+b^2\cdot d^2$$

Krok 2. Redukcja wyrazów podobnych i uproszczenie zapisu.
Skracamy obie strony równania przez \(a^2\cdot c^2\) oraz przez \(b^2\cdot d^2\).
$$\require{cancel}
\cancel{a^2\cdot c^2}+a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2+\cancel{b^2\cdot d^2}=\cancel{a^2\cdot c^2}+2\cdot ac\cdot bd+\cancel{b^2\cdot d^2} \\
=a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2=2\cdot ac\cdot bd$$

Teraz przenosimy wszystkie wartości na lewą stronę:
$$a^2\cdot d^2+b^2\cdot c^2-2\cdot ac\cdot bd=0$$

Zapis ten możemy uprościć do postaci:
$$(ad)^2+(bd)^2-2\cdot ac\cdot bd=0$$

Krok 3. Zapisanie powstałego równania z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.
Musimy dostrzec, że powstały zapis możemy przekształcić korzystając ze wzorów skróconego mnożenia. Widać to zwłaszcza wtedy, kiedy powyższe równanie pokażemy w formie \((ad)^2-2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2=0\). Zatem:
$$(ad)^2-2\cdot ac\cdot bd+(bd)^2=0 \\
(ad-bc)^2=0$$

Krok 4. Obliczenie wartości powstałego równania.
Pierwiastkując obie strony równania otrzymamy:
$$(ad-bc)^2=0 \quad\bigg/\sqrt{} \\
ad-bc=0 \\
ad=bc$$

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\), \(b\), \(c\) oraz \(d\).
1 pkt
• Gdy poprawnie wymnożysz poszczególne wyrazy, zredukujesz i uprościsz zapisz (patrz: Krok 1. oraz 2.), ale nie doprowadzisz zadania do końca (np. nie dostrzegajac, że można otrzymaną równość zapisać w formie wzorów skróconego mnożenia).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie zakończone odpowiednim wnioskiem (patrz: Krok 3.)

Udowodniono przekształcając podane równanie.

Przekształćmy to równanie w następujący sposób:
$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2} \\
\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\le\frac{a^2+b^2}{2} \quad\bigg/\cdot4 \\
a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2 \\
0\le a^2-2ab+b^2 \\
0\le (a-b)^2$$

Z racji tego, że kwadrat dowolnej liczby jest zawsze większy lub równy zero, to dowód możemy uznać za zakończony.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy przekształcisz nierówność do postaci typu \(a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\) lub \(2a^2+2b^2\ge4ab\) lub \(a^2+b^2-2ab\ge0\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

D

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że:
$$(x-y)(x+y)=x^2-y^2$$

Powyższe wyrażenie będzie więc tym mniejsze im \(x\) będzie mniejszy oraz tym mniejsze im \(y\) będzie większy. Zatem pod iksa musimy podstawić jak najmniejszą wartość, czyli \(x=2\), natomiast pod igreka jak najwyższą, czyli \(y=4\). Wartość tego wyrażenia będzie zatem równa:
$$2^2-4^2=4-16=-12$$

Udowodniliśmy twierdzenie wykorzystując do tego wzory skróconego mnożenia.

Zadanie wymaga od nas sprawnego posługiwania się wzorami skróconego mnożenia, a kluczem do sukcesu jest tak naprawdę to, aby wpaść na pomysł jak powiązać ze sobą wszystkie informacje z treści zadania.

Krok 1. Rozpisanie wartości \(a^4+b^4\) przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.
Zgodnie ze wzorem na kwadrat sumy możemy zapisać, że:
$$(a^2+b^2)^2=(a^2)^2+2a^2b^2+(b^2)^2=a^4+b^4+2a^2b^2$$

To oznacza, że:
$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2$$

Wartość \(a^2+b^2\) jest równa \(7\), a więc:
$$a^4+b^4=7^2-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-2a^2b^2$$

Gdyby teraz udało nam się udowodnić, że \(2a^2b^2\) jest równe \(18\), to otrzymalibyśmy działanie \(49-18\), czyli \(31\), co zakończyłoby dowód.

Krok 2. Podniesienie do kwadratu wyrażenia \(a+b\) i obliczenie wartości \(2a^2b^2\).
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

Z treści zadania wiemy, że \(a+b=1\) oraz że \(a^2+b^2=7\), co po podstawieniu do tego wzoru da nam:
$$1^2=7+2ab \\
2ab=-6$$

Jesteśmy już bardzo blisko końcowego rozwiązania, bo skoro \(2ab=-6\), to podnosząc obie strony do potęgi drugiej otrzymamy:
$$4a^2b^2=36 \quad\bigg/:2 \\
2a^2b^2=18$$

Krok 3. Zakończenie dowodu.
Znamy wartość \(2a^2b^2\), więc podstawiając ją do wzoru z pierwszego kroku otrzymamy:
$$a^4+b^4=49-2a^2b^2 \\
a^4+b^4=49-18=31$$

Ostatecznie udowodniliśmy, że wartość \(a^4+b^4\) jest faktycznie równa \(31\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy podstawisz konkretne wartości liczbowe w miejsce niewiadomych \(a\) oraz \(b\).
1 pkt
• Gdy osiągniesz znaczny postęp w rozwiązaniu zadania np. obliczysz że \(2ab=-6\) (lub \(ab=-3\)), albo że \(2a^2b^2=18\) (lub \(a^2b^2=9\)) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zbudujesz układ równań i z niego wyliczysz że jedna z liczb jest równa \(\frac{1-\sqrt{13}}{2}\) albo \(\frac{1+\sqrt{13}}{2}\).
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Uzasadniono wyprowadzając odpowiednie czynniki przed nawias.

\(n\) - pierwsza liczba
\(n+1\) - druga liczba
\(n+2\) - trzecia liczba

Każdą z liczb podniesiemy teraz do kwadratu (zgodnie z treścią zadania) i spróbujemy całość doprowadzić do takiej sytuacji, by wyłączyć trójkę lub jej wielokrotność przed nawias, zatem:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2= \\
=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4= \\
=3n^2+6n+5= \\
=3(n^2+2n+1)+2$$

Doprowadzenie równania do takiej postaci kończy nasze dowodzenie, bowiem dwójka stojąca na samym końcu jest właśnie resztą z dzielenia.

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy udowodnisz to zadanie podstawiając trzy konkretne liczby całkowite.
1 pkt
• Gdy przekształcisz to wyrażenie do postaci \(3n^2+6n+5\) i tym samym nie wyciągniesz odpowiedniego czynnika przed nawias.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.

Udowodniono przekształcając wskazaną tożsamość.

Krok 1. Przekształcenie tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz\).
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość \(xy+yz+zx\). Zatem:
$$(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz \\
(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2=2xy+2xz+2yz \\
xy+xz+yz=\frac{(x+y+z)^2-x^2-y^2-z^2}{2}$$

Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że \(x+y+z=0\), stąd też wartość \((x+y+z)^2\) otrzymana w liczniku jest równa \(0\). Zostaje nam więc tak naprawdę:
$$xy+xz+yz=\frac{-x^2-y^2-z^2}{2}$$

Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed \(x^2\), \(y^2\) oraz \(z^2\) stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że \(xy+yz+zx\le0\).

Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy poprawnie przekształcisz podane równanie, korzystając z tożsamości podanej w treści zadania (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy przekształcisz równanie w taki sposób, że otrzymasz równanie z dwiema niewiadomymi.
2 pkt
• Gdy przeprowadzisz pełne dowodzenie.