Wykresy funkcji kwadratowej - zadania
Zadanie 2. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \(f\) jest przedział \((-\infty;3\rangle\). Na którym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\)?
Wyjaśnienie:
Zbiór wartości funkcji odczytujemy z osi \(y\). Nasza funkcja przyjmuje najwyższą wartość równą \(3\), a taka sytuacja jest zawarta jedynie na wykresie z drugiej odpowiedzi.
Zadanie 3. (1pkt) Dane są funkcje liniowe \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=x+4\) określone dla wszystkich liczb rzeczywistych \(x\). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \(h(x)=f(x)\cdot g(x)\).
Wyjaśnienie:
Krok 1. Ustalenie wzoru funkcji \(h(x)\).
Zgodnie z treścią zadania nasza funkcja \(h(x)\) jest iloczynem funkcji \(f(x)\) oraz \(g(x)\), zatem:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)$$
Powyższy zapis jest już tak naprawdę wzorem naszej funkcji \(h(x)\) w postaci iloczynowej. Możemy też wymnożyć te wyrazy i zapisać wzór w postaci ogólnej, choć nie jest to konieczne:
$$h(x)=f(x)\cdot g(x)=(x-2)\cdot(x+4)=x^2+2x-8$$
Dzięki postaci ogólnej wiemy już, że funkcja \(h(x)\) jest na pewno parabolą, której ramiona są skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) stojący przed \(x^2\) jest dodatni.
Krok 2. Ustalenie miejsc zerowych funkcji.
Choć w pierwszym kroku zapisaliśmy wzór funkcji \(h(x)\) w postaci ogólnej i śmiało moglibyśmy z niej obliczyć miejsca zerowe za pomocą delty, to jednak łatwiej będzie skorzystać z postaci iloczynowej, czyli ze wzoru \(h(x)=(x-2)(x+4)\). Wystarczy teraz przyrównać wartości w nawiasach do zera, a więc:
$$x-2=0 \quad\lor\quad x+4=0 \\
x=2 \quad\lor\quad x=-4$$
Krok 3. Wybór właściwego wykresu.
Wiemy, że nasza parabola ma ramiona skierowane ku górze, że jej miejscami zerowymi są \(x=2\) oraz \(x=-4\), a więc bez żadnych wątpliwości jesteśmy w stanie stwierdzić, że poszukiwanym wykresem jest ten z pierwszej odpowiedzi.
Zadanie 4. (1pkt) Wskaż wykres funkcji, która w przedziale \(\langle-4,4\rangle\) ma dokładnie jedno miejsce zerowe.
Wyjaśnienie:
Miejscem zerowym funkcji jest miejsce przecięcia się wykresu z osią \(Ox\) (czyli jest to taka wartość argumentu \(x\), dla którego funkcja przyjmuje wartość równą zero). Prześledźmy każdy z wykresów:
Pierwsza funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).
Druga funkcja nie ma wcale miejsc zerowych.
Trzecia funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe i to jest interesujący nas przypadek.
Czwarta funkcja ma dwa miejsca zerowe, bo w dwóch miejscach przecina oś \(Ox\).
Zadanie 10. (1pkt) Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział \((-\infty,-3\rangle\), może być określona wzorem:
A) \(y=(x+2)^2-3\)
B) \(y=-(x+3)^2\)
C) \(y=-(x-2)^2-3\)
D) \(y=-x^2+3\)
Wyjaśnienie:
Krok 1. Określenie kiedy funkcja ma pożądany zbiór wartości.
Musimy się zastanowić kiedy nasza funkcja będzie miała przedział wartości \((-\infty,-3\rangle\).
a) Czy parabola będzie mieć ramiona skierowane do dołu, czy do góry?
Jeśli parabola ma ramiona skierowane do góry, to funkcja zawsze dąży do plus nieskończoności. Nasza parabola musi kończyć się na wartości \(-3\), a więc na pewno ma ramiona skierowane do dołu. To oznacza, że współczynnik kierunkowy tej funkcji musi być mniejszy od zera (czyli przed \(x^2\) musi znaleźć się minus).
b) Czym jest liczba \(-3\), która znalazła się w przedziale?
Jest to tak naprawdę współrzędna \(y\) wierzchołka naszej paraboli.
Krok 2. Wskazanie wzoru poszukiwanej funkcji.
Funkcję kwadratową o współrzędnych wierzchołka paraboli \(W=(p;q)\) możemy zapisać jako:
$$y=a(x-p)^2+q$$
Zgodnie z tym co zapisaliśmy w kroku pierwszym, szukamy funkcji która przed \(x^2\) będzie mieć wartość ujemną oraz taką, której \(q=-3\). Taka funkcja znalazła się jedynie w trzeciej odpowiedzi, czyli będzie to \(y=-(x-2)^2-3\).
Pańska strona jest naprawdę świetna. Widać, że została rzetelnie przygotowana, omawia zrozumiale każde zagadnienie i zapewnia dobre przygotowanie do egzaminów.
Dzień dobry. Mam pytanie. Zad.1.. dlaczego 3 jest wartością c, a dla b=0 a nie na odwrót?
Współczynnik b to to co stoi przed „samotnym iksem”. Współczynnik c to tak zwany wolny wyraz (czyli samotna liczba). W naszym przykładzie nie mamy żadnego „samotnego iksa”, można powiedzieć że nasza funkcja wyraża się wzorem -3x^2+0x+3. Z tego też względu b=0, natomiast c=3 :)